江西财经大学微积分II期末考试题及答案

221.2;zxxy求的驻点为2.()();fxxfx已知的弹性函数为，则203.(),();xtxxedtx设则4.;xedx15.4;ttyyt差分方程式的通解为26.()sin;fxx函数的麦克劳林级数等于7.coscos;yyxx微分方程的通解为一、填空题练习思考题8.lnln(,),;zxzyxzfxyy已知确定函数则9.()sin();fxxfxdx已知，则020arctan10.lim1;xxxdxx若，则011.;xxedx022112.;!!nxnnxnenn若，则级数122001013.(,)(,);yydyfxydxdyfxydx交换二次积分次序2214.(31);xxyxyxyxxyyxfA00)0,0(),()sin(),(.221.下列函数中，连续但不可微的是xyexyzD)1(.yxyxyxxyyxfC00)0,0(),(),(.22)sin(.22yxzB二、单项选择题2.下列说法中正确的是0.为在该点处一阶偏导数全在极值的必要条件是一个二元函数在一点存A.B一个一元函数如果存在原函数则一定连续一阶偏导数则一定连续一个二元函数如果存在C.一定可微连续的一阶偏导数则一个二元函数如果存在D.3.下列广义积分中，收敛的是1101.ln1.ln1.ln.dxxDdxxxCdxxBxdxAee4.下列级数中收敛的是11111)1()1(.sin.1cos.1sin.nnnnnnnnnDnCnBnA11016.(,).yydyfxydx01111000.(,)(,)xxAdxfxydydxfxydy11121000.(,).(,)xCdxfxydyDdxfxydy125.(),()()()()()()()()()yxyxyxpxyxfxyxpxyxfx设是一阶非齐次线性方程的两个不相同的特解，则的通解是)()(.)()(.2121xyxyBxyxyA)()(.)()()(.21121xyxyDxyxyxycCxdyyxfdxB010),(.0000007.(,)(,)(,)(,);xyfxyfxyfxyxy若，存在，则函数在点处无定义有定义一定连续一定可微DCBA....8.(1),(1,1);xyxzyz设则2ln.D2ln2.C1.B2.A2221219.lim(),;nnIInnn设则111120000111....xAdxBdxCxdxDdxxxx211010.()();xtfxedtfxdx设，则1111.0.1..(1)22ABCeDesin11.(,),(,)01D;xfxyfxyyyxxx设则在由，及围成的平面区域上的平均值为1sin22.D1sin1.C1cos22.B1cos1.A212.,.xyce设一阶微分方程的通解是则此微分方程是2.0.20AdyxydxBdyxydx2.0.20CdyxydxDdyxydx13.()230(0)0,(0)1().yfxyyyyyfxdx设是微分方程满足条件的特解，则331111..44124xxxxAyeecByeec331111..44124xxxxCyeeDyee三、求下列积分2212001:1.2.3.arctan14xIIdxdxxdxxxx23(,sin)Zzfxyxydzxy.设，求和12311sincos1:1.2.3.13sin2xxIdxdxdxxxx2222arctan.1yZxZdzxyz和，求设四、的通解求分程xyyy.2(1)(2)DDx求：区域的面积；区域绕旋转一周的立体的体积。222(,)|(1)1,2,2,Dxyxyyxx六、1.设2222():1.DxxydDxy(2).求，其中222,(,)|12DxydxdyDxyxy五、(1).求其中2,2yxyxy2.求围成的平面图形的面积,并求此平面图形绕轴旋转所成的立体的体积七、判断级数的敛散性，如收敛，指出是绝对收敛还是条件收敛112112(1)1.(1)2.1nnnnnnn2110(1),(21)!sinnnnxnxdxx八、1.求幂级数的收敛区间及和函数并利用所得结果计算（写成数项级数）213.3nnn1(1)(1)nnnnxe2.求幂级数的收敛半径，收敛区间及和函数。九、经济应用题1.0.053245400QxyzQxyz某产品的产量与原材料甲、乙、丙的数量、、（单位均为吨）满足，已知甲、乙、丙的价格分别为、、（单位均为百元），若用元购买甲、乙、丙三种原材料，问购买量分别是多少，可使产量最大.2.某厂生产A、B两种产品，单位成本分别为2元和14元，1Q2Q1P2P1214()QPP2128048QPP1P2P，件和件,价格分别为元和满足关系式，需求量分别为元,且两种产品的价格试求A、B、使该厂总利润最大.十、证明题()fx设为连续函数，试证：200(1).()[()(2)]aafxdxfxfaxdx22(2).(())()()bbaafxdxbafxdx0003).()()(())xxtftxtdtfududt（练习思考题参考答案一、填空题1.(1,0)驻点为222zxxy22020xyzxzy10xy22.()xfxCe()C为任意常数()()EyxfxxExfx1()()0xfxxfxxyxyyyx即12dxxxyCeCe()C为任意常数()()()[()]()xaxadxdxftdtdxdxftdtfxaxb()()()[()][()]()bxbxaadftdtftdtfbxbxdx　()()()()()[()][()]()[()]()bxbxaxaxdftdtftdtdxfbxbxfaxax　xxxtexxxexdte21)(121.302或2200()xxttxxedtxedt22001()21211()2xtxxtxxxedtxexedtxexxex或)()()()(aFFxFdxxfaa)()()()(FbFxFdxxfbb其中)(lim)(xFFx)(lim)(xFFx()()()ccfxdxfxdxfxdx其中c为任意取定的常数.当且仅当右端两个广义积分都收敛时,左端的广义积分才收敛,否则发散.2.400000010(01)2xxxxxxxedxedxedxedxedxee**(3)(4)(3)xxxxxyyyyy若是非齐次方程的一个特解，是齐次方程的通解，则非齐次方解程的通为线性差分方程。式称为一阶常系数齐次次线性差分方程；式称为一阶常系数非齐为已知函数。为常数，其中程的一般形式为：一阶常系数线性差分方)4()3()(0)4(0)3()(11xfppyyxfpyyxxxx()(5)xxyCpC齐次差分方程的为：为任意常数通解1.()(0)fxkk为常数*1;1xkpyp时，特解*1;xpykx时，特解.pk找出，2.()(0,1,)xfxkaaak为常数,,.pka找出*;xxkpayaap时,特解*1;xxpaykxa时,特解3.()(0)[()]nnfxkxkPx常数也可,.pn找出*01011,;nxnnpyAAxAxAAA时，令特解代入方程比较同次幂系数可确定，，，*01011(),,,,;nxnnpyxAAxAxAAA时，令特解代入方程比较同次幂系数可得91314.5tCytt14ttyyt4p:4()ttyCC相应齐次方程的通解为为任意常数*0141,1tpnyAAt设特解为：*01tyAAt14ttyyt0101(1)4()AAtAAtt代入原方程1103130AAA101139AA*1193tyt*tttyyy故原方程的通解为：11439tCt()C为任意常数202112111(2)6.(1)()22(2)!2(1)()(2)!nnnnnnnxxnxxn或21cos211()sincos2222xfxxx20cos(1)(,)(2)!nnnxxxn20(2)cos2(1)(,)(2)!nnnxxxn211()sincos222fxxx2011(2)(1)()22(2)!nnnxxn246211(2)(2)(2)(2)[1(1)]222!4!6!(2)!nnxxxxn或21241212(1)3(2)!nnnxxxn211212(1)()(2)!nnnnxxn1.7sinxCey()C为任意常数coscosyxyx()cos,pxx()cosfxx()()coscossinsinsinsinsinsinsin(())(cos)(cos)(sin)(1pxdxpxdxxdxxdxxxxxxxxyefxedxCexedxCexedxCeedxCeeCCe）()C为任意常数8.lnln(,),;zxzyxzfxyy已知确定函数则1xy1lnln0zxzyxxyy1zyxy于是1(,,)lnln,,yyzyzFFxyzxzyxFFxzyF或令9.()sin()_______________;fxxfxdx已知，则12sinxCxC()sinfxx1()()sincosfxfxdxxdxxC1()(cos)fxdxxCdx于是12sinxCxC020arctan10.lim1;xxxd