高等数学常微分方程的基础知识和典型例题

学习好资料欢迎下载常微分方程一、一阶微分方程的可解类型（一）可分离变量的方程与一阶线性微分方程1.（05,4分）微分方程_________.12ln(1)9xyyxxy满足的解为2222223332.+ln,=ln.111lnlnln.339111(1)0ln.939dxxdyyxexdxxdxxxdxxxxdxCxdxCxxxyCyxxx分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为两边乘得(y)=积分得y=C+由得2.（06,4分）(1)yxx————.微分方程y=的通解为111(1).lnln.,CxxdydxyxxCyexeyxyCxeC分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得积分得，即因此，原微分方程的通解为其中为任意常数.（二）奇次方程与伯努利方程1.（97,2,5分）222(32)(2)0xxyydxxxydy求微分方程的通解.22223122+1-23,1ln13ln,1=..yxudyxduudxuudxxuduududxuuxuuxCuuCxyCuxxyyxx解：所给方程是奇次方程.令=,则=+.代入原方程得3（1-）+(1-2)=0.分离变量得积分得即以代入得通解2.(99,2,7分)221()0(0),0xyxydxxdyxy求初值问题的解.学习好资料欢迎下载222222221,222y,(1()0,10.1ln(1)1.uy+dxdyxyxdyxduudxxuudxxxduudxudxxdudxduxuxuuCuuCxyxyCxx解：所给方程是齐次方程(因,的系数(+)与(-)都是一次齐次函数）.令带入得化简得分离变量得-=0.积分得ln即以代入原方程通解为22221.10,=1.y+(1).2xyCxyxyx再代入初始条件得故所求解为，或写成（三）全微分方程练习题2()(0)0,(0)1,()()()fxffxyxfxfxxfx(94,1,9分）设具有二阶连续导数，且[(+y)-y]dx+[+y]dy=0为一全微分方程，求以及全微分方程的通解222200222[()()][()],2()()2,()().()0,1()2cossin2.[2(2cossin)](22sincoxxxyxyfxyfxxyyxxxyfxfxxyfxfxxyyxfxyyfxxxxxyyxxydxxyxx解：由全微分方程的条件，有即亦即因而是初值问题的解，从而解得原方程化为22222222s)0.11()2()(2sincos)(2sincos)0,221[2(cos2sin)]0.212(cos2sin).2xdyydxxdyydxxdyydxxxxdydxyxyyxxxyxyyxxC先用凑微分法求左端微分式的原函数：其通解为（四）由自变量改变量与因变量改变量之间的关系给出的一阶微分方程244y4.98,3()=,01(0)=(1)()2.().().().yyxxyxxxxyyABCeDe（分）已知函数在任意点处的增量当时,是的高阶无穷小，，则等于（）学习好资料欢迎下载2arctan2arctan41,lnarctan,.1(0)(),(1).()xxyyxdydxyxCyCeyxyyxeyeD分析：由可微定义，得微分方程.分离变量得两边同时积分得即代入初始条件，得C=，于是由此，应选二、二阶微分方程的可降阶类型5.00,330xyy（分）微分方程的通解为_____3303212=P()y=P330,.yxCxPPxxyPxxCyCx分析：这是二阶微分方程的一个可降阶类型，令，则，方程可化为一阶线性方程标准形式为P+P=0，两边乘得(P)=0.通解为.再积分得所求通解为20016.02,312xxyyyyy（分）微分方程=0满足初始条件，的特解是_____20111()(.120,lnln1101,221,22xdydPdPyPyyyPdxdxdydPdPyPyPPydydydPdyPyCPyCCyxyPyCyPydyy分析：这是二阶的可降阶微分方程.令以为自变量)，则代入方程得+P=0，即+=0(或=0,，但其不满足初始条件）.分离变量得积分得+=，即P=(P=0对应=0)；由时，=得，于是22.02.,111.xdxyxCyCyx积分得又由得，所求特解为三、二阶线性微分方程（一）二阶线性微分方程解的性质与通解结构12127.01,3(sincos)(,)xyeCxCxCC（分）设为任意常数为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为_____.学习好资料欢迎下载122212121212121221()()()220.220.(sincos)[()sin()cos],(2sxxxrrirrrrrrrrrrrryyyyeCxCxyeCCxCCxyeC分析一：由通解的形式可得特征方程的两个根是，，从而得知特征方程为由此，所求微分方程为分析二：根本不去管它所求的微分方程是什么类型（只要是二阶），由通解求得112in2cos),,220.xCxCCyyy从这三个式子消去与得（二）求解二阶线性常系数非齐次方程29.07,4432=_____xyyyey（分）二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为222232.1243(1)(3)01,3.,2.(483)22.2.xxxxxxxeyAeAAAeeAyCeCee分析：特征方程的根为非齐次项不是特征根，非齐次方程有特解代入方程得因此，通解为10.(10,10)322xyyyxe分求微分方程的通解.2122122221320,1,2.2()2,1().(4)223[(2)]2()2,222,xxxxyCeCefxxeyxaxbeaxabxabaxabxbaxbxxaxabxa分析：这是求二阶线性常系数非齐次方程的通解.由相应的特征方程得特征根相应的齐次方程的通解为非齐次项是单特征根，故设原方程的特解代入原方程得即212121,2.3(2),xxxbyCeCexxeCC原方程的通解为其中，为两个任意常数.（三）确定二阶线性常系数非齐次方程特解的类型22222042,41sin()(sincos).()(sincos).()sin.()cos.yyxxAyaxbxcxAxBxByxaxbxcAxBxCyaxbxcAxDyaxbxcAx（，分）微分方程的特解形式可设为（）222210,.11sin2,(2)()sinsin(0,1),(sincos).(sinxiyyxyyxyaxbxcfxexxiyxAxBxyaxbxcxAx分析：相应的二阶线性齐次方程的特征方程是特征根为由线性方程解的迭加原理，分别考察方程（）与（）方程(1)有特解方程的非齐次项，是特征根它有特解因此原方程有特解cos).().BbxA应选(四)二阶线性变系数方程与欧拉方程22212.(04,4)420(0)_______.dydyxxyxdxdx分欧拉方程的通解为学习好资料欢迎下载222222121212122(ln)(41)20,320.320,1,2,.,,.tttxetxdydydydyyydxdtdtdtyCeCeCCyCCxx分析：求解欧拉方程的方法是：作自变量，将它化成常系数的情形：即相应的特征方程特征根通解为因此，所求原方程的通解为其中为任意常数200(05,2,12cos(0)(1)01,2xxxttxyxyyyy分)用变量代换化简微分方程，并求其满足的特解.222222222122212221012(sin),sincos(1).0,cossin.1.(0)11.(0)22.1xytyxdydydxdydydydydydyxttxxdtdxdtdxdtdxdxdxdxdyyyCtCtdtxyCxCxxyCCyCCx分析：建立对的导数与对的导数之间的关系.于是原方程化为其通解为回到为自变量得由因此221.yxx特解为四、高于二阶的线性常系数齐次方程12312313.084cos2sin2(,,()440.()440.()440.(440.xyCeCxCxCCCAyyyyByyyyCyyyyDyyyy（，分）在下列微分方程中，以为任意常数）为通解的是（））2321,2(1)(1)(2)(2)(1)(4)440,440().iiiiyyyyD分析：从通解的结构知，三阶线性常系数齐次方程相应的三个特征根是：，对应的特征方程是因此所求的微分方程是，选123(00,2,3,2,3()0.()0.()61160.()220.xxxyeyxeyeAyyyyByyyyCyyyyDyyyy分)具有特解的三阶常系数齐次线性微分方程是（）1232321,1(1)(1)0,10,0.rrrrrrrryyyy分析：首先，由已知的三个特解可知特征方程的三个根为，从而特征方程为即由此，微分方程为应选(D).五、求解含变限积分的方程000,2,8=()0,(0)11()()()01(1)()(2)0,()1.xxyfxffxfxftdtxfxxefx（分）函数在上可导，，且满足等式，求导数；证明：当时成立不等式学习好资料欢迎下载01(1)()(1)()()0,(1)()(2)()0.0(0)(0)0,(0)1,(0)1.2(),01()01(0)1,1,xxxfxxfxftdtxfxxfxxffffxufxuuxefxuCuxfC求解与证明（）首先对恒等式变形后两边求导以便消去积分：在原方程中令变限得由得现降阶：令则有，解此一阶线性方程得由得().1(2)1()0(0),(),()(0)1();1()(),()()0(0),()()1(0)0(0),()(00,()1.2xxxxxxxefxxefxxfxfxfxxxxfxexfxeexxxxxfxexxefx于是方法用单调性.由单调减又设则单调增，因此即）.综上所述，当时方法用积分比较定理.由0000-()(0)(),()1.10(0),01(0).11()1.txxttxxttxxefxfftdtfxdtteeetdtedtexttefx牛顿莱布尼茨公式，有由于有从而有六、应用问题（一）按导数的几何应用列方程练习题01.96,1,70,()(,())1(),().xxyfxxfxyftdtfxx（分）设对任意曲线上