Chp1s3

1.3矢量场的通量和散度散度定理一.矢量场的通量1.通量的定义:(1)矢量场E穿过面元dS的通量：SdEdcosSE(2)矢量场E穿过开表面S的通量：SSSEdcosdSE(3)矢量场E穿过闭合面S的通量：SSSEddcosSE2.通量的物理意义：以流体为例，若每秒有净流量流出，包面内有正源每秒有净流量流入，包面内有负源每秒流入包面和流出包面的净流量相等，包面内无源，或正源与负源相等0dSSv0dSSv0dSSv已知矢量场A=a(e-)+azcosz，为常数。有一个以z轴为轴线，半径为2的单位长度圆柱面与z=0，z=1的平面构成的闭合面S，求A穿过S的通量。解：yzxO·1Sz上Sz下S22例1.2下上SzzSzzSSASASAdddSzSzzSAASASAS)dddzd()dd(dA202002020120102ddcosddcosddzzzzze4422e)4(22eyzxO·1Sz上Sz下S22下上SzzSzzSSSASASASddddA二.矢量场的散度1.散度的定义:SSdlimdiv0AA2.散度的数学计算式:PAzAxAyzxyPOyz123穿出左、右面的通量为：zxyyAAzxAyyy)(zyxyAy穿出上、下面的通量为：yxzzAAyxAzzz)(zyxzAz穿出前、后面的通量为：zyxxAAzyAxxx)(zyxxAxzyxzAyAxAzyxS)(dSAzAyAxAzyxSSdlimdiv0AAzxyPOyz123zAyAxAzyxAaaaaaa)()(zzyyxxzyxAAAzyxSSdlimdiv0AA在直角系中zAyAxAzyxAzyxzyxaaa矢量微分算子:圆柱系中：zAAAz1)(1A球系中：ArArrArrrsin1)(sinsin1)(122A在正交系中]()()([1332122311132321eAhheAhheAhhhhhAa.一个矢量场的散度在空间构成一个标量场。b.空间有矢量场的净通量发出——有矢量线从该点开始—空间有矢量场的净通量汇入——有矢量线在该点终止—空间没有矢量线的发出或汇入——矢量线仅仅是通过—有散场无散场矢量场的散度反映了矢量场在空间各点的净通量状态PQM0A（Q点）0A（M点）0A（P点）3、散度的物理意义4.常用的散度运算恒等式BA)BA(A)A(CCAA)A(2222222zyx2称为Laplace运算c.散度具有通量体密度的量纲。矢量场散度的例子具有一个源和一个槽的矢量场•矢量函数的面积分与体积分的互换•表明了矢量场通过闭合面发出的净通量与矢量场在曲面内的通量源之间的关系。三.散度定理（高斯定理）定理内容：设在空间有一闭合曲面S，它所包围的空间体积为，如果矢量场A在S和上都是连续可导的，则ddASAS证明：将分成许多个体积元1、2…，对每个计算通量，再求和。由图可见：由散度定义：ddASASSSSSASASAddd2121iSiiASA0limd10limdiiSiASAdA1.12习题