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当前位置:首页 > 中学教育 > 初中教育 > (1502)黄金分割专项练习30题(有答案)
第1页共21页黄金分割专项练习30题(有答案)1.定义:如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC•AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图2,△ABC中,AB=AC=1,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证:点D是线段AC的黄金分割点;(2)求出线段AD的长.2.如图,用长为40cm的细铁丝围成一个矩形ABCD(AB>AD).(1)若这个矩形的面积等于99cm2,求AB的长度;(2)这个矩形的面积可能等于101cm2吗?若能,求出AB的长度,若不能,说明理由;(3)若这个矩形为黄金矩形(AD与AB之比等于黄金比),求该矩形的面积.(结果保留根号)3.定义:如图1,点C在线段AB上,若满足AC2=BC•AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图2,△ABC中,AB=AC=2,∠A=36°,BD平分∠ABC交AC于点D.(1)求证:点D是线段AC的黄金分割点;(2)求出线段AD的长.第2页共21页4.作一个等腰三角形,使得腰与底之比为黄金比.(1)尺规作图并保留作图痕迹;(2)写出你的作法;(3)证明:腰与底之比为黄金比.5.(1)已知线段AB的长为2,P是AB的黄金分割点,求AP的长;(2)求作线段AB的黄金分割点P,要求尺规作图,且使AP>PB.6.如图,线段AB的长度为1.(1)线段AB上的点C满足系式AC2=BC•AB,求线段AC的长度;(选做)(2)线段AC上的点D满足关系式AD2=CD•AC,求线段AD的长度;(选做)(3)线段AD上的点E满足关系式AE2=DE•AD,求线段AE的长度;上面各题的结果反映了什么规律?(提示:在每一小题中设x和l)7.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,∠1=∠2,请问点D是不是线段AC的黄金分割点.请说明理由.第3页共21页8.在△ABC中,AB=AC=2,BC=﹣1,∠A=36°,BD平分∠ABC,交于AC于D.试说明点D是线段AC的黄金分割点.9.在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形,如在矩形ABCD中,当时,称矩形ABCD为黄金矩形ABCD.请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.10.如图,设AB是已知线段,在AB上作正方形ABCD;取AD的中点E,连接EB;延长DA至F,使EF=EB;以线段AF为边作正方形AFGH.则点H是AB的黄金分割点.为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点,你能说出其中的道理吗?请试一试,说一说.11.如图,已知△ABC中,D是AC边上一点,∠A=36°,∠C=72°,∠ADB=108°.求证:(1)AD=BD=BC;(2)点D是线段AC的黄金分割点.第4页共21页12.已知AB=2,点C是AB的黄金分割线,点D在AB上,且AD2=BD•AB,求的值.13.如果一个矩形ABCD(AB<BC)中,≈0.618,那么这个矩形称为黄金矩形,黄金矩形给人以美感.在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF,得到一个小矩形ABFE(如图),请问矩形ABFE是否是黄金矩形?请说明你的结论的正确性.14.五角星是我们常见的图形,如图所示,其中,点C,D分别是线段AB的黄金分割点,AB=20cm,求EC+CD的长.15.人的肚脐是人的身高的黄金分割点,一般来讲,当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时,是比较好看的黄金身段.一个身高1.70m的人,他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段(保留两位小数)?16.如图所示,以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD,取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F,使PF=PD,以AF为边作正方形AMEF,点M在AD上.(1)求AM,DM的长;(2)点M是AD的黄金分割点吗?为什么?第5页共21页17.如图,点P是线段AB的黄金分割点,且AP>BP,设以AP为边长的正方形面积为S1,以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2,试比较S1与S2的大小.18.如图,在平行四边形ABCD中,E为边AD延长线上的一点,且D为AE的黄金分割点,即,BE交DC于点F,已知,求CF的长.19.图1是一张宽与长之比为的矩形纸片,我们称这样的矩形为黄金矩形.同学们都知道按图2所示的折叠方法进行折叠,折叠后再展开,可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC,那么EFDC这个矩形还是黄金矩形吗?若是,请根据图2证明你的结论;若不是,请说明理由.20.(如图1),点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP,如果,那么称点P为线段AB的黄金分割点,设=k,则k就是黄金比,并且k≈0.618.第6页共21页(1)以图1中的AP为底,BP为腰得到等腰△APB(如图2),等腰△APB即为黄金三角形,黄金三角形的定义为:满足≈0.618的等腰三角形是黄金三角形;类似地,请你给出黄金矩形的定义:;(2)如图1,设AB=1,请你说明为什么k约为0.618;(3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分(设S1<S2),如果,那么称直线l为该图形的黄金分割线.(如图3),点P是线段AB的黄金分割点,那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗?请说明理由;(4)图3中的△ABC的黄金分割线有几条?21.在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上,肚脐是理想的黄金分割点,即比例越接近0.618,越给人以美感.张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60,她的身高为1.60m,她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美?(精确到十分位)22.已知线段AB,按照如下的方法作图:以AB为边作正方形ABCD,取AD的中点E,连接EB,延长DA到F,使EF=EB,以线段AF为边,作正方形AFGH,那么点H是线段AB的黄金分割点吗?请说明理由.23.如图,用纸折出黄金分割点:裁一张正方的纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落到线段EA上,折出点B的新位置B′,因而EB′=EB.类似地,在AB上折出点B″使AB″=AB′.这时B″就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.第7页共21页24.如图,用纸折出黄金分割点:裁一张边长为2的正方形纸片ABCD,先折出BC的中点E,再折出线段AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上,折出点B的新位置F,因而EF=EB.类似的,在AB上折出点M使AM=AF.则M是AB的黄金分割点吗?若是请你证明,若不是请说明理由.25.如图,在△ABC中,点D在边AB上,且DB=DC=AC,已知∠ACE=108°,BC=2.(1)求∠B的度数;(2)我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比(或者底边长与腰长的比)等于黄金比.①写出图中所有的黄金三角形,选一个说明理由;②求AD的长;③在直线AB或BC上是否存在点P(点A、B除外),使△PDC是黄金三角形?若存在,在备用图中画出点P,简要说明画出点P的方法(不要求证明);若不存在,说明理由.26.宽与长的比是的矩形叫黄金矩形.心理测试表明:黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感.现将小波同学在数学活动课中,折叠黄金矩形的方法归纳如下(如图所示):第一步:作一个正方形ABCD;第二步:分别取AD,BC的中点M,N,连接MN;第三步:以N为圆心,ND长为半径画弧,交BC的延长线于E;第四步:过E作EF⊥AD,交AD的延长线于F.请你根据以上作法,证明矩形DCEF为黄金矩形.第8页共21页27.在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,把像这样的三角形叫做黄金三角形.(1)请你设计三种不同的分法,将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形,使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形(画图工具不限,要求画出分割线段;标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数,不要求写画法,不要求证明.分别画在图1,图2,图3中)注:两种分法只要有一条分割线段位置不同,就认为是两种不同的分法.(2)如图4中,BF平分∠ABC交AC于F,取AB的中点E,连接EF并延长交BC的延长线于M.试判断CM与AB之间的数量关系?只需说明结果,不用证明.答:CM与AB之间的数量关系是.28.折纸与证明﹣﹣﹣用纸折出黄金分割点:第一步:如图(1),先将一张正方形纸片ABCD对折,得到折痕EF;再折出矩形BCFE的对角线BF.第二步:如图(2),将AB边折到BF上,得到折痕BG,试说明点G为线段AD的黄金分割点(AG>GD)29.三角形中,顶角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形,如图1,在△ABC中,已知:AB=AC,且∠A=36°.(1)在图1中,用尺规作AB的垂直平分线交AC于D,并连接BD(保留作图痕迹,不写作法);(2)△BCD是不是黄金三角形?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由;(3)设,试求k的值;第9页共21页(4)如图2,在△A1B1C1中,已知A1B1=A1C1,∠A1=108°,且A1B1=AB,请直接写出的值.30.如图1,点C将线段AB分成两部分,如果,那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时,由黄金分割点联想到“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成两部分,这两部分的面积分别为S1,S2,如果,那么称直线l为该图形的黄金分割线.(1)研究小组猜想:在△ABC中,若点D为AB边上的黄金分割点(如图2),则直线CD是△ABC的黄金分割线.你认为对吗?为什么?(2)请你说明:三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线?(3)研究小组在进一步探究中发现:过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF∥CE,交AC于点F,连接EF(如图3),则直线EF也是△ABC的黄金分割线.请你说明理由.(4)如图4,点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点,过点E作EF∥AD,交DC于点F,显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线.请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线,使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点.第10页共21页黄金分割专项练习30题参考答案:1.(1)证明:∵AB=AC=1,∴∠ABC=∠C=(180°﹣∠A)=(180°﹣36°)=72°,∵BD平分∠ABC交AC于点D,∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°,∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°,∴DA=DB,BD=BC,∴AD=BD=BC,易得△BDC∽△ABC,∴BC:AC=CD:BC,即BC2=CD•AC,∴AD2=CD•AC,∴点D是线段AC的黄金分割点;(2)设AD=x,则CD=AC﹣AD=1﹣x,∵AD2=CD•AC,∴x2=1﹣x,解得x1=,x2=,即AD的长为2.解:(1)设AB=xcm,则AD=(20﹣x)cm,根据题意得x(20﹣x)=99,整理得x2﹣20x+99=0,解得x1=9,x2=11,当x=9时,20﹣x=11;当x=11时,20﹣11=9,而AB>AD,所以x=11,即AB的长为11cm;(2)不能.理由如下:设AB=xcm,则AD=(20﹣x)cm,根据题意得x(20﹣x)=101,整理得x2﹣20x+101=0,因为△=202﹣4×101=﹣4<0,所以方程没有实数解,所以这个矩形的面积可能等于101cm2;(3)设AB=xcm,则AD=(20﹣x)cm,根据题意得20﹣x=x,解得x=10(﹣1),则20﹣x=10(3﹣),所以矩形的面积=10(﹣1)•10(3﹣)=(400﹣800)cm2.3.解:(1)∵∠A=36°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵BD平分∠ABC,∴∠CBD=∠ABD=36°,∠BDC=72°,∴AD=BD,BC=BD,∴△ABC∽△BDC,第11页共21页∴=,即=,∴AD2=AC•CD.∴点D是线段AC的黄金分割点.(2)∵点D是线段AC的黄金分割点,∴AD=AC,∵AC=2,∴AD=﹣14.解:(1)腰与底之比为黄金比为黄金比如图,(2)作法:①画线段AB作为三角形底边;
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