物理化学第八章课后题答案

第八章量子力学基础8.1同光子一样，实物粒子也具有波动性。与实物粒子相关联的波的波长，即德布罗意波长给出。试计算下列波长。（1eV=1.6021771910J，电子质量9.1093110kg，中子质量1.6742710kg）(1)具有动能1eV，100eV的电子；(2)具有动能1eV的中子；(3)速度为640m/s、质量为15g的弹头。解：德布罗意波长可以表示为：phmvh，那么将上述的实物粒子的质量和动能带入公式即可得：（1）动能1eV的电子的波长为mmmEhphk919313410266.110602177.1110109.9210626.62动能100eV的电子mmmEhphk1019313410266.110602177.110010109.9210626.62（2）动能1eV的中子的波长为mmmEhphk1119273410861.210602177.1110674.1210626.62（3）速度为640m/s、质量为15g的弹头的波长为mmmvh3533410902.6640101510626.68.2在一维势箱问题求解中，假定在箱内0VxC（C为常数），是否对其解产生影响？怎样影响？解：当0VxC时，一维势箱粒子的Schrödinger方程为222222222d2ddd'2d2dxCxExmxxxECxExmxmx边界条件不变，因此Schrödinger方程的解为22'21282πsinnnnEmanxxaa即0VxC不影响波函数，能级整体改变C:222'8EECnmaC8.3一质量为m，在一维势箱0xa中运动的粒子，其量子态为122π3π0.5sin0.866sinxxxaaa（1）该量子态是否为能量算符ˆH的本征态？（2）对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？（3）处于该量子态粒子能量的平均值为多少？解：对波函数的分析可知132221133220.50.8663ˆˆH,H88xxxhhxxxxmama（1）由于132221322ˆˆˆH0.5H0.866H0.530.50.86688xxxhhxxExmama因此，x不是能量算符ˆH的本征态。（2）由于x是能量本征态1x和3x的线性组合，而且是归一化的，因此能量测量的可能值为2213229,88hhEEmama其出现的概率分别为220.50.25,0.8660.75（3）能量测量的平均值为22132270.250.750.250.75988hhEEEmama8.4质量为1g重的小球在1cm长的盒内，试计算当它的能量等于在300K下的kT时其量子数n。这一结果说明了什么？k和T分别为波尔兹曼常数和热力学温度。解：一维势箱粒子的能级公式为222323219348888103001.380710108.688106.626110nhmEmkTEnaamahhn量子化效应不明显。8.5有机共轭分子的共轭能、吸收光谱中吸收峰的位置等，可用一维势箱模型加以粗略描述。已知下列共轭四烯分子的长度约为1.120nm，试用一维势箱模型估计其波长最大吸收峰的位置。解：共轭四烯分子，其电子能级近似于一维势箱体系的能级。势箱长度a可以根据分子结构近似计算。从分子结构可知，4个烯基贡献8个电子，在基态时这些电子占据4个分子轨道，当吸收适当波长的光时，可发生电子从最高占据轨道4到空轨道n（n4）的跃迁，这一跃迁所吸收的光的波长为)4(88/)4(2222222nhmcamanhhcEhc那么只有取n=5才能得到波长的最大值，即nmmmnhmca4601060.4)45(10626.6)1012.1(10310109.98)4(872234298312228.6在质量为m的单原子组成的晶体中，每个原子可看作在所有其他原子组成的球对称势场212Vxfr中振动，式中2222rxyz。该模型称为三维各向同性谐振子模型，请给出其能级的表达式。解：该振子的Hamiltonian算符为22222222222222222222221ˆH22111222222ˆˆˆHHHxyzfxyzmxyzfxfyfzmxmymz即ˆH为三个独立谐振子Hamiltonian算符ˆˆˆH,H,Hxyz之和，根据量子力学基本定律，该振子的能即为个独立振子能级之和：111222xxyyzzvhvhvh式中12πxyzfm为经典基频，所以32xyzvvvh8.7一维势箱,0中两个自旋的电子，如果他们之间不存在相互作用，试写出它们基态波函数),(21xx。解：由于这两个电子之间不存在相互作用，故它们的交换应该是反对称的，即),(),(1221xxxx波函数可以表示为：22222111211121)()()()(21),(xxxxxx=221112222111)()()()(21xxxx=2121122211)()()()(21xxxx8.8在忽略电子间相互作用的情况下，He原子运动的哈密顿算符可近似表示为22222122122222remremH式中m为电子的质量，1r和2r分别为电子1和电子2与核之间的距离。（1）在下述近似下，写出He原子的能量表达式并给出基态的能量值。（2）如果1s为He的基态波函数（空间轨道），则He原子基态波函数表示为)2()2(1)1()1(1)2,1(ss，这种说法正确吗？为什么？解：（1）上述哈密顿算符可以表示为212222212212)22()22(HHremremH所以能量可以表示为022202122122aneaneEEE（2）原来的波函数不对，因为它对于两个粒子交换不是反对称的。正确的波函数应当是)2()2(1)2()2(1)1()1(1)1()1(121ssss=)2()2(1)1()1(1)2()2(1)1()1(121ssss8.9在金属有机化合物的合成中2N常被用作保护气体，写出2N，2N和2N基态的电子组合，并以此解释2N的特殊稳定性。解：它们的电子组态为：2N242*2)2()2()2()2(ppssKKguug2个键1个键，键级为32N142*2)2()2()2()2(ppssKKguug2个键半个键，键级为2.52N1242*2)2()2()2()2()2(pppssKKuguug2个半键半个键，键级为2.5因此无论2N得到或失去一个电子，其键级均减小0.5，生成较不稳定的态，所以2N有特殊的稳定性。