剪力弯矩方程与剪力

第十章弯曲内力Chapter10Internalforcesinbeams目录第十章弯曲内力§10-1引言§10-2梁的计算简图§10-3剪力和弯矩§10-4剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图§10-5剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系目录§10-1引言起重机大梁目录车削工件目录§10-1引言火车轮轴目录§10-1引言目录§10-1引言7目录基本概念(Basicconcepts)2.梁(Beam):以弯曲变形为主的杆件（1）受力特征:外力(包括力偶)的作用线垂直于杆轴线.（2）变形特征:变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.1.弯曲变形(Deformationofbending)3.平面弯曲(Planebending):作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.§10-1引言平面弯曲具有纵向对称面目录对称弯曲外力都作用在此平面内弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线§10-1引言常见弯曲构件截面目录§10-1引言§10-2梁的计算简图目录（1）梁的简化通常取梁的轴线来代替梁。（2）载荷类型集中力(concentratedforce)集中力偶(concentratedmoment)分布载荷(distributedload)11目录（3）支座的类型可动铰支座(rollersupport)FRAAAAA固定铰支座(pinsupport)固定端(clampedsupportorfixedend)FRyFRxMFRAxAFRAy§10-2梁的计算简图火车轮轴简化目录§10-2梁的计算简图目录§10-2梁的计算简图吊车大梁简化均匀分布载荷简称均布载荷目录§10-2梁的计算简图非均匀分布载荷目录§10-2梁的计算简图简支梁(simplysupportedbeam)外伸梁(overhangingbeam)悬臂梁(cantileverbeam)FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA静定梁的基本形式目录§10-2梁的计算简图FNFSM0xF0NF0yF1ASFFFy0cM)(1axFxFMAy§10-3剪力和弯矩(Shear-forceandbending-momentinbeams)FAy一、内力计算(Calculatinginternalforce)18FS剪力(Shearforce)，平行于横截面的内力合力M弯矩(Bendingmoment)，垂直于横截面的内力系的合力偶矩§10-3剪力和弯矩目录FByFNFSM弯曲构件内力剪力弯矩FAyFNFSMFByFNFSM截面上的剪力对所选梁段上任意一点的矩为顺时针转向时，剪力为正；反之为负。+_§10-3剪力和弯矩左上右下为正；反之为负目录二、内力的符号规定(Signconventionforinternalforce)20截面上的弯矩使得梁呈凹形为正；反之为负。§10-3剪力和弯矩左顺右逆为正；反之为负目录+_Happybeamispositive;Cryingbeamisnegative解：1.确定支反力FAyFBy0yFFFFByAy20AMaFFaaFBy233FFBy35FFAy2.用截面法研究内力FSEME0yF352FFFSE0OM233522aFMaFE3FFSE23FaME目录例题10-1FAy§10-3剪力和弯矩FByFByFAyFSEMEO3FFBy35FFAy分析右段得到：FSEMEO0yF0BySEFF3FFFBySE0oMFaaFMByE2323FaME目录§10-3剪力和弯矩FAyFBy3FFBy35FFAy截面上的剪力等于截面任一侧外力的代数和。目录FAyFSE35FFSE2FFSEF23F§10-3剪力和弯矩FAyFBy3FFBy35FFAy截面上的弯矩等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和。目录MEFAy2335aFME22aFFa232FME§10-3剪力和弯矩25目录§10-4剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图(Shear-force&bending-momentequations;shear-force&bending-momentdiagrams)FS=FS(x)M=M(x)一、剪力方程和弯矩方程(Shear-force&bending-momentequations)用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.1.剪力方程(Shear-forceequation)2.弯矩方程(Bending-momentequation)26目录弯矩图为正值画在x轴上侧,负值画在x轴下侧二、剪力图和弯矩图(Shear-force&bending-momentdiagrams)剪力图为正值画在x轴上侧,负值画在x轴下侧以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置,以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图xFS(x)FS图的坐标系OM图的坐标系xOM(x)§10-4剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图8/2qlq悬臂梁受均布载荷作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：任选一截面x，写出剪力和弯矩方程xlxqxxFS0＝lxqxxM02/2＝依方程画出剪力图和弯矩图FSxMxql2/2qll由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为qlFS＝max2/2maxqlM＝目录例题10-2qxxMxFS§10-4剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力00＝，＝BAMMFAy＝Fb/lFBy＝Fa/l2．写出剪力和弯矩方程x2FSxMxlFb/lFa/lFab/x1ACaxlFbxFS110/＝axlFbxxM1110/＝CBlxalFaxFS22/＝lxalxlFaxM222/＝3.依方程画出剪力图和弯矩图。CFab目录例题10-3§10-4剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图BAlFAYFBY图示简支梁C点受集中力偶作用。试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力00＝，＝BAMMFAy＝M/lFBy＝-M/l2．写出剪力和弯矩方程x2lMa/x1ACaxlMxFS110/＝axlMxxM1110/＝CBbxlMxFS220/＝bxlMxxM2220/＝3.依方程画出剪力图和弯矩图。lM/lMb/CMab目录例题10-4§10-4剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图32/32ql32/32qlBAlFAYqFBY简支梁受均布载荷作用试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力00＝，＝BAMMFAy＝FBy＝ql/22．写出剪力和弯矩方程yxCxlxqxqlxFS02/＝lxqxqlxxM02/2/2＝3.依方程画出剪力图和弯矩图。FSxMx2/ql2/ql8/2ql目录例题10-5§10-4剪力、弯矩方程与剪力、弯矩图§10-5剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds目录载荷集度、剪力和弯矩关系：)()()(22xqdxxdFdxxMds1.q＝0，Fs=常数，剪力图为水平直线；M(x)为x的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q＝常数，Fs(x)为x的一次函数，剪力图为斜直线；M(x)为x的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（q0），抛物线呈凹形；分布载荷向上（q0），抛物线呈凸形。3.剪力Fs=0处，弯矩取极值。4.集中力作用处，剪力图突变；集中力偶作用处，弯矩图突变目录§10-5剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系5、也可通过积分方法确定剪力、弯矩图上各点处的数值。SddFxMxFMddSbabaxFMddSbaFAaMbMSqxFddSxqFddSbabaxqFddSbaSSqAaFbF从左到右，向上（下）集中力作用处，剪力图向上（下）突变，突变幅度为集中力的大小。弯矩图在该处为尖点。从左到右，顺（逆）时针集中力偶作用处，弯矩图向上（下）突变，突变幅度为集中力偶的大小。剪力图在该点没有变化。目录§10-5剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系34二、剪力、弯矩与外力间的关系外力无外力段均布载荷段集中力集中力偶q=0q0q0Fs图特征M图特征CPCm水平直线xQQ0QQ0x斜直线增函数xQxQ降函数xQCQ1Q2Q1–Q2=P自左向右突变xQC无变化斜直线xM增函数xM降函数曲线xM坟状xM盆状自左向右折角自左向右突变与m反xM折向与P反向MxM1M2mMM21微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。目录§10-5剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题10-6简支梁受力的大小和方向如图示。试画出其剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力00＝，＝BAMM求得A、B二处的约束力FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN根据力矩平衡方程2．确定控制面在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。EDCF目录§10-5剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO3．建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系5．根据微分关系连图线4．应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FS－x和M－x坐标系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS(kN)O0.89kN=＝1.11kN目录§10-5剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系（-）（+）解法2：1．确定约束力FAy＝0.89kNFFy＝1.11kN2．确定控制面为A、C、D、B两侧截面。FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3．从A截面左测开始画剪力图。Fs（kN）0.891.11目录§10-5剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系（-）（-）4．从A截面左测开始画弯矩图。M（kN.m）从A左到A右从C左到C右从D左到D右从A右到C左1.3300.330从C右到D左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11从D右到B左从B左到B右目录§10-5剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系qBADa4aFAyFBy例题10-7试画出梁的剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力根据梁的整体平衡，由00＝，＝BAMM求得A、B二处的约束力qaFqaFByAy4349＝＝,qa2．确定控制面由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa左侧的截面，也都是控制面。C目录§10-5剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系（+）（-）（+）qBADa4aFAyFByqaC3．建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系OFSxOMx4．确定控制面上的剪力值，并将其标在FS－x中。4/9qa4/7qaqa32/812qa4/9a2qa5．确定控制面上的弯矩值，并将其标在M－x中。qa49qa43＝目录§10-5剪力、弯矩与载荷集度间的微分关系（+）（-）qaFqaFByAy4349＝＝,qBADa4aFAyFByqa解法2：1．确