2.2.2等差数列的性质

等差数列的性质知识回顾等差数列—几何意义—通项公式—递推公式（定义式）—定义AAAAAAAAAAAAA每一项与它前一项的差如果一个数列从第2项起，等于同一个常数.......②等差数列的通项公式是关于n的一次函数形式，当d=0时，为常函数。an=a1+(n-1)d等差数列各项对应的点都在同一条直线上.daann1【说明】AAA①公式中NnRd一、判定题：下列数列是否是等差数列？①.9，7，5，3，……,-2n+11，……；②.-1，11，23，35，……,12n-13，……；③.1，2，1，2，………………；④.1，2，4，6，8，10，……；⑤.a,a,a,a,……，a，……；√√√××复习巩固：(1)等差数列8，5，2，…，的第5项是AAAAAAAAA(2)等差数列-5，-9，-13，…的第n项是A-4an=-5+(n-1).(-4)10【说明】在等差数列{an}的通项公式中a1、d、an、n任知三个，可求出另外一个二、填空题：简言之————“知三求四”这里包含函数思想和方程思想(3)已知{an}为等差数列，a1=3，d=2，an=21，则n=性质一、任意两项的关系在等差数列中，有nadmnaamn)(mnaadmn或性质二、等差中项观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等差数列：（1）2，，4（2）-1，，5（3）-12，，0（4）0，，032-60如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项。2baA都是等价的。成等差数列，那么、若cbbabcabcabcabcba;;2;2,,1？aaaannnn)(21}{221中是否有、在等差数列?}{),()(21}{321是等差数列吗一定那么为任意的正整数中有、在数列nnnnnanaaaa间存在什么样的关系？与那么中，若等差数列中项，我们有引入：等差数列的等差qnmaaaaqpnmaaaaaaapn91719153,2,2思考：qpnmaaaa数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq。性质三、多项关系推广：若m+n=2p，则am+an=2ap。7153aaa(1)a83641aaaa(2)a732651aaaaa(3)a45433aaa(4)a判断对错：可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多1、已知：数列的通项公式为an=6n-1问这个数列是等差数列吗？若是等差数列，其首项与公差分别是多少？分析：由等差数列定义只需判断an+1-an(n∈N+)的结果是否为常数。解：∵an+1-an=6（n+1）-1-（6n-1）=6(常数)∴{an}是等差数列，其首项为a1=6×1-1=5,公差为6.例题分析例2.在等差数列{an}中(1)已知a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20例题分析(2）已知a3+a11=10，求a6+a7+a8(3)已知a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.解：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10解：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知a3+a11=10，∴a6+a7+a8=（a3+a11）=1523解：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28①又a4a7=187②，解①、②得a4=17a7=11a4=11a7=17或∴d=_2或2,从而a14=_3或31课堂练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，2a-5，-3a+2，则a等于（)A.-1B.1C.-2D.2B2.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6)提示1:提示：d=an+1—an=-4-353.在等差数列{an}中(1)若a59=70，a80=112，求a101；(2)若ap=q，aq=p(p≠q)，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q=0研究性问题2.已知{an}为等差数列，若a10=20，d=-1，求a3?1.若a12=23，a42=143，an=263，求n.3.三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的积为12，求此三数.d=4n=72a3=a10+(3-10)da3=27设这三个数分别为a-da，a+d，则3a=12，a2-d2=126，4，2或2，4，63.更一般的情形，an=，d=小结：1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)dmnaamnb为a、c的等差中项AA2cab2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq注意：上面的命题的逆命题是不一定成立的；5.在等差数列{an}中a1+ana2+an-1a3+an-2…===