高等土力学(李广信)2.4-土的弹性模型

2.4土的弹性模型2.4.1概述2.4.2线弹性：（广义）胡克定律2.4.3非线弹性：增量胡克定律2.4.4高阶弹性模型：超弹性与次弹性模型2.4.1概述1.线弹性模型一般不适用于土，但有时还是可以近似使用的：地基中应力计算；分层总和法（分段线性）。2.非线弹性模型使用最多，有很好的实用性：一般参数不多；物理意义明确；使用的试验比较简单；使用增量广义胡克定律的形式(Duncan-ChangModel)。3.高阶的弹性理论有比较完整严格的理论基础，但不易建立实用的形式：参数多；意义不明确；不易用简单的试验确定。2.4.2线弹性模型（广义）胡克定律1[()]1[()]1[()]2(1)2(1)2(1)xxyzyyzxzzxyxyxyyzyzzxzxEEEEEE广义胡克定律（各向同性）3vpKqG)21(3EK)1(2EG土力学中常用的K、G形式1ijijkkijEE1(1)(12)ijijkkijEE张量表示)1(22100000)1(2210000)1(221000111111)21)(1()1(称对ED}]{[}{D矩阵表示横向各向同性5个独立的弹性参数：E、E、、、G2.4.3非线弹性－增量的广义虎克定律1d[d(dd)]1d[d(dd)]1d[d(dd)]2(1)dd2(1)dd2(1)ddxxyzyyzxzzxyxyxyyzyzzxzxEEEEEE增量广义虎克定律（各向同性）E=Ett切线模量1.Duncan-Chang双曲线模型1）基本原理Kondner在1963年所做的三轴试验中，应力应变可用双曲线模拟。1131ba0图2－27三轴试验的应力应变曲线在常规三轴压缩试验中：13)1d(dtE21()aab＝13133131d()ddd0d()d11ddtE1131ba13)t1d(dE21()aab＝所以1/a代表了双曲线的初始斜率（模量）1t0,1/Ea1113ab11ult=1/b1/b代表了曲线应力的极终值图2－28参数a和b的物理意义()ult=1/b1Ei=1/a1113ab01113aba1113ab1b02）参数a,b确定利用常规三轴压缩试验数据图解确定参数a,b图2－29二者的线性关系与试验结果EtEur11-3图2－30初始模量Et与卸载（再加载）模量Eu（Et、Eur随着围压3的增加而加大)(EurEt）lg(pa)lg(Ei/pa)()1()3()21K1n3iaa()nEKPPKur3ururaa()nEKPP初始模量与卸载（再加载）模量（三个围压的试验在双对数坐标下的结果）图2－31模量参数的确定：13ff13ult()()R破坏比Rf32cos2sin1sinc13()f=11-3(1-3)ult(1-3)f图2－32破坏比Rf15%0313ult3f2cos2sin1sin1()2cos2sin1sincbcRb13f()=13ff13ult()()R模型的切线模量Et1131ba3taa()nEKPP2f133()(1sin)12cos2sinRc13)t1(dEd21()aab＝13131()1()ab3）E-B模型采用切线变形模量和体积模量表示Et:切线变形模量Bt:体积模量胡克定律的一般公式：)21(3EBE-B模型:对于同一围压的试验假设体积模量B是常数70%(-)fv70%%70v%7031v)(3)(pB图2－33体积模量B的确定3baa()mBKPP对于同一个围压3，B为常数，对于不同的围压，它与3成指数关系试验参数Kb,m4）E-模型：假设1与-3成双曲线关系313()fD331fD311t211d()(1)d(1)DfDfDi=f=G-Flg(3/pa)01if311t211d()(1)d(1)DfDfD1趋近于0，t→ii与围压3成对数关系图2－34泊松比中参数的确定3at133f13aa3lg(/)()1()(1sin)12cos2sinnGFPDRKPPc311t211d()(1)d(1)DfDfD13131()1()abia111195%70%13131395%70%21ultEp11131395%70%1195%70%B1370aV703Bp％％代数算法－与图解法比较减少人为因素5)Duncau-Chang的讨论13t1d()dE(1)只能用常规三轴试验确定参数：131d()d2tt1E＝3等于常数的平面应变试验131d()d＝)21(1ttAE不排水三轴试验1313d)(d0d(2)非线性强度包线(3)加卸载判断（考虑围压与应力水平）(4)中主应力的影响30algP3332（2＋3)/2代替3或者考虑平面应变试验的pf31314a3s)(SpSS代替32.各种非线性K,G模型vddd3dpKqG1)多马舒克——维利亚潘(Domaschuk—Valliappan)模型p＝常数的三轴试验：设p-v之间为幂函数关系：vvc()np1VtivVcd1dnpKKncivcpK初始各向等压时的值常规三轴试验：设q-之间成双曲线关系：2tifcicd313d10qqGGRppen,:试验常数eic：初始孔隙比；Rf：破坏比2)内勒(Naylor)模型KGGttiiKKpGGpq各向等压试验P=常数的三轴试验在这个模型的基础上，发展了反映剪胀的模型：三参数模型3)伊鲁米-维鲁伊特(Ilumi-Verruijt)的耦合模型qGqHpKd31dd1d1dtttv＝dq可以引起体积变化——剪胀性模量矩阵不对称4)沈珠江模型1122ddddddddddvffpqApBqpqffpqCpDqpq＝12,,vfpqfpq＝＝等比三轴试验p=常数的三轴试验A,B,C,D之间要满足一定关系。讨论一般需要非常规三轴试验:p=常数。土的强度受中主应力影响:M=q/p，只有两个变量p,q不够。（与1，3表示不同）矩阵有时不对称。2.4.4高阶的非线弹性理论模型1.柯西(Cauchy)弹性理论：全量模型2.格林(Green)弹性理论——超弹性理论：全量模型(hyperelastictheory)3.次弹性模型(hyporelasticiticmodel)：增量模型1.柯西(Cauchy)弹性理论一般关系式：二阶多项式：ijijklF012ijijijikkjAAA012ijijijikkjBBB213151562d232dijklijklijklklijikjlijklljikikjlklKGaIaIGaIaa增量关系（二阶）：{}[]{}idDd其中矩阵[Di]一般是一个非对称的切线刚度矩阵特点与思考1)应力应变间存在一一对应（固定）关系。2)应变可恢复，与应力路径无关。3)何时可退化为胡克定律？4)不存在唯一的应变能，不同的应力循环可能导致产生能量增加。因而不能保证解的唯一性和稳定性。2.格林(Green)弹性理论——超弹性理论(hyperelastictheory)存在一个应变能密度函数：外力产生应变增量d—外力作功增量：ijWddijijWddijijWWijijW（1）（2）（3）ijij存在一个余能密度函数：Ω(ij)外力产生应力增量dij—外力作功增量:ddijijddijij故2dddijklijklklijklWH2'dddijklijklklijklH增量表示：2312301111214231242536171228291311231412IIIAAIBIBIBIIBIBIBIBIIBIBII，，三阶超弹性模型123ijijijimmjij＝23111213261712932231471823592BIBIBIBIBIIBIBIBBIBIBB＝其中：1231213kkkmkmkmknnmIII＝在上式中，为了方便，将各应力不变量表示为：应变的增量形式：2dddijklijklklijklH31223()dddijimmjijijijimmjklklklklklklijklklH＝三阶超弹性模型讨论1)存在唯一的应变能：理论上严密无缺陷。2)全量弹性模型：能否反映应力路径影响？3)高阶情况参数多，物理意义不明确。4)一阶情况可以退化为胡克定律。3.次弹性模型(hyporelasticiticmodel)1)增量意义上的弹性模型2)最小弹性(minimumelastic)模型3)上述的各种非线弹性模型是其特例ddddddddijijklmnklijijklmnklijijklmnklijijklmnklCCDD四种一般表达形式：ddijijklmnklC一般表达式123456789101112ijklijklikjljkilijklijklikjliljkjkiljlikijkmmlklimmjikjmmliljmmkijkljkimmljlimmkijkmmlimmjklimmjknCAAAAAAAAAAAAnl一般式一阶的次弹性模型011102121314151212ijklrrijklrrikjljkilijkljklijlkiikljilkjklijCaaaaaaa01021112131415dddddddddijkkijijrrkkijrrijijkkjkikikjkklklijaaaaaaa