2018数学中考专题--4-中点辅助线专题

12018年数学中考中点专题1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质；2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”；3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”；4、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）；5、有中点时常构造垂直平分线；6、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）；7、倍长中线8、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”中点辅助线模型一、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质1、如图1所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．65B．95C．125D．165二、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”2、如图，在Ｒｔ⊿ABC中，∠A=90°,AC=AB,M、N分别在AC、AB上。且AN=BM.O为斜边BC的中点.试判断△OMN的形状，并说明理由.3、如图，正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动．如果点Q从点A出发，沿图中所示方向按ADCBA滑动到点A为止，同时点F从点B出发，沿图中所示方向按BADCB滑动到点B为止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为（）A.2B.4－C.D.1三、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”4、（直接找线段的中点，应用中位线定理）如图，已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC=BD，M、N分别是AB、CD的中点，MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗？5、（利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理）如图所示，在三角形ABC中，AD是三角形ABC∠BAC的角平分线，BD⊥AD，点D是垂足，点E是边BC的中点，如果AB=6,AC=14，求DE的长图2-1FEDMNCBANMBOCADABC第8题图QFM26、（综合使用斜边中线及中位线性质，证明相等关系问题）如图，等腰梯形ABCD中，CD∥AB，对角线AC、BD相交于点O，60ACD，点S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点.求证：△SPQ是等边三角形。四、两条线段相等，为全等提供条件（遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形）7、如图甲，在正方形ABCD和正方形CGEF（CG＞BC）中，点B、C、G在同一直线上，M是AE的中点，（1）探究线段MD、MF的位置及数量关系，并证明；（2）将图甲中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转，使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变。（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明五、有中点时常构造垂直平分线8、如图所示，在△ABC中，AD是BC边上中线，∠C=2∠B.2AC=BC。求证：△ADC为等边三角形。六、有中点时，常会出现面积的一半（中线平分三角形的面积）9、如图所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则ABCDAGCDSS矩形四边形等于_________.七、倍长中线10、如图，△ABC中，D为BC中点，AB=5，AD=6，AC=13。求证：AB⊥AD11、如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：AB+ACAD+AEABCDFGEM图乙图甲BACEDFGMBDCAPOABCD图6-1SQ3BAODC八、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”12、半径是5cm的圆中，圆心到8cm长的弦的距离是________13、半径为cm5的圆O中有一点P，OP=4，则过P的最短弦长_________，最长弦是__________，14、如图，在圆O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E，若AC=2cm，则圆O的半径为____________cm。15、如图，在⊙O中，直径AB和弦CD的长分别为10cm和8cm，则A、B两点到直线CD的距离之和是_____.16、如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于E，若AE＝2cm，BE＝6cm，∠CEA＝300，求：CD的长；17.已知：如图①，正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．（1）求证：EG=CG；（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）4②遇到中点引发六联想1、等腰三角形中遇到底边上的中点，常联想“三线合一”的性质例1、如图1所示，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC中点，MN⊥AC于点N，则MN等于【】A．65B．95C．125D．165分析：由AB=AC=5，所以，三角形ABC是等腰三角形，且边BC是底边；由点M为BC中点，如果连接AM，则根据等腰三角形的三线合一，得到AM是底边BC上的高线，这样就能求出三角形ABC的面积，而三角形AMC的面积是等腰三角形面积的一半，在三角形AMC中利用三角形的面积公式，求可以求得MN的长。解:连接AM，∵AB=AC=5,点M为BC中点∴AM⊥BC，在直角三角形AMC中，AC=5，CM=21BC=3,∴AM=222235CMAC=4，S△ABC=21×BC×AM=21×6×4=12,S△ACM=21S△ABC=6；∴6=21×AC×MN，∴MN=512.所以，选择C。2、直角三角形中遇到斜边上的中点，常联想“斜边上的中线，等于斜边的一半”例2、在三角形ABC中，AD是三角形的高，点D是垂足，点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，求证：四边形EFGD是等腰梯形。分析：由点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，根据三角形中位线定理，知道FG∥BC,FE∥AC，FE=21AC，由直角三角形ADC，DG是斜边上的中线，因此，DG=21AC，所以，EF=DG，这样，我们就可以说明梯形EFGD是等腰梯形了。证明：∵点E、F、G分别是BC、AB、AC的中点，∴FG∥BC，FE∥AC，FE=21AC，∵AD是三角形的高，∴△ADC是直角三角形，∵DG是斜边上的中线，∴DG=21AC，∴DG=EF,∴梯形EFGD是等腰梯形。3、三角形中遇到两边的中点，常联想“三角形的中位线定理”例1求证：顺次连结四边形四边的中点，所得的四边形是平行四边形。已知：如图4所示，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。分析：由E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，我们就自然联想到三角形的中位线定理，但是在这里，我们发现缺少三角形，因此，我们只要连接四边形的一条对角线，就出现我们需要的三角形了。证明：连接AC，∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。5∴EF∥AC，EF=21AC，GH∥AC，GH=21AC，∴EF∥GH，EF=GH，∴四边形EFGH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。4、遇到两平行线所截得的线段的中点时，常联想“八字型”全等三角形例4、如图6所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，点E是CD的中点，连接AE、BE。求证：S△ABE=21S四边形ABCD。分析：如果直接证明，是不容易，联想到AD∥BC，点E是CD的中点，我们延长AE，与BC的延长线交于点F，这样，我们就构造出一对八字型的三角形，并且这对三角形是全等的。这样，就把三角形ADE迁移到三角形ECF的位置上，问题就好解决了。证明：如图7所示，延长AE，与BC的延长线交于点F，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠FCE，∠DAE=∠CFE，又∵点E是CD的中点，∴DE=CE，∴△ADE≌△FCE，∴AE=EF，∴S△ABE=S△BEF，∵S△BEF=S△BEC+S△ECF=S△BEC+S△ADE，∴S△ABE=S△BEC+S△ADE，∵S△ABE+S△BEC+S△ADE=S四边形ABCD，∴2S△ABE=S四边形ABCD，∴S△ABE=21S四边形ABCD。5、圆中遇到弦的中点，常联想“垂径定理”例5、如图8所示，AB是⊙O的弦，点C是AB的中点，若8cmAB，3cmOC，则⊙O的半径为cm．分析：由点C是AB的中点，联想到圆的垂径定理，知道OC⊥AB，这样在直角三角形AOC中根据勾股定理，就可以求得圆的半径。解：∵点C是AB的中点，∴OC⊥AB，∵AB=8,∴AC=4在直角三角形AOC中，AC=4,OC=3,∴OA=222243OCAC=5(cm)，因此，圆的半径是5cm。6、遇到中点，联想共边等高的两个三角形面积相等例6、如图9所示，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、BC的中点，连AF、CE交于点G，则ABCDAGCDSS矩形四边形等于：【】A、65B、54C、43D、32分析：如果两个三角形有一个公共的高顶点，有一边在一条直线上，并且两个三角形的这个公共顶点，是这条共边线段的中点，那么，这两个三角形的面积相等。解：如图10所示，连接BG，∵E是线段AB的中点，∴S△AEG=S△BEG=x，S△BGF=S△GCF=y，设AB=2a，BC=2b，ABCDS矩形=2a×2b=4ab，根据题意，得：2y+x=21×BC×BE=ab，2x+y=21×BA×BF=ab，∴2x+y=2y+x，即x=y=3ab，6∴4x=34ab=31ABCDS矩形，∴S四边形AGCD=32ABCDS矩形∴ABCDAGCDSS矩形四边形等于32，所以，选D。专题性总结中点专题角平分线专题截长补短专题中点专题——看到中点该想到什么？1．两条线段相等，为全等提供条件2．中线平分三角形的面积3．倍长中线4．中位线5．斜边上的中线是斜边的一半几何必考辅助线之中点专题7【例1】(2008北京)如图，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A、B、E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连结PGPC。若∠ABC＝∠BEF＝60°，⑴探究PG与PC的位置关系及PGPC的值。⑵将上图中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图)。你在⑴中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明。【例2】如图所示，在△ABC中，AC＞AB，M为BC的中点，AD是∠BAC的平分线，若CF⊥AD且交AD的延长线于F，求证：MF＝12(AC－AB)。8【例3】如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，ME⊥AD且交AC的延长线于E，CD＝2CE，求证：∠ACB＝2∠B。中点专题——看到中点该想到什么？1．两条线段相等，为全等提供条件2．中线平分三角形的面积3．倍长中线4．中位线5．斜边上的中线是斜边的一半中点问题探究（1）1、已知如图，在△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，BE垂直AD的延长线于E，M是BC的中点，求证：ME=)(21ACAB2、已知如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点，（1）判断EF和DG有何关系并证明；（2）求证：ABCOGDSS△△121。BEDMCABFGOECDA93、已知如图，在四边形ABCD中，EF分别为AB、CD的中点；（1）求证：EF＜)(21BDAC（2）四边形ABCD的周长不小于EF的四倍（3）EF交BD、AC分别于P、Q，若AC=BD，求证：△OPQ为等腰三角形。4、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD+BC，E为CD的中点，求证：AE⊥BE。5、如图，已知AD为△ABC的角平分线，AB＜AC，在AC上截取CE=AB，M、N分别为BC、