高一集合运算补集课件

第一章1．1.3集合的基本运算第一章第2课时补集知识与技能：理解在一个给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定集合的补集。过程与方法：能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用，体验数形结合与化归的思想在数学中的应用。情感、态度与价值观：提高用集合的思想分析问题、解决问题的能力，增强学习数学的兴趣。教材分析：重点：求给定集合的补集难点：全集含义的理解。1．若A⊆B，则A∪B＝，A∩B＝.2．若A∩B＝B则BA，若A∪B＝B则AB.3．若A∪B＝A∩B，则AB.4．(2012·福建高考文科题)已知集合M＝{1,2,3,4}集合N＝{－2,2}，下列结论成立的是()A．N⊆MB．M∪N＝MC．M∩N＝ND．M∩N＝{2}BA⊆⊆＝D一、温故知新5．设P＝{m|m＝2n－1，n∈Z}，Q＝{x|x＝k＋2，k∈Z}，那么P∩Q等于()A．ØB．PC．QD．ZD6．满足{1,3}∪A＝{1,3,5}的所有集合A的个数是()A．1B．2C．3D．4B[解析]由{1,3}∪A＝{1,3,5}，知A⊆{1,3,5}，且A中至少有一个元素为5，从而A中其余元素可以是集合{1,3}的子集的元素．而{1,3}有4个子集，因此满足条件的A的个数是4.它们分别是{5}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}，故选D.如果你所在班级共有60名同学，要求你从中选出56名同学参加体操比赛，你如何完成这件事呢？二、新课引入你不可能直接去找张三、李四、王五、……一一确定出谁去参加吧？如果按这种方法做这件事情，可就麻烦多了．若确定出4位不参加比赛的同学，剩下的56名同学都参加，问题可就简单多了．不要小看这个问题的解决方法，它可是这节内容(补集)的现实基础．1．全集一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为，用字母表示．全集U阅读教材，回答问题2．补集如果A是全集U的一个子集，由U中所有不属于A的元素构成的集合，叫做A在U中的补集．．，记作∁UA.用描述法表示为，用Venn图表示为.{x|x∈U且x∉A}补集符号∁UA有三层含义：UØA(1)A是U的一个子集，即A⊆U；(2)∁UA表示一个集合，且∁UA⊆U；(3)∁UA是由U中所有不属于A的元素组成的集合，即∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}，故A∪∁UA＝U，A∩∁UA＝Ø.补集的性质∁UØ＝，∁UU＝，∁U(∁UA)＝.∅∅∅∅A∅∅∅∁UA∅A∁UAAAU∁UAU∁UA用适当的集合填空：通过以上所学，完成下列练习．(1)如果S＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1,2,3}，B＝{3,4,5,6}，那么∁SA＝__________，∁SB＝________.(2)如果全集U＝N，那么N*的补集∁UN*＝________.(3)已知U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，则∁UA＝________，A∩∁UA＝________，A∪∁UA＝________.{4,5,6,7,8}{1,2,7,8}{0}{2,4,6}∅U(4)已知U＝{x|x是实数}，Q＝{x|x是有理数}，则∁UQ＝________.(5)已知U＝R，A＝{x|x15}，则∁UA＝________.(6)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则∁U(A∩B)＝()A．{2,3}B．{1,4,5}C．{4,5}D．{1,5}{x|x是无理数}{x|x≤15}B例题讲解[例1]在下列各组集合中，U为全集，A为U的子集，求∁UA.(1)U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{2,4,5}；(2)已知全集U＝{x|x是至少有一组对边平行的四边形}，A＝{x|x是平行四边形}；(3)U＝R，A＝{x|－1≤x＜2}；(4)U＝Z，A＝{x|x＝3k±1，k∈Z}．∁UA＝{1,3,6}∁UA＝{x|x是梯形}∁UA＝{x|x＜－1或x≥2}∁UA＝{x|x＝3k，k∈Z}(4)整数按除以3的余数可分成三类：被3整除的数x＝3k，k∈Z；被3除余1的数x＝3k＋1，k∈Z；被3除余2的数x＝3k－1，k∈Z.例2、设U＝{x|－5≤x－2，或2x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x－15＝0}，B＝{－3,3,4}，求∁UA、∁UB.[解析]法一：在集合U中，∵x∈Z，则x的值为－5，－4，－3,3,4,5，∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}．又A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}，∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．法二：可用Venn图表示则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．规律总结：(1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合补集的定义来求解，另外针对此类问题，在解答过程中也常常借助于Venn图来求解．这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错．(2)在解答有关集合补集运算时，如果所给集合是无限集，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，这样处理比较形象直观，解答过程中注意边界问题.[例2]已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁UA)∪B，A∩(∁UB)．[解析]利用数轴，分别表示出全集U及集合A，B，先求出∁UA及∁UB，再求解．如图，∵A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，∴∁UA＝{x|x≤－2，或3≤x≤4}，∁UB＝{x|x＜－3，或2＜x≤4}．∴A∩B＝{x|－2＜x≤2}，(∁UA)∪B＝{x|x≤2，或3≤x≤4}；A∩(∁UB)＝{x|2＜x＜3}．(2012·浙江高考文科)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,2,3,4}集合Q＝{3,4,5}则P∩∁UQ＝()A．{1,2,3,4,6}B．{1,2,3,4,5}C．{1,2,5}D．{1,2}D(2010·陕西高考)集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(∁RB)＝()A．{x|x＞1}B．{x|x≥1}C．{x|1＜x≤2}D．{x|1≤x≤2}[解析]∵B＝{x|x＜1}，∴∁RB＝{x|x≥1}，∴A∩(∁RB)＝{x|1≤x≤2}.D[例3]已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}．(1)若A⊆B，问∁RB⊆∁RA是否成立？(2)若∁RA⊆∁RB，求a的取值范围．集合运算求参数问题[解析](1)∵A⊆B，如图(1)．∴a≥3，而∁RB＝{x|x≥a}，∁RA＝{x|x≥3}．∴∁RB⊆∁RA.即∁RB⊆∁RA成立．[例3]已知A＝{x|x＜3}，B＝{x|x＜a}．(1)若A⊆B，问∁RB⊆∁RA是否成立？(2)若∁RA⊆∁RB，求a的取值范围．集合运算求参数问题(2)如图(2)，∵∁RA＝{x|x≥3}，∁RB＝{x|x≥a}，∵∁RA⊆∁RB，∴a≤3.故所求a的取值范围为{a|a≤3}．例4、已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}，若A∪∁RB＝R，求实数a的取值范围．[解析]∁RB＝{x|x≤1或x≥3}，利用数轴画出集合A与∁RB，如下图∵A∪∁RB＝R，∴应满足a≥3故a的取值范围为{a|a≥3}．[例7]已知全集U＝{1,2,3,4,5}，A＝{x|x2－5x＋q＝0}，A⊆U，求∁UA及q的值．解:①若A＝∅，则∁UA＝U，此时方程x2－5x＋q＝0无实数解．∴Δ＜0，即25－4q＜0，∴q＞254.[点评]本题易错点：(一)忽略A⊆U，求出q的值后不验证A⊆U是否成立；(二)不考察A＝∅的情形．②若A≠∅，由于方程x2－5x＋q＝0的两根之和为5，又由于两根只能从1,2,3,4,5中取值，因此A＝{1,4}或{2,3}当A＝{1,4}时，∁UA＝{2,3,5}，q＝4；当A＝{2,3}时，∁UA＝{1,4,5}，q＝6.建模应用引路学法指导：“正难则反”策略是指当某一问题从正面解决较困难时，我们可以从其反面入手解决．已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可运用“正难则反”策略先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A求A.用“正难则反”的策略解题4补集作为一种思想方法给我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用．在顺向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”．从这个意义上讲，补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现．[例4]已知集合A＝{x|x2－4x＋2m＋6＝0}，B＝{x|x0}，若A∩B≠∅，求实数m的取值范围．[分析]求满足A∩B＝∅的m的取值范围―→对上述m的取值范围在R中取补集―→结论[解析]先求A∩B＝∅时m的取值范围．(1)当A＝∅时，方程x2－4x＋2m＋6＝0无实根，所以Δ＝(－4)2－4(2m＋6)0，解得m－1.(2)当A≠∅，A∩B＝∅时，方程x2－4x＋2m＋6＝0的根为非负实根．设方程x2－4x＋2m＋6＝0的两根为x1，x2，则Δ＝－42－42m＋6≥0，x1＋x2＝4≥0，x1x2＝2m＋6≥0，即m≤－1，m≥－3，解得－3≤m≤－1.综上，当A∩B＝∅时，m的取值范围是{m|m≥－3}．又因为U＝R，所以当A∩B≠∅时，m的取值范围是m－3.所以，A∩B≠∅时，m的取值范围是{m|m－3}．(2)B＝{x|x0}，而A∩B＝∅，故A={x|x≥0}，即已知方程的根为非负实根．(4)由于A∩B≠∅，故方程x2－4x＋2m＋6＝0一定有解，故我们还可以设全集U＝{m|Δ≥0}＝{m|m≤－1}．此时，{m|－3≤m≤－1}关于U的补集也是{m|m－3}。(3)Δ≥0保证了A≠∅，即原方程有实根；x1＋x2≥0与x1x2≥0保证了原方程两根非负．如果两根都大于1，则等价形式为x1－1＋x2－10，x1－1x2－10，而不是x1＋x22，x1x21.[点拨](1)A∩B＝∅，对于集合A而言，分A＝∅与A≠∅两种情况．A＝∅表示方程无实根．(1)运用补集思想求参数范围的方法；①否定已知条件，考虑反面问题；②求解反面问题对应的参数范围；③将反面问题对应参数的范围取补集．规律总结：(2)补集思想适用的情况：从正面考虑，情况较多，问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想．[例5]设全集U≠∅，已知集合M、P、S之间满足关系：M＝∁UP，P＝∁US，则集合M与S之间的正确关系是()A．M＝∁USB．M＝SC．SMD．MS利用Venn图解决补集问题B由于某些集合问题比较抽象学生处理定律比较困难，借助Venn图会使问题而解．也可以用语言描述:∵补集关系是相互的，A是B的补集，则B是A的补集，∴本题中M与P互补，P与S互补，从而M＝S.如图，I是全集，M、P、S是I的子集，则阴影部分所表示的集合是()A．(M∩P)∩SB．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩(∁IS)D．(M∩P)∪(∁IS)C本节课小结：1、补集的含义2、学会求解集合的补集3、学会求解补集中的综合问题课后作业1．已知全集U＝{2,5,8}，且∁UA＝{2}，写出集合A的真子集。2．U＝R，A＝{x|－2x≤1或x3}，B＝{x|x≥4}，则∁UA＝________，∁AB＝________.3．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求A∩B，A∪B，(∁UA)∩(∁UB)，A∩(∁UB)，(∁UA)∪B.4．已知全集U＝{x|x∈R}，集合A＝{x|－2x3}，B＝{x|－3x≤1}，求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B.6．U＝R，A＝{x|－2x≤1或x3}，B＝{x|x≥4}，则∁UA＝________，∁AB＝________.[答案]{x|x≤－2或1x≤3}{x|－2x≤1或3x4}7．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{3,4,5}，B＝{4,7,8}，求A∩B，A∪B，