合肥工业大学高数习题册上下册答案详解

习题11函数1．设函数2,0,()2,0,xxxfxx，求（1）(1)f，(0)f，(1)f；（2）()(0)fxfx，()(0)fxfx（0x）．【解】（1）2|2)1(,2|)2()0(,1|)2()1(101xxxxfxfxf；（2）()(0)fxfx.0,1,0,220,2)2(,0,22xxxxxxxxxx()(0)fxfx)0(12)2(xxx。■2．已知21()1fxxx，求()fx．【解】令xt1，则2111)(tttf，故2111)(xxxf。■3．证明：()2sinfxxx在(,)内是严格递增函数．【证】方法1（定义法）∵对任意2121),,(,xxxx，有)sin2()sin2()()(112212xxxxxfxf2sin2cos2)(2sinsin)(21221121212xxxxxxxxxx2)1(2)(22sin)1(2)(212121212xxxxxxxx012xx，其中用到)0(sin,cos1xxxx，∴()2sinfxxx在(,)内是严格递增函数。方法2（导数法）∵)(0cos2)(xxxf∴),()(xf。■4．设()fx在[,]aa上是奇函数，证明：若()fx在[0,]a上递增，则()fx在[,0]a上也递增．【证】∵对任意0,],0,[,2121axxaxx，有2121],,0[,xxaxx，∴由()fx在)0](,0[aa上单调增加可得：)()(21xfxf。又∵()fx在[,]aa上是奇函数，即)()(),()(2211xfxfxfxf，∴)()(21xfxf，即)()(21xfxf，故()fx在[,0]a上也是单调增加。■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题21极限1．求下列极限：11(2)3(1)lim(2)3nnnnn；【解】分之分母同除n3，利用四则运算极限法则和幂极限可得313)32)(2(1)32(limnnnL。■222111(2)lim(1)(1)(1)23nn；【解】∵)11]()1(11[)411)(311)(211(22222nn22222222221)1(1)1(414313212nnnn22222)1)(1()1()2(453342231nnnnnnnnnn21111111121，∴2121limnnLn。■22(3)lim[(1)(1)(1)]nnrrr(1)r；【解】∵rrrrrrrrnn1)1()1)(1)(1()1()1)(1(2222rrrrrrnn111)1()1)(1(12222，∴rrrrrLnnnn111lim111lim1122。■(4)lim(1)xxxx；【解】∵)1()1)(1()1(xxxxxxxxxx11111xxxx，∴211111limxLx。■3131(5)lim()11xxx．【解】)1)(1()2)(1(lim12lim1)1(3lim21321321xxxxxxxxxxxLxxx13312lim21xxxx。■2．求常数a和b，使得02lim1xaxbx．【解】∵02lim1xaxbx，0lim0xx，∴02)2(lim0bbaxx，即4b。于是，)24()24)(24(lim2lim0000axxaxaxxbaxxx14241lim)24(lim00aaxaaxxaxxx，∴4ba。■3．若111()1xxefxe，求0lim()xfx，0lim()xfx，0lim()xfx．【解】∵xx1lim0，xx1lim0，∴0lim10xxe，xxe10lim。从而，1lim1lim111lim)(lim10101100xxxxxxxxeeeexf，111lim11lim1111lim11lim11lim)(lim11100ttttttttttxtxxxxeeeeeeeexf，故0lim()xfx不存在。■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题22无穷小与无穷大1．利用等价无穷小的代换求下列极限：0tan(2)ln(1)(1)limsin(3)arctan(2)xxxxx；【解】31232lim0xxxxLx。■2021cos(2)limsinxxx；【解】)cos12()cos12)(cos12(lim20xxxxLx24122121limcos121limcos1lim220020xxxxxxxx。■201cos(sin)(3)limxxx．【解】21)sinlim(21sin21lim20220xxxxLxx。■2．设ln(12),0,(),10,xxxfxaxaxxx确定正数a的值，使得0lim()xfx存在．【解】∵axaxaxxaxaxfxxx12limlim)(lim000，22lim)21ln(lim)(lim000xxxxxfxxx，∴当21a，即41a时，0lim()xfx存在。■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题23极限存在准则1．计算下列极限：30tansin(1)limxxxx；【解】200020cos1limcos1limsinlim)cos1cos1sin(limxxxxxxxxxxLxxxx212111。■22sin(2)(2)lim4xxx；【解】4141121lim2)2sin(lim22xxxLxx。■2(3)lim()xxxx；【解】22222])211(lim[])211[(limexxLxxxx。■2221(4)lim()1xxxx．【解】212222222)11(lim)11(lim1111limeeexxxxLxxxxxx。■2．设110,x16nnxx(1,2,3,)n，试证数列nx的极限存在，并求此数列极限．【证】（1）证明极限的存在性·单调性：∵46,10121xxx，∴010412xx。∵111116666nnnnnnnnnnxxxxxxxxxx，∴由数学归纳法可知：01nnxx，即),2,1(1nxxnn，故nx为单调减少数列。·有界性：只需证明有下界。显然，0nx。或者由数学归纳法∵,3101x34612xx，310623xx，396106634xx，33661nnxx，∴nx有下界。于是，由单调有界收敛准则知：存在极限nnxlim。（2）求极限：设axnnlim，则由16nnxx求极限可得aa6，即0)3)(2(62aaaa，解得：3,2a。注意到0nx，故3a。■―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――习题24连续函数及其性质1．求函数11()1xxfxe的间断点，并说明其类型．【解】显然，当1,0x时，函数无定义，故1,0x均为间断点。∵011)1(lim0**1lim*100eeexxxxxx，∴)(lim0xfx，即0x为第二类间断点，且为无穷间断点。∵eeexxxxxx11)1(lim1lim111，10111)1(lim1lim111eeexxxxxx，∴1)(lim,0)(lim11xfxfxx，即1x为第一类间断点，且为跳跃间断点。■注：*极限四则运算法则，**xe的连续性。2．设221()lim1nnnxfxxx，试求函数()fx的表达式，若有间断点，并说明其类型．【解】∵,1||,,1||,1,1||,0lim2xxxxnn∴,1||,1,1||,0,1||,111lim22xxxxxnnn即。1||,,1||,0,1||,)(xxxxxxf由图形易知：1x为第一类间断点，且为跳跃间断点。■3．设21cos,0,(),0,xxfxxaxx要使()fx在,内连续，确定常数a．【解】显然，函数在),0(),0,(内为初等函数，故连续。只需讨论分界点0x处函数的连续性。∵axaxfxx)(lim)(lim200，01coslim)(lim00xxxfxx（无穷小与有界函数积），∴当0a时，()fx在,内连续。■4．讨论sin,0,()1,0,2(11),0xxxfxxxxx的连续性．【解】显然，只需讨论分界点0x处函数的连续性。∵1sinlim)(lim00xxxfxx，1112lim)11(2lim)(lim000xxxxfxxx，∴)0(1)(lim0fxfx，即()fx在,内连续。■5．求下列极限：0ln(1)(1)limxxx(为常数）；【解】方法1由等价无穷小可得：xxLx0lim。方法2由重要极限与连续性可得：exxLxxxxln)1(limln)1ln(lim1010。■sinsin(2)limxaxaxa；【解】由三角函数公式、重要极限与连续性可得：aaxaxaxaxaxaxLaxaxaxcos22sinlim2coslim2sin2cos2lim。■0(3)limxxxeex(,为常数）．【解】显然，当时，0L。当时，xexexexeLxxxxxxx1lim1lim)11(lim000xxxxxx00limlim。■6．设函数()fx在0,2上连续，且(0)(2)ff，证明在0,上至少存在一点，使得()()ff．【解】作辅助函数)()()(xfxfxF，则∵()fx在0,2上连续，且(0)(2)ff，∴],0[)(CxF。∵)()0()0(ffF，)0()()2()()(ffffF)0(F，∴①当)()0(ff时，可取,0，满足0)(F；②当)()0(ff时，0)()0(FF，由零点定理可知：存在),0(，使得0)(F，即()()ff