第02章 泊松过程S

第二章（第三讲）泊松过程一、计数过程（acountingprocess)与泊松过程(thePoissonprocess)（一）计数过程（acountingprocess)定义：随机过程{N(t),t≥0}称为一个计数过程，若N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件”的总数。计数过程性质：⑴N(t)≥0⑵N(t)是整值⑶若st,则N(s)≤N(t)⑷当st,N(t)-N(s)等于(s,t]中发生事件个数.计数过程有独立增量（independentincrements）：计数过程在不相交的时间区间中发生的事件个数是独立的。计数过程有平稳增量(stationaryincrements)：在任一时间区间中发生的事件个数的分布只依赖于时间区间的长度。（二）泊松过程(thePoissonprocess)1．泊松过程第一个定义定义2.1.1如果计数过程{N(t),t≥0}满足(1)N(0)=0(2)过程有独立增量，(3)在任意长度为t的区间中事件的个数服从均值为t的泊松分布。即对一切,0st，(){()()},0,0,1,2,!nttPNtsNsnenn则称计数过程{N(t),t≥0}为具有速率的泊松过程。注意，从条件(3)可知泊松过程有平稳增量且[()]ENtt，这正是称为此过程的速率的原因(单位时间内发生的事件的平均个数)。2．泊松过程第二个定义为了确定一个任意的计数过程是一泊松过程，必须证明它满足条件(1)，(2)及(3)。条件(1)只是说明事件的计数是从时刻0开始的。条件(2)通常可从我们对过程了解的情况去直接验证。然而全然不清楚如何去确定条件(3)是否满足。为此泊松过程的一个等价定义将是有用的。定义2.1.2计数过程{N(t),t≥0}称为具有速率,0泊松过程，如果⑴N(0)=0⑵过程有平稳增量与独立增量⑶P{N(h)=1}=λh+o(h)⑷P{N(h)≥2}=o(h)定理2.1.1定义2.1.1与2.1.2是等价的。证明首先我们证明定义2.1.2蕴含定义2.1.1。为此设(){()}nPtPNtn按以下方法导出一个关于0()Pt的微分方程：0(){()0}PthPNth{()0,()()0}PNtNthNt{()0}{()()0}PNtPNthNt0()(1())Pthoh0()(1)()Pthoh其中最后两个等式由假定（2）与（3）及（4）蕴含了这一事实而得到。因此000()()()()PthPtohPthh令0h得00()()PtPt解得00()tPtCe既然0(0){(0)0}1PPN，得01C，所以0()tPte类似地，当1n时(){()}nPthPNthn{(),()()0}{()1,()()1}PNtnNthNtPNtnNthNt{(),()()2}PNthnNthNt＝tt+hn0n-11n-11{()}{()()0}{()1}{()()1}PNtnNthNtPNtnNthNt+{()2,()()2}PNthnNthNt=1()(1)()()nnPthPthoh⑴N(0)=0⑵过程有平稳增量与独立增量⑶P{N(h)=1}=λh+o(h)⑷(4)P{N(h)≥2}=o(h)1()()()nnnPtPtPt于是1()(())ttnnnPtePtedtC101()(())ttPtePtedtC＝1()ttteeedtC＝1()tetC，又因1(0)0P，得10C，1()tPtte．1()()()()()nnnnPthPtohPtPthh用数学归纳法，可证明()()!ntntPten于是定义2．1．2蕴含了定义2．1．1。逆命题的证明留给读者去作。二、来到间隔与等待时间的分布(interarrivalandwaitingtimedistributions)1.来到间隔时间的分布(interarrivaltimedistributions)考虑一泊松过程，以X1记第一个事件来到的时刻。对n1以Xn记第n－1个到第n个事件之间的时间。序列{Xn,n1}称为来到间隔序列（thesequenceofinterarrivaltimes）。命题2.2.1Xn,n=1,2,,为独立同分布的均值为1/的指数随机变量。证明：P{X1t}=P{N(t)=0}=teP{X2t|X1=s}=P{在(s,s+t]内没有事件|X1=s}=P{在(s,s+t]内没有事件}(由独立增量)=te(由平稳增量)所以，从上可得，X2也是一个具有均值1/的指数随机变量，且X2独立于X1。P{Xnt|X1=x1,,Xn-1=xn-1}=P{在(x1++xn-1,x1++xn-1+t]内没有事件|X1=x1,…,Xn-1=xn-1}=P{在(x1++xn-1,x1++xn-1+t]内没有事件}(由独立增量)=te(由平稳增量)所以，从上可得，Xn也是一个具有均值1/的指数随机变量，且Xn独立于X1,…,Xn-1。注记这个命题不应使我们惊奇。平稳独立增量的假定等价于说在概率意义上过程在任何时刻都重新开始，即从任何时刻起过程独立于先前已发生的一切(由独立增量)，且有与原过程完全一样的分布(由平稳增量)。换言之，过程无记忆，因此指数间隔是预料之中的。X1=x1X2=x2Xn-1=xn-1Xntx1x1+x2x1+x2+…+xn-1x1+x2+…+xn-1+t2.等待时间的分布(waitingtimedistributions)第n个事件来到的时间记为Sn，也称为第n个事件的等待时间。则1,1nniiSXn命题Sn有参数为n与的—分布，即其概率密度为1()(),0(1)!nttftetn证明：法一数学归纳法,用到卷积公式;法二用矩母函数法三利用关系()nNtnSt注意到第n个事件在时刻t或t之前发生当且仅当到时间t已发生的事件数目至少是n，即()nNtnSt因此(){}[()}!jtnjntPStPNtnej,求导得Sn的密度函数11()()()()(1)!!(1)!jjntttjnjntttfteeejjn3.泊松过程第三个定义命题2.2.1又给我们定义泊松过程的另一个方法。泊松过程的第三个等价定义：{Xn,n1}是一列均值为1/的独立同分布的指数随机变量。1,1nniiSXn，第n个事件在时刻Sn发生，N(t)表示到时刻t为止已发生的“事件”的总数，即()sup{:}nNtnSt，则计数过程{N(t),t≥0}是参数为的泊松过程。三、来到时刻的条件分布（conditionaldistributionofthearrivaltimes)1.顺序统计量(theorderstatistics)设Y1,Y2,,Yn是n个随机变量，如果Y(k)是Y1,Y2,,Yn中的第k个最小值，i=1,2,,n,则称Y(1),Y(2),,Y(n)是对应于Y1,Y2,,Yn的顺序统计量(theorderstatisticscorrespondingtoY1,Y2,,Yn)。命题：若Yi，i=1,2,,n,是独立同分布的连续随机变量，具有概率密度f，则顺序统计量Y(1),Y(2),,Y(n)的联合密度为12121(,,,)!(),nninifyyynfyyyy证明：(1)对12nyyy，如果(Y1,Y2,,Yn)等于(y1,y2,,yn)的n!个排列中的任一个，Y(1),Y(2),,Y(n)将等于(y1,y2,,yn)；(2)当12(,,,)niiiyyy是(y1,y2,,yn)的一个排列时，Y1,Y2,,Yn等于12(,,,)niiiyyy的概率密度是11()()()nniiiifyfyfy，所以Y(1),Y(2),,Y(n)的联合密度为12121(,,,)!(),nninifyyynfyyyy若Yi，i=1,2,,n,都是(0,t)上均匀分布，则由上面的讨论可知，顺序统计量Y(1),Y(2),,Y(n)的联合密度函数是1212!(,,,),0nnnnfyyyyyytt2.来到时刻的条件分布（conditionaldistributionofthearrivaltimes)假设已知到时间t泊松过程恰发生了一个事件，我们要确定这一事件发生的时刻的分布。因为泊松过程有平稳独立增量，看来有理由认为[0,t]内长度相等的区间包含这个事件的概率应该相同。换言之，这个事件的来到时刻应在[0,t]上均匀分布。容易验证此事，因为对st有1{|()1}PXsNt1{,()1}{()1}PXsNtPNt{[0,],,]}{()1}PsstPNt在内有一个事件在(内没有事件{[0,]}{,]}{()1}PsPstPNt在内有一个事件在(内没有事件()ststseestet可以推广这个结果．定理2.3.1在已知()Ntn的条件下，n个来到时刻S1,S2,,Sn，与相应于n个(0,t)上均匀分布的独立随机变量的顺序统计量有相同的分布。证明我们来计算给定()Ntn的条件时，S1,S2,,Sn密度函数，设1210ntttt，且取ih充分小使得1,1,2,,.iiithtin。现在{,1,2,,|()}iiiiPtSthinNtn＝{[,],1,2,,,[0,]}{()}iiiPtthintPNtn在恰有一个事件在的别处无任何事件=121()112!()/!nnhthhhhnntnnheheenhhhetnt因此12{,1,2,,|()}!iiiinnPtSthinNtnnhhht令0ih，我们得到S1,S2,,Sn在巳知()Ntn的条件下的条件密度为1212!(,,,),0nnnnfttttttt,证毕例2.3(a)假设乘客按照参数为的泊松过程来到一个火车站。若火车在时刻t启程，让我们计算在(0,t]内到达的乘客的等待时间的总和的期望，即求()1[()]NtiiEtS，其中Si是第i个乘客的来到时刻。解：对N(t)取条件得()1[()|()]NtiiEtSNtn=1[()|()]niiEtSNtn=1[|()]niintESNtn现在以U1,U2,,Un记n个独立的(0,t)上均匀分布的随机变量,则1[|()]niiESNtn()1[]niiEU(由定理2.3.1)＝1[]2niintEU（因()1niiU＝1niiU），因此()1[()|()]NtiiEtSNtn＝22ntntnt，()1[()|()]NtiiEtSNt()2Ntt所以()211[()][()]22NtiitEtSENtt3.泊松过程的随机取样作为定理2.3.1的一个重要应用，假设参数为的泊松过程的各个事件被分成I—型或Ⅱ—型的，且假设一个事件被归作I—型的概率依赖于它发生的时刻。具体地说，假设一事件在时刻s发生，以概率P(s)被归作I—型，而以概率1-P(s)归作Ⅱ—型，且与其它事件归作什么类型相互独立。利用定理2.3.1可以证明下面的命题。命题2.3.2若()iNt表示到时刻t,i—型事件发生的个数，i＝1,2,则1()Nt与2()Nt是独立的泊松随机变量，分别有均值tp及(1)tp,其中01()tpPsdst证明对N(t)取条件,计算1()Nt与2()Nt的联合分布:12{(),()}PNtnNtm=120{(