8-3多元函数的全微分

二、可微的条件一、全微分的概念多元函数的全微分第三节第八章函数的微分一元函数y=f(x)的增量：)()(xfxxfyxxfy)(d（当一元函数y=f(x)可导时）二元函数z=f(x,y)：),(),(yxfyxxfzx（当二元函数z=f(x,y)对x的偏导数存在时）)(),(xοxyxfx对x的偏增量对x的偏微分)(xoxA一、全微分的概念1.问题的提出),(),(yxfyyxfzy对y的偏增量对y的偏微分)(),(yοyyxfy（当二元函数z=f(x,y)对y的偏导数存在时）),(),(yxfyyxxfz在点(x,y)的全增量问题yx、的线性函数来近似代替函数的全增量？可否用自变量的增量如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处的可表示成,)(ρoyBxAz其中A,B不依赖于x,y,仅与x,y有关，称为函数),(yxf在点(x,y)的全微分,记作yBxAfzdd则称函数f(x,y)在点(x,y)可微，全增量2.全微分的定义定义8.71°若函数在域D内各点都可微,则称此函数2°由定义可知,f(x,y)在点(x0,y0)可微的充要条件是:在D内可微.注)(lim0yBxAz.0)(),(),(lim00000ρyBxAyxfyyxxfρ定理8.2(多元函数可微的必要条件)若函数z=f(x,y)在点(x,y)可微,则(2)函数z=f(x,y)在点(x,y)的两个偏导数.d),(d),(dyyxfxyxfzyx存在,且有(1)函数z=f(x,y)在点(x,y)连续;从而二、可微的条件若z=f(x,y)在点(x,y)可微,则证1.可微与连续、可偏导的关系,0y令)(xoxA得到对x的偏增量xxx(2)由可微定义，有),(lim)0,0(),(yyxxfyxzyx)0,0(),(lim0),(yxf)()(lim0ρoyBxAρ从而.),(),(处连续在点即yxyxfz(1))()(ρoyBxAz1°习惯上把自变量的增量用自变量的微分表示,),(yxfx同样可证xzxx0limA))((lim0xxoAx.d),(d),(dyyxfxyxfzyx,),(Byxfy因此有注通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.ddddzzuyyuxxuu叠加原理也适用于二元以上函数的情况．2°可微与连续、可偏导的关系对于多元函数，可微连续可偏导3°如何判断多元函数的可微性①若不连续，则不可微；②若偏导数不存在，则不可微；③连续且偏导数存在时,用可微的充要条件判断:.0)),(),((),(),(lim0ρyyxfxyxfyxfyyxxfyxρ)(lim0yBxAz？22yxρ用此式判断函数在一点是否可微例1.000),(222222yxyxyxxyyxf讨论是否处在点,)0,0((1)连续；(2)偏导数存在；(3)可微.解(1)),(lim00yxfyx)sin,cos(lim0fsincoslim0)sin(coslim0=0=f(0,0)处连续在)0,0(),(yxf(2))0,0(xf0)0,0()0,(lim0xfxfx0000lim20xxxx0)0,0(yf同理.)0,0(),(处偏导数存在在yxf0])0,0()0,0([)0,0(),(lim0ρyfxffyxfyxρ(3)？)0,0(),(fyxfω令22yxyx0如果考虑点),(yxP沿着直线xy趋近于)0,0(，则22)(0)(0limlimyxxyxyxy22)(0limyxxyxy])0,0()0,0([yfxfyx,22yxyx,21220)(0limlimxxxxxxy),(])0,0()0,0([ρoyfxfzyx即f(x,y)在点)0,0(处不可微.0lim0)0()(o2.可微与偏导数连续的关系定理8.3(多元函数可微的充分条件)),(),(yxfyxfyx和若函数的偏导数,),(连续在点yx则函数f(x,y)在该点可微.]),([yyxxf证),(),(yxfyyxxfz)1,0(21θθyyθyxfy),(2xyyxθxfx),(1),(yyxf)],([yxf),(yyxf由有限增量公式)1,0(21θθxyxfx]),([)(yyθyxfy),(2xyyxθxfx),(1yyxfy]),([αβ),(),(yxfyyxxfz依偏导数的连续性及函数极限与无穷小的关系：)0lim()()(limaxaxAxfAxfyyxfxyxfyx),(),(yβxα只须证这一部分是比ρ高阶的无穷小,0lim00yx0lim0βyyyxfxyxfzyx),(),(ρyβxα即函数在点可微.注意到故有)(ρoβαρyβρxα)(22yx偏导数连续可微试证函数)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在点)0,0(连续且偏导数存在，但偏导数在点)0,0(不连续，而f(x,y)在点)0,0(可微.分析对于偏导数,需就)0,0(),(yx，)0,0(),(yx两种情形讨论其连续性.例2证令,cosx,siny则22001sinlimyxxyyx1sincossinlim200),0,0(f)0,0(xfxfxfx)0,0()0,(lim0,000lim0xx同理.0)0,0(yf故函数在点(0,0)处连续;当)0,0(),(yx时，),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy当点),(yxP沿直线xy趋于)0,0(时,),(lim00yxfxxyx)||21cos||22||21sin(lim330xxxxxx不存在.所以),(yxfx在)0,0(不连续.同理可证),(yxfy在)0,0(不连续.,)()(22yxρ下面证明：)0,0(),(在点yxf可微.ρyfxffyx)0,0()0,0(令则.0),(d)0,0(yxf注此题表明,偏导数连续只是可微的充分条件.而非必要条件.多元函数连续、偏导数、可微的关系函数可微函数连续偏导数连续偏导数存在例3解.)sin(22的全微分求函数yxz因为xz),cos(22yxyz),cos(22yx所以zdxyxxd)cos(222x2y2yyxyd)cos(222).dd)(cos(222yyxxyx例4计算函数在点(2,1)处的全微分.yxze解xz22e2)1,2(,e)1,2(yzxzyz,eyxyyxxe求函数22yxxyz时的全增量和全微分.解z03.0,101.0,2yyxx2297.001.297.001.26291.02212126667.0;0376.022222)(2)(yxxxyyxyxz22222)()(yxyxy),(),(yxfyyxxf03.0,101.0,2yyxx例5,01.0,1,2xyx当03.0y,5556.0xz03.0,101.0,2yyxx01.05556.0从而当x=2,y=1,△x=0.01,△y=-0.03时zd,1111.1yz)03.0(1111.1.0389.022222)(2)(yxyxyyxxyz22222)()(yxyxx)(yyzxxz03.0,101.0,2yyxx内容小结1.微分定义:zzdyyxfxyxfyxd),(d),(22)()(yxρ2.重要关系:)(ρo偏导数存在函数可微偏导数连续函数连续3.讨论函数在（0，0）点是否可微的步骤(1)讨论函数在(0,0)点是否连续,若不连续,则不可微;(2)讨论函数在(0,0)点的偏导数是否存在,若不存在,则不可微;(3)当函数在(0,0)点连续,且偏导数存在时,用下式讨论函数在(0,0)点是否可微22)0,0(),())0,0()0,0(()0,0(),(limyxyfxffyxfyxyx0?思考题函数),(yxfz在),(00yx可微的充分条件是();),(),()(00连续在yxyxfA),(),(,),()(00yxyxfyxfByx在的某邻域内存在;yyxfxyxfzCyx),(),()(0)()(22yx当时是无穷小量;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx当时是无穷小量.D备用题解?0,0,处是否连续在点考察函数xyyxfxy0)(2122yx))0,0(),((yx0,0)0,0(f.)0,0(处连续故函数在点xfxfx)0,0()0,(lim0,000lim0xxx.0)0,0(xf.0)0,0(,yf同理?偏导数是否存在?是否可微例1-1.)0,0(点是否可微下面讨论函数在22)0,0(),())0,0()0,0(()0,0(),(limyxyfxffyxfyxyx;,则函数可微若等于零0?即考察极限.否则函数不可微22)0,0(),(limxxxxxx有事实上，沿直线,xy210.)00(点不可微故函数在，例1-2解.0,0,0,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf讨论函数??)0,0(偏导数是否连续点是否可微在.)0,0(.,)0,0(点是否可微现讨论它在偏导数存在点连续易知此函数在2200])0,0()0,0([)0,0(),(limyxyfxffyxfyxyx2222001sinlimyxyxyx.0.)0,0(点可微故函数在又已知,0)0,0(xf时当)0,0(),(yx),(yxfx)(21cos)(1sin222222222yxxyxyxyxx,1cos21sin2222222yxyxxyxx.0,0,0,1cos21sin2),(2222222222yxyxyxyxxyxxyxfx故因为),(lim00yxfxyx2201cos21sin2limxxxxx不存在,)0,0(),(点不连续在故yxfx),(yxfz即函数但偏导数不连续可微在点,)0,0(例3-1解.的全微分求函数xyxyz数，的所有点处有连续偏导函数在0x从而可微.d1dd2yxxxxyyz例3-2计算函数解udyyd)cos(221zyze的全微分.例4-1解.2,1)1ln(22时的全微分当求函数yxyxzxz,1222yxxyz,1222yxy,3121yxxz,3221yxyz.d32d31d21yxzyx故zfyfxffz