正弦型函数y=Asin(wx+ψ)精选习题

正弦型函数sin()yAx精选习题一、选择题1．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(其中ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期是π，且f(0)＝3，则()．A．ω＝12，φ＝π6B．ω＝12，φ＝π3C．ω＝2，φ＝π6D．ω＝2，φ＝π31.答案：D2．为了得到函数y＝sin(2x－π3)的图象，只需把函数y＝sin(2x＋π6)的图象()A．向左平移π4个长度单位B．向右平移π4个长度单位C．向左平移π2个长度单位D．向右平移π2个长度单位2.【解析】：y＝sin(2x－π3)＝sin[2(x－π4)＋π6]，所以只要把y＝sin(2x＋π6)的图象向右平移π4个长度单位，就可得到y＝sin(2x－π3)的图象．答案：B3．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A0，|φ|π2)的图象如图所示，为了得到g(x)＝cos2x的图象，则只要将f(x)的图象()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π12个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π12个单位长度3.【解析】：如图，T4＝7π12－π3＝π4，T＝π，ω＝2，又2×π3＋φ＝π，φ＝π3，从而f(x)＝Asin(2x＋π3)，显然选D.答案：D4．要得到函数y＝3cosx的图象，只需将函数y＝3sin(2x－π6)的图象上所有点的()A．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象再向左平移π12个单位长度B．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，所得图象再向右平移π6个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向左平移2π3个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象再向右平移π6个单位长度4.【解析】：将函数y＝3sin(2x－π6)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，可得函数y＝3sin(x－π6)的图象，再向左平移2π3个单位长度，可得函数y＝3sin(x－π6＋2π3)＝3sin(x＋π2)＝3cosx的图象．答案：C5.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A0，ω0，|φ|π2)的图象(部分)如图所示，则f(x)的解析式是()(A)f(x)＝2sin(πx＋π6)(x∈R)(B)f(x)＝2sin(2πx＋π6)(x∈R)(C)f(x)＝2sin(πx＋π3)(x∈R)(D)f(x)＝2sin(2πx＋π3)(x∈R)5.【解析】选A.从图象上可看出A＝2，T4＝56－13＝12，∴T＝2，ω＝2πT＝2π2＝π.∴f(x)＝2sin(πx＋φ).又∵图象过点(13，2)，∴2＝2sin(π3＋φ)，∴π3＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，又∵|φ|π2，∴φ＝π6，故f(x)＝2sin(πx＋π6).(x∈R)6.已知函数f(x)＝3sin(2x＋π2)，x∈R，则下列结论中正确的是()(A)f(x)是最小正周期为π的奇函数(B)x＝π3是函数f(x)图象的一条对称轴(C)f(x)的一个对称中心是(－π2，0)(D)将函数y＝3sin2x的图象向左平移π4个单位得到函数f(x)的图象6.【解析】先应用三角函数的诱导公式化简三角函数式.【解析】选D.f(x)＝3sin(2x＋π2)＝3cos2x，故A、B、C均不正确.7.将函数f(x)＝sinωx(其中ω＞0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点3π4，0，则ω的最小值是()．A．13B．1C．53D．27.解析：f(x)＝sinωx的图象向右平移π4个单位长度得：y＝sinωx－π4.又所得图象过点3π4，0，∴sinω3π4－π4＝0.∴sinωπ2＝0.∴ωπ2＝kπ(k∈Z)．∴ω＝2k(k∈Z)．∵ω＞0，∴ω的最小值为2.答案：D8．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f(x)的最小正周期为6π，且当x＝π2时，f(x)取得最大值，则()A．f(x)在区间[－2π，0]上是增函数B．f(x)在区间[－3π，－π]上是增函数C．f(x)在区间[3π，5π]上是减函数D．f(x)在区间[4π，6π]上是减函数8．解析：∵2πω＝6π，∴ω＝13.又∵13×π2＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z且－πφ≤π，∴当k＝0时，φ＝π3，f(x)＝2sin(13x＋π3)，要使f(x)递增，须有2kπ－π2≤13x＋π3≤2kπ＋π2，k∈Z，解之得6kπ－5π2≤x≤6kπ＋π2，k∈Z，当k＝0时，－52π≤x≤π2，∴f(x)在[－52π，π2]上递增．答案：A二、填空题9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋n的最大值为4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，若A0，ω0,0φπ2，则函数解析式为________．9.【解析】：由题设得，A＝2，n＝2，ω＝4，且当x＝π3时，sin(43π＋φ)＝±1，故φ＝π6.所求解析式为y＝2sin(4x＋π6)＋2.答案：y＝2sin(4x＋π6)＋210．已知函数f(x)＝3sin(ωx－π6)(ω0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x∈[0，π2]，则f(x)的取值范围是__________.10【解析】：f(x)＝3sin(ωx－π6)(ω0)的对称轴和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，则ω＝2，f(x)＝3sin(2x－π6)，x∈[0，π2]时，2x－π6∈[－π6，5π6]，f(x)∈[－32，3]．答案：[－32，3]11.若两个函数的图象只经过若干次平移后就能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出下列函数：①f1(x)＝sinx＋cosx，②f2(x)＝sinx，③f3(x)＝2sinx＋2，④f4(x)＝2(sinx＋cosx)，其中“同形”函数有.(填序号)11.【解析】∵f1(x)＝sinx＋cosx＝2sin(x＋π4)，f2(x)＝sinx，f3(x)＝2sinx＋2，f4(x)＝2(sinx＋cosx)＝2sin(x＋π4)，241fxy2sinxy2sinx2向右平移个单位向上平移个单位，∴①③为“同形”函数.答案：①③12.(2012·烟台模拟)已知函数f(x)＝2sin(2x＋π3)，且f(α)＝f(β)＝0(α≠β)，则|α－β|的最小值为.12.【解析】由题意知α、β是函数y＝f(x)图象与x轴交点的横坐标.【解析】f(x)＝2sin(2x＋π3)的最小正周期T＝π.α、β是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，且α≠β，∴|α－β|的最小值为π2.答案：π2三、解答题13．已知函数f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx(ω0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π16]上的最小值．13【解析】解：(1)f(x)＝sin(π－ωx)cosωx＋cos2ωx＝sinωxcosωx＋1＋cos2ωx2＝12sin2ωx＋12cos2ωx＋12＝22sin(2ωx＋π4)＋12.由于ω0，依题意得2π2ω＝π，所以ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝22sin(2x＋π4)＋12，所以g(x)＝f(2x)＝22sin(4x＋π4)＋12.当0≤x≤π16时，π4≤4x＋π4≤π2，所以22≤sin(4x＋π4)≤1.因此1≤g(x)≤1＋22.故g(x)在区间[0，π16]上的最小值为1.14．(2010～2011年河北省正定中学高三第一次月考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π2，x∈R)的图象的一部分如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[－6，－23]时，求函数y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的x的值．14【解析】解：(1)由图象知A＝2.T＝8，∵T＝2πω＝8，∴ω＝π4，又图象经过点(－1,0)∴2sin(－π4＋φ)＝0，∵|φ|π2∴φ＝π4，∴f(x)＝2sin(π4x＋π4)，(2)y＝f(x)＋f(x＋2)＝2sin((π4x＋π4)＋2sin(π4x＋π2＋π4)＝2sin(π4x＋π4)＋2cos(π4x＋π4)，＝22sin(π4x＋π2)＝22cosπ4x，∵x∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x≤－π6，∴当π4x＝－π6即x＝－23时，最大值为6，当π4x＝－π，即x＝－4时，最小值为－22.15.已知函数f(x)＝2sin(2x－π4)＋1.(1)求f(x)的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y＝f(x)在[－π2，π2]上的图象.15.【解析】直接根据已知得出振幅、周期、初相，利用五点作图法画出图象.【解析】(1)f(x)＝2sin(2x－π4)＋1的振幅为2，最小正周期T＝2π2＝π，初相为－π4.(2)列表并描点画出图象：x－π2－3π8－π8π83π8π2y211－211＋22故函数y＝f(x)在区间[－π2，π2]上的图象是16．已知函数f(x)＝2acos2x＋bsinxcosx－32，且f(0)＝32，f(π4)＝12.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)的单调递减区间；(3)函数f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象对应的函数成为奇函数？16【解析】．解：(1)由f(0)＝32，得2a－32＝32，∴2a＝3，则a＝32，由f(π4)＝12，得32＋b2－32＝12，∴b＝1.∴f(x)＝3cos2x＋sinxcosx－32＝32cos2x＋12sin2x＝sin(2x＋π3)，∴函数f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)由π2＋2kπ≤2x＋π3≤32π＋2kπ，得π12＋kπ≤x≤712π＋kπ，∴f(x)的单调递减区间是[π12＋kπ，712π＋kπ](k∈Z)．(3)∵f(x)＝sin2(x＋π6)，∴奇函数y＝sin2x的图象左移π6，即得到f(x)的图象．故函数f(x)的图象右移π6个单位后对应的函数成为奇函数．