量子力学常用数学公式

量子力学常用积分公式(1)dxexanexadxexaxnaxnaxn∫∫−−=11)0(n(2))cossin(sin22bxbbxabaebxdxeaxax−+=∫(3)=∫axdxeaxcos)sincos(22bxbbxabaeax++(4)axxaaxaaxdxxcos1sin1sin2−=∫(5)=∫axdxxsin2axaxaaxaxcos)2(sin2222−+(6)axaxaxaaxdxxsincos1cos2+=∫(7axaaxaxaxaxdxxsin)2(cos2cos3222−+=∫))ln(2222caxxaaccaxx++++(0a)(8)∫=+dxcax2)arcsin(222xcaaccaxx−−++(a0)∫20sinπxdxn2!!!)!1(πnn−(=n正偶数)(9)=∫20cosπxdxn!!!)!1(nn−(=n正奇数)2π(0a)(10)∫∞=0sindxxax2π−(0a)(11))10!+∞−=∫nnaxandxxe(0,=an正整数)(12)adxeaxπ2102=∫∞−(13)121022!)!12(2++∞−−=∫nnaxnandxexπ(14)10122!2+∞−+=∫naxnandxex(15)2sin022adxxaxπ∫∞=(16)∫∞−+=0222)(2sinbaabbxdxxeax(0a)∫∞−+−=022222)(cosbababxdxxeax(0a)第二章：函数与波动方程[1]试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2221)(xmxVω=](解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld的量子化条件式:∫=nhpdq在量子化条件中,令⋅=xmp为振子动量,xq=为振子坐标,设总能量E则22222xmmPEω+=)2(222xmEmpω−=代入公式得:nhdxxmEm=−∫)2(222ω量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅OA的四倍,要决定振幅a,注意在A或B点动能为0,2221amEω=,(1)改写为:nhdxxamaa=−∫−222ω(2)积分得:nham=πω2遍乘πω21得ωπωℏnhE==2[乙法]也是利用量子化条件,大积分变量用时间t而不用位移x,按题意振动角频率为ω,直接写出位移x,用t的项表示:taxqωsin==求微分:tdtadxdqωωcos==(4)求积分:tmaxmpωωcos==⋅(5)将(4)(5)代量子化条件:nhtdtmapdqT==∫∫0222cosωωT是振动周期,T=ωπ2,求出积分,得nham=πω2ωπωℏnnhE==23,2,1=n正整数#[2]用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为.,,cba(解)三维问题,有三个独立量子化条件,可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如ppxx−→),其余分动量不变,设想粒子从某一分运动完成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件:ppnqpxaxxxxadxhd220===∫∫(1)ppnqpybyyyybdyhd220===∫∫(2)ppnqpzczzzzcdzhd220===∫∫(3)pppzyx,,都是常数,总动量平方222zyxpppp++=总能量是:)(2122222zyxpppmmpE++===])2()2()2[(21222chbhahmnnnzyx++=])()()[(82222cbamhnnnzyx++但3,2,1,,=nnnzyx正整数.#[3]平面转子的转动惯量为Ι,求能量允许值.(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角ϕ）决定,它的运动是一种刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的角动量Ιω,但⋅=ϕω是角速度,能量是221ωΙ=E利用量子化条件,将p理解成为角动量,q理解成转角ϕ,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有nhdpdq=Ι=Ι=∫∫ωπϕωπ220(1)(1)说明ω是量子化的(2)Ι=Ι=ℏnnhπω2(3,2,1=n……..)(2)(3)代入能量公式,得能量量子化公式:Ι=ΙΙ=Ι=2)(2212222ℏℏnnEω(3)#[4]有一带电荷e质量m的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是r,线速度是v,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是:rmvcBev2=(1)又利用量子化条件,令=p电荷角动量=q转角ϕnhmrvmrvdpdq===∫∫πϕπ220(2)即nhmrv=(3)由(1)(2)求得电荷动能=mcnBemv2212ℏ=再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能=cBrevcc*****2π==场强线圈面积电流场强磁矩,v是电荷的旋转频率,rvvπ2=,代入前式得运动电荷的磁势能=mcnBe2ℏ(符号是正的)点电荷的总能量=动能+磁势能=E=mcnBe2ℏ(3,2,1=n)#[5]对高速运动的粒子(静质量m)的能量和动量由下式给出:2221cvmcE−=(1)2221cvmvp−=(2)试根据哈密顿量2242pccmEH+==(3)及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:pqiiH∂∂=⋅,本题中vqi=⋅,ppi=,因而224222242pccmpcpccmpv+=+∂∂=(4)从前式解出p(用v表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式.其次求粒子速度v和它的物质波的群速度vG间的关系.运用德氏的假设:kpℏ=于(3)式右方,又用ωℏ=E于(3)式左方,遍除h:)(22242kkccmωω=+=ℏ按照波包理论，波包群速度vG是角频率丢波数的一阶导数：22242kccmkvG+∂∂=ℏ=22422222422pccmpckccmkc+=+ℏ最后一式按照（4）式等于粒子速度v，因而vvG=。又按一般的波动理论，波的相速度vG是由下式规定kvpωυλ==（υ是频率）利用（5）式得知cckcmvp+=22242ℏ（6）故相速度（物质波的）应当超过光速。最后找出vG和vp的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设：vGcvckpE22===ℏℏω，vvGpc2=（7）#[6]（1）试用Fermat最小光程原理导出光的折射定律αα2211sinsinnn=（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难：如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理∫=0pdlδ认为mvp=则∫=0pdlδ这将导得下述折射定律αα1331sinsinnn=这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：2cEvp=仍就成立，E是粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E仍不变，仍有∫=0pdlδ，你怎样解决矛盾？（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定点A到定点B的路径是两段直线：光程QBAQInn21+=设A，B到界面距离是a,b(都是常量)有αα2211secsecbaInn+=又AB沿界面的投影c也是常数，因而α1，α2存在约束条件：cbtgatg=+αα21（2）求(1)的变分,而将α1,α2看作能独立变化的,有以下极值条件0secsec22221111=+=ααααααδdtgbtgaIndn(3)再求（2）的变分0secsec222112==+cdbadδαααα(3)与(4)消去α1d和α2d得αα2211sinsinnn=(5)[乙法]见同一图,取x为变分参数,取0为原点，则有:)(222221xcbxaInn−+++=求此式变分,令之为零,有：0)()(222221=−+−−+=xcbxxcxaxxInnδδδ这个式子从图中几何关系得知,就是(5).(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v应等于光波的群速度vG光程原理作0=∫dlvGδ,依前题相速vvGpc2=,而cncvvpG==2,n是折射率,n是波前阵面更引起的,而波阵面速度则是相速度vp,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.∫=0ndlδ前一非难是将光子的传播速度v看作相速度vp的误解.#[7]当势能)(rV�改变一常量C时,即crVrV+→)()(��,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?(解)设原来的薛定谔方程式是0)]([2222=−+ψψxVEmdxdℏ将方程式左边加减相等的量ψC得:0]})([]{[2222=+−++ψψCxVCEmdxdℏ这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解)(xψ,从能量本征值来说,后者比前者增加了C。#[8]设粒子势能的极小值是EnVmin(证)先求粒子在某一状态中的平均值能量ExdrVmE322*])(2[∫∫∫+∇−=υψψℏ其中动能平均值一定为正:xdmT322*)2(∫∫∫∇−=ψψℏ=∫∫∫∇∇−∇∇−τψψψψdm}][{2**2ℏ=∫∫∫∫∫∫∇∇+∇⋅∇−τψψτψψdmdm*2*22)(2ℏℏ用高斯定理:τψψψψdmsdmTB∇∇+⋅∇−=∫∫∫∫∫*2*22)(2ℏ�ℏ=∫∫∫∇⋅∇ττψψdm*22ℏ中间一式的第一项是零,因为ψ假定满足平方可积条件,因而0T因此VVTE+=,能让能量平均值VVmin因此VEmin令ψψn=(本征态)则EnE=而VEnmin得证#[9]设粒子在势场)(rV�中运动(1)证明其能量的平均值是:dxmWdxE∫∫∇⋅∇==]2[*22ψψℏ(1)其中W是能量密度(2)证明能量守恒公式0=⋅∇+∂∂StW�(2)其中)(2**2ψψψ∇∂∂+∇∂∂−=ttmSℏ�(能流密度)(证明)(1)三维粒子的能量算符是:ψψVmH+∇−=∧222ℏ(3)求∧H在状态ψ中的平均值xdVmdxHE322**)2(∫∫∫∫∫∫+∇−==∧ττψψψψψℏ由于Ψ∇Ψ∇−Ψ∇Ψ∇=Ψ∇Ψ**2*)(，将此式代入前一式：∫∫∫∫∫∫Ψ∇Ψ+Ψ∇Ψ∇−Ψ∇Ψ∇−=rrdxdxmE*3**2})({2ℏ∫∫∫∫∫∫∫∫∫Ψ∇Ψ+Ψ∇Ψ∇+Ψ∇Ψ∇−=rrrdxdxmdxm*3*23*22)({2ℏℏ最末一式按高斯定理化为面积分SddxmrS�ℏ⋅Ψ∇Ψ=Ψ∇Ψ∇−∫∫∫∫∫*3*2)(2若Ψ满足平方可积条件，则0*lim=Ψ∇Ψ∞→r，S考虑为无限远处的界面。结果证得公式⑴⑵求⑴式中能量密度W的时间偏导数，注意Ψ。*Ψ一般都含时间，Ψ∇，*Ψ∇也是如此，因而：}2{**2Ψ∇Ψ+Ψ∇Ψ∇∂∂=∂∂mttWℏttttm∂Ψ∂∇Ψ+Ψ∇∂Ψ∂+Ψ∇∂Ψ∂∇+∂Ψ∂∇Ψ∇=****2}{2ℏ]}[][{22**2**2Ψ∇∂Ψ∂+Ψ∇∂Ψ∂−Ψ∇⋅∂Ψ∂+∂Ψ∂⋅Ψ∇⋅∇=ttttmℏtt∂Ψ∂∇Ψ+Ψ∇∂Ψ∂+**]2[][222***2Ψ∇+Ψ∇−∂Ψ∂+Ψ∇⋅∂Ψ∂+∂Ψ∂⋅Ψ∇⋅∇=mtttmℏℏ]2[**22Ψ∇+Ψ∇−∂Ψ∂+mtℏ粒子满足含时间薛定谔方程及其共轭方程式：Ψ∇+Ψ∇−=∂Ψ∂222mtiℏℏ**22*2Ψ∇+Ψ∇−=∂Ψ∂−mtiℏℏ又设][2**2Ψ∇∂Ψ∂+Ψ∇⋅∂Ψ∂−≡ttmSℏ�则有SttttStW��⋅−∇=∂Ψ∂∂Ψ∂−∂Ψ∂∂Ψ∂+⋅−∇=∂∂**公式⑵得证。[10]设N个粒子的哈密顿量为：][2ˆ1212jiNiijiNirrmH��ℏ−+∇−=∑∑==ρ⑴),(21trrrN�⋯��Ψ是它的任一态函数，定义：∑=),(),(trtri��ρρ⑵∑=),(),(trjtrji����⑶ΨΨ=∫∫*3333311),(Nrdrdrdtr⋯⋯�ρ)(2),(*11*3333311Ψ∇Ψ−Ψ∇Ψ=∫∫Nrdrdrdimtrj⋯⋯ℏ��求证：0=⋅∇+∂∂jt�ρ⑷[证明]按定义：),(trttii�∑∂∂=∂∂ρρ∑∫∫ΨΨ∂∂=+−iNiitrdrdrdrd*3131313⋯⋯⋯∑∫∫Ψ∂Ψ∂+∂Ψ∂Ψ=+−iNiit