高等半导体物理参考答案

习题参考答案第一章1）求基函数为一般平面波、哈密顿量为自由电子系统的哈密顿量时，矩阵元1ˆ1H和2ˆ1H的值。解：令rkieV111，rkieV212，222ˆmH，有：mkrdeemVkrdeVmeVHrkiVrkirkiVrki221)2(11ˆ121202122201111021)2(12ˆ121210222220rdeemVkrdeVmeVHrkiVrkirkiVrki2）证明)2(Nalk，)2(Nalk，l和l均为整数。证：由Bloch定理可得：)()(reRrnRikn考虑一维情况，由周期性边界条件，可得：221)()()(NalklNakererNarNaikNaik同理可证)2(Nalk。3）在近自由电子近似下，由02ˆ21ˆ22ˆ11ˆ1EHHHEH推导出0)()(0021knnkVV。解：令rkieV111，rkieV212，VrVVmVVrVmrVmH)(2)(2)(2ˆ222222VmVkVVVmVkrdeVeVrderVeVVmVkrdeVVrVVmeVHrkiVrkirkiVrkirkiVrki2)2(1)(1)2(1])(2[11ˆ121221200212220111111令VmVkk221201，即有011ˆ1kH。同理有：022ˆ2kH。nrkiVrkirkiVrkiVrderVeVrdeVrVmeVH2121)(101)](2[12ˆ10220其中rderVeVVrkiVrkin21)(10，是周期场V(x)的第n个傅立叶系数。同理，nVH1ˆ2。于是有：0)()(0021knnkVV。4）证明当mRkimeNa1时，)()(mnRmnRrarm具有bloch波函数的形式。证：将mRkimeNa1代入)()(mnRmnRrarm，有：)(1)(mnRRkinRreNrmm要证明)(rn具有bloch波函数的形式，只要证明)()(reRrnRkinnn即可。因为：)]([1)(1)()(nmnRRRkiRkimnnRRkinnRRreNeRRreNRrmnmnmm令nmlRRR，即有：)(1)(lnRRRkiRkinnRreNeRrnlln，由于求和遍及所有格点，有：)(1)(1lnRRkilnRRRkiRreNRreNllnll，于是有：)()(1)(reRreNeRrnRkilnRRkiRkinnnlln，证毕。5)写出用紧束缚近似LCAO方法求解硅材料能带的思路，计算)(2kg。解：取如右图的坐标系，坐标系原点位置原子的最近邻原子坐标为：考虑令rdrHrrrHSjyjyS)()(4)(*，绕x轴转，31rr，**yy；绕y轴转，41rr，**yy；绕z轴转，21rr，**yy也即)()()()(4321rHrHrHrHySySySyS，于是有)()(}2cos2sin2cos2sin2cos2sin){()}(2sin2cos2)(2cos2sin2{4)()}22sin(2)22sin(2{4)()]}(2exp[)](2exp[)](2exp[)](2{exp[4)(4)(21122221221114321kgrHkkkikkkrHeekkieekkirHkkiekkierHkkkikkkikkkikkkirHeeeerHAHBySzyxzyxySkikiyxkikiyxySyxkiyxkiySzyxzyxzyxzyxySrkirkirkirkiySSyzzzzzzzyxzyxkkkikkkkg2cos2sin2cos2sin2cos2sin)(2其中),,(2zyxkkkak)1,1,1(4),1,1,1(4),1,1,1(4),1,1,1(44321arararar'jrrdrHrrerdrHrrerdrHrrerdrHrrerdrHrreAHBSyrkiSyrkiSyrkiSyrkijSjyrkiSyj)()()()()()()()()()(4*3*2*2*4,3,2,1*43216）写出pk微扰方法的主要思路。答：将已知0k处的)(0runk和)(0kEn作为零级近似，求附近kkk0处的)(runk和)(kEn值。3,2,1)(0nrunk形成一组正交、完备的基函数，pk作为微扰来处理。通过kkk0进一步扩展到整个布里渊区。第二章1）请问分布函数),(tkf的物理意义。答：t时刻，单位体积内运动状态为k的电子数目。2）请用文字说明：a）如何得到玻尔兹曼方程；b）通过该方程，如何得到材料的电导率计算公式。答：电子系统的分布函数随时间的变化率可表示成漂移项、碰撞项与扩散项的总和。当系统达到平衡态时，电子分布函数随时间的变化率为零。恒温条件下，忽略电子密度在空间的不均匀性引起的扩散项，因此恒定电磁场引起的漂移项与散射引起的碰撞项的和为零，即为波尔兹曼方程。在弛豫时间近似下，考虑均匀材料恒温零磁场、弱电场下的非简并电子气，将分布函数按电场强度的幂次展开。考虑到分布函数变化的一级小量，根据电流密度EdnveJ关系，可得电导率的计算公式，它取决于弛豫时间、能带结构和分布函数。3）请问何为弛豫时间近似？为何要引入该近似？如何通过理论求弛豫时间？如何通过实验求弛豫时间？答：考虑到碰撞促使系统趋向平衡态这一基本特点，引入弛豫时间)(k使得碰撞tfkff)(0，即碰撞引起的分布函数的变化率。因为只有碰撞作用时，上式对t积分得到的解是/00)(teffff。我们看到，弛豫时间大致度量了恢复平衡所用的时间。从理论上定量的求出弛豫时间需要具体计算系统中各种散射机制，根据不同的散射机制，计算散射矩阵元和电子的跃迁几率，积分得到)(k，存在多种散射机制时ii11。实验上测定弛豫时间：利用)(k与散射截面c的关系，Nvkc1)(，实验上测定c来计算)(k。4）若给出)422(233*422*3*2233*422*3*2zyzxyyzxzyxxBmneBmnemneJBmneBmnemneJ请你推导出Hall系数neneRH122和磁阻公式。答：在一个长方形样品的Hall系数测量中，假设外加电流方向为x方向，磁场B沿z方向，由于载流子在磁场中运动发生偏转，我们在y方向上可探测到电压。由于在y方向无电流，0yJ，积累的电场为y。若仅考虑的一次方项，在稳态下)1(2*zxyBmeHall系数将（1）式代入（2-42）中xJ表达式磁阻为磁场在x方向引起的电流变化其中22322，称为磁阻系数。nenenemnemejmeBjBmeBjRxxxxzxzxzxyH1222*2*2*2*2233*422*22*3*2233*422*3*2zxzxxzxzyxxBmneBmemnemneBmneBmnemneJ22*22322232*22222*2*2233*422*22*3*2*200zzzxzxzxxxxxBxmBmeBmeBmemneBmneBmemnemnemneJJJR222232222222*2222232222*223222*)()(zHzHzzmHBBBmeBmeRme5）在霍尔效应中，和xJ为什么不在同一方向上？两者夹角的大小和正负与什么因素有关?答：由于在y方向存在电场，电流和电场并不在同一方向上，两者的夹角称为Hall角。Hall角的大小与弛豫时间、磁场强度、载流子的有效质量有关，正负与载流子类型有关，电子的Hall角是负值而空穴的Hall角是正值。6）请问电离杂质散射、中性杂质散射和声学波散射的机理，以及在这些散射过程中弛豫时间、迁移率和温度的关系。答：电离杂质散射：在常温下，浅施主和浅受主杂质大部分处于电离状态，载流子在经过这些杂质中心时，将受到其库仑引力或斥力的作用，运动方向发生偏折，通常也将电离杂质和其它荷电中心引起的散射统称为库仑散射。在较高温度下，载流子平均动能较大，I也较大，散射作用较弱。在较低温度下，载流子的平均动能较小，电离杂质有较强的散射作用。这时载流子的迁移率往往由电离杂质散射决定，2/3TI。中性杂质散射：电子的散射是一个很基本的过程，与气体中低能电子散射有相似的过程，弛豫时间和迁移率与温度无关。声学波散射：对于纵声学波，原子位移引起原子分布的疏密变化，即引起原子间距的周期性变化。原子间距的变化将改变能带的扩展情况，导致在波的传播方向上，带边的能量将发生周期性的起伏。对于载流子，这相当于存在一附加的势。通常把这种和晶格形变相联系的附加势称为形变势。纵声学波主要通过这种形变势和电子z*nz*xzx*xypBττmeθBττmeεBεττmeεεθ222tantan发生相互作用。对于横声学波实际是一种切变波，不会引起原子的疏密变化。对于能带极值在k=0的简单带，切变并不产生形变势。但在多谷的能带中，切变也可产生形变势，对载流子也可以产生散射作用。声学波形变势散射是弹性散射，2/3TI。7）某半导体材料的电阻率随温度的变化趋势如图所示，请分析并说明原因。解：AB)低温下，本征激发忽略，载流子主要由杂质电离提供，电离杂质散射为主要的散射机制，迁移率随T增加而增加(2/3TI)，所以电阻率随T增加而减小;BC)温度逐渐升高，杂质全部电离，本征激发还不显著，载流子浓度不变，晶格散射上升为主要的，迁移率随T增加而减小(2/3TI)，随T增加而增加；CD）温度再升高，本征激发开始，大量载流子产生，远远超过了迁移率减小对电阻率的影响，本征激发为主要的，因此电阻率随T增加而下降。8）右图是三个未知的锗样品的电导率随温度的变化结果，请分析它们的电导率随温度变化的原因。解：不同样品的电导率不同，主要是由于掺杂浓度不同所引起的。掺杂浓度越高，样品的电导率越大。在高温端，晶格散射是主要的，2/3TI，所以样品的电导率随着温度的减小而增加。在低温端，电离杂质散射是主要的，2/3TI，所以样品的电导率随着温度的减小而减小。每个样品都出现了温度转折点，对应着样品电导率随温度变化规律的改变。掺杂浓度越大的样品，温度转折点越高。这说明了对于掺杂浓度大的样品，在较高的温度下晶格散射才比电离杂质散射明显。第三章1)