Chp1s2

1.2正交曲线坐标系正交曲线坐标系简介常用的正交曲线坐标系有13种：直角、圆柱、球椭圆柱、抛物柱、抛物面、旋转抛物面、长旋转椭球、扁旋转椭球、椭球、双球、圆锥、环坐标线（轴）：三张正交曲面两两相交而成的曲线坐标原点（基准点）：三条坐标线的交点坐标变量：三个独立的自由度，用e1、e2、e3表示坐标单位矢量：空间任一点与坐标线相切且指向变量增加方向的三个单位矢量，用a1、a2、a3表示e1、e2、e3呈右手螺旋关系——右手系e2e1e3一.圆柱坐标P(,,z)[)P到z轴垂直距离与+x轴的夹角z()xzyOazaazP1.叉乘关系：(a×)→(a×)→(az×)1i=j0i≠jaiaj=2.点乘关系：3.换算关系：sincosyxxyyxtan22aycossinsincosyxyxaaaaaacossinsincosaaaaaayxaxyxyOaxacossinsincosyxyxaaaaaa注意：ax、ay、az是常矢量，模值为1，方向不变。而a、a模值为1，但方向随变化，是的函数，是变矢。axyxyOaaaaaaaaasincoscossinyxyx4.位置矢量r：（从原点指向某点）直角：r=axx+ayy+azz圆柱：r=a+azz5.线元矢量:（点的位移矢量）laaaaaaaardddddddd)(ddzzdzzzzdrr+drrxyOazzrzaaddzdP定义度量系数：(Lamé系数)iiielhdd坐标微分长度元1dddd1dd321zzhhh，，例如直角系中：h1=h2=h3=1dl=axdx+aydy+azdzlaaardzddddz6.面元矢量：方向的定义：开表面——与面积外沿的绕向呈右手螺旋关系dS闭合面——外法线方向dSdS例如直角系中：dS=axdSx+aydSy+azdSz其中dSx=dydz，dSy=dxdz，dSz=dxdy分别是dS在yOz面，xOz面和xOy面上的投影7.体积元：直角系中圆柱系中dS、dS、dSz分别是dS在圆柱侧面（面）、过轴线的半平面（面）和xOy面(z面)上的投影d=dxdydzd=dddz圆柱系中：dS=adS+adS+azdSzdS=ddz，dS=ddz，dSz=dd二．球坐标azxyaraOrPP(r，，)r)P到球心距离1.叉乘关系：(ar×)→(a×)→(a×)[0r与+z轴的夹角r在xOy面上的投影（）与+x轴的夹角1i=j0i≠jaiaj=2.点乘关系：3.换算关系：cossinsinsincoscossinrzryrxxyzzyxzzyxrtantan2222222cossinsinsincoscoscoscossinsincossinyxzyxzyxraaaaaaaaaaasincoscossincossinsinsincoscoscossinaaaaaaaaaaarzryrx注意：ar(，）、a(，）、a(）均不是常矢量cosasinaaacosaaaasinaaaarrrr04.位置矢量：r=arr5.线元矢量:)dddddd(drrrrraaa)(ddrrarlaaaddsinddrrrrzxyaraaOr6.矢量面元：dS=ardSr+adS+adSdS=dl1dl3=rsinddr7.体积元：d=dl1dl2dl3=r2sindrdd度量系数：h1=1，h2=r，h3=rsinlaaarddsindddrrrrdSr=dl2dl3=r2sindddS=dl1dl2=rddr计算面积分SrdSa圆锥面在半径为R的球面上割出的面积。解：SrSrSddSaxyzOR2002ddsinR02)cos(2R)cos1(22R其中S是半锥角为的例SSSrddddraaaS1.9习题