复变函数与积分变换期末考试-12-13-1-A-试题&答案

第1页共8页北京交通大学2012-2013学年第一学期《复变函数与积分变换》期末考试试卷（A）（参考答案）考试方式：闭卷任课教师：学院专业_____________班级学号姓名_____________题号一二三四总分得分阅卷人请注意：本卷共三大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、填空题（每小题20分，共20分）1.10)3131(ii的实部是21，虚部是23，辐角主值是32.2.满足5|2||2|zz的点集所形成的平面图形为，以±2为焦点，长半轴为25的椭圆，该图形是否为区域否.3.ii1)1(的值为,1,0)],2ln4sin()2ln4[cos(224kiek；主值为)]2ln4sin()2ln4[cos(24ie.第2页共8页4.积分1||zzdzze的值为i2，2||2)2(sinzdzzz0.5.函数zzzfsin)(的有限弧立奇点0z0，0z是何种类型的奇点？可去。6.1||43)2(sinCzdzzzze0。7.)2,1,0(2kkz为ztan的1阶极点。8.方程Inz=i3的解为________),3i(121z或3ie_______________。9.设C为正向圆周|z|=1，则c)dzzz1(=_______4i____________________。10.设C为正向圆周|z－i|=21,则积分c2zdzi)-z(ze=_____2()i____________。二、判断正确与错误（画对错号，每小题2分，共20分）1.对任意的z≠0，2Ln2Lnzz（×）2.两个共轭复数在复平面上的对应点关于实轴对称。(√)3.如果函数f(z)在点z0满足柯西-黎曼条件，则它在点z0可微。(√)4.如果函数f(z)在区域D内解析，则对区域D内任一闭曲线C，有czzfd)(=0。(√)5.设f(z)在区域D内解析，{zn}是D内一点列，且f(zn)=0，则在D内有f(z)≡0。(×)6.)(zf在0z点可微，则)(zf在0z解析。（×）7.zezf)(是周期函数。（√）8.每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。（×）第3页共8页9.n为大于1的正整数,LnLnnznz成立。（×）10.如果函数)(zf在0z解析，那末映射)(zf在0z具有保角性。（×）三、解答题（每小题6分，共42分）1.设a、b是实数，函数iybxaxyzf)()(22在复平面解析，则分别求a、b之值，并求)(zf.【解】)(zf是复平面上的解析函数，则22),(,),(ybxyxvaxyyxu在平面上满足C—R方程，即：xyyxvuvu,故bxaxyay22对yx,成立，ixyxyzfba)(2)(,1,222izyixizxiyviuzfxx2)()2(2)(2.计算积分3d(1)zCezzz，其中C是不经过0和1的光滑闭曲线。【解答】分以下四种情况讨论：1)01,C若封闭曲线既不包含也不包含则3(),(1)zefzCzz在内解析由柯西古萨基本定理得3d0(1)zCezzz。2)01,C若封闭曲线包含而不包含则3(),(1)zefzCz在内解析由柯西积分公式得33(1)dd(1)zzCCeezzzzzz第4页共8页3022(1)zzeiiz。3)10,C若封闭曲线包含而不包含则(),zefzCz在内解析由高阶导数公式得2333312(22)ddd(1)(1)(1)(1)2!zzzzCCCzeezezizzezzzfieizzzzz4)10,C若封闭曲线既包含又包含1212120,1,0,,,,,CCCCCCC则分别以为圆心以为半径作圆使和也在内且与互不相交互不包含12333ddd(1)(1)(1)zzzCCCeeezzzzzzzzz据复合闭路定理有12333d2)2,(1)d3),(1)d(2).(1)zCzCzCezizzezeizzezeizz而积分即为的结果而积分即为的结果所以3.计算积分Czdzzze2sin，设C为正向圆周2||iz。【解】令zezfzsin)(，则由高阶求导公式得：原式izezeifizzz2|)cossin(2)0(204.0cos451cos2d【解】由于cos451cos2是偶函数，故00cos451cos2cos451cos2dd原式dcos451cos221令,zei则定积分可化为复积分第5页共8页1||111)2(cos)(251zzzzidzzzzz1||2)2)(12(1zdzzzzzzi令)2)(21(2/)1()(2zzzzzzf则)(zf在1||z内有2个简单极点0z与21z21)2)(21(2/)1(lim]0),([Re20zzzzzfsz2121(1)/21Re[(),]lim2(2)2zzzsfzzz由留数定理知：1||0]2121[2)(ziidzzfi故原式00215.计算cbzazdz,其中a、b为不在简单闭曲线c上的复常数，ab。【解】当a、b均在简单闭曲线c之内或之外时0,cdzzazb当a在c之内,b在c之外时2,cdzizazbab当b在c之内,a在c之外时2,cdzizazbab6.把函数21()(2)ziz分别在环域（1）2||1z和环域（2）(2)2z内展开第6页共8页成罗朗级数。7.试求z平面的下半平面0Imz在分式线性映射ziwzi下的象区域。第7页共8页yx1z2z3z1001w3w1w2uv解：在实轴上依次取zzz,0,1，iwz1111022wz133wz由分式线性映射的保圆性知：321,,||w故实轴在izizw下的象区线为单位圆周，再由边界对应原理知：0Imz在izizw下的象区域为1||w。四、证明题（每小题9分，共18分）1．函数()fz在区域D内解析.证明：如果|()|fz在D内为常数，那么它在D内为常数。第8页共8页2．设1C和2C为两条互不包含，也不相交的正向简单闭曲线，证明：1222001000021sin2sinCCzzCzdzzdzizzzzzzC，当在内时，，当在内时。