陈后金信号与系统3

系统的时域分析•线性时不变系统的描述及特点•连续时间LTI系统的响应•连续时间系统的单位冲激响应•卷积积分及其性质•离散时间LTI系统的响应•离散时间系统的单位脉冲响应•卷积和及其性质•单位冲激响应表示的系统特性线性时不变系统的描述及特点•连续时间系统用N阶常系数微分方程描述)()()()()()()()(01)1(1)(01)1(1)(tfbtfbtfbtfbtyatyatyatymmmmnnnai、bi为常数。•离散时间系统用N阶常系数差分方程描述][][00jkfbikyajmjiniai、bi为常数。线性时不变系统的特点LTI系统除具有线性特性和时不变特性外，还具有:1）微分特性与差分特性：若T{f(t)}=y(t)则dttydttfT)(d})(d{若T{f[k]}=y[k]则T{f[k]-f[k-1]}=y[k]-y[k-1]2）积分特性与求和特性：若T{f(t)}=y(t)则d)(}d)({yfTtt若T{f[k]}=y[k]则][]}[{nynfTknkn连续时间LTI系统的响应•经典时域分析方法•卷积法•零输入响应求解•零状态响应求解系统响应求解方法1.经典时域分析方法:求解微分方程2.卷积法:系统完全响应=零输入响应+零状态响应•求解齐次微分方程得到零输入响应•利用卷积积分可求出零状态响应)()()(tytytyfx)(*)()(thtftyx一、经典时域分析方法微分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成)()()(tytytyph齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定齐次解yh(t)的形式(1)特征根是不等实根s1,s2,,sntsntstshneKeKeKty2121)((2)特征根是相等实根s1=s2==sntsnntstshetKteKeKty121)((3)特征根是成对共轭复根)sincos()sincos()(11111tKtKetKtKetyiiiitthi2/,nijsiii常用激励信号对应的特解形式输入信号特解KAKtA+BtKe-at(特征根sa)Ae-atKe-at(特征根s=a)Ate-atKsin0t或Kcos0tAsin0t+Bcos0tKe-atsin0t或Ke-atcos0tAe-atsin0t+Be-atcos0t例1已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程初始条件y(0)=1,y’(0)=2,输入信号f(t)=etu(t)，求系统的完全响应y(t)。0),()(8)('6)(ttftytyty0862ss4221ss，ttheKeKty3221)(——特征根为齐次解yh(t)解(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为2)求非齐次方程y‘’(t)+6y‘(t)+8y(t)=f(t)的特解yp(t)解得A=5/2，B=11/6由输入f(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。3)求方程的全解tttpheBeAetytyty31)()()(42131)0(BAy23142)0('BAy0,3161125)(42teeetyttt讨论1)若初始条件不变，输入信号f(t)=sintu(t)，则系统的完全响应y(t)=？2)若输入信号不变，初始条件y(0)=0,y’(0)=1,则系统的完全响应y(t)=？经典法不足之处•若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。•若激励信号发生变化，则须全部重新求解。•若初始条件发生变化，则须全部重新求解。•这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。二卷积法系统完全响应=零输入响应+零状态响应1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。0)()()()(01)1(1)(tyatyatyatynnn数学模型:求解方法：•根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式，•再由初始条件确定待定系数。[解]系统的特征方程为例2已知某线性时不变系统的动态方程式为:系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零输入响应yx(t)。)(4)(6522tftydtdydtyd0t0652ss3221ss，ttxeKeKty3221)(——0,56)(32teetyttx——系统的特征根为y(0)=yx(0)=K1+K2=1y'(0)=y'x(0)=2K13K2=3解得K1=6，K2=5例3已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y(0)=2，y'(0)=1，求系统的零输入响应yx(t)。[解]系统的特征方程为)(32)(4422tfdtfdtydtdydtyd0442ss221ssttxteKeKty2221)(——0,5)(22tteetyttx系统的特征根为（两相等实根）y(0)=yx(0)=K1=1;y'(0)=y'x(0)=2K1+K2=3解得K1=1,K2=5例4已知某线性时不变系统的动态方程式为系统的初始状态为y(0)=1，y'(0)=3，求系统的零输入响应yx(t)。)(34)(5222tfdtfdtydtdydtyd•[解]系统的特征方程为系统的特征根为0522ssjsjs212121，)2sin2cos)(21tKtKetytx（y(0)=yx(0)=K1=1y'(0)=y'x(0)=K1+2K2=3解得K1=1，K2=20),2sin22(cos)(tttetytx2、系统的零状态响应•求解系统的零状态响应yf(t)方法：•1)直接求解初始状态为零的微分方程。•2)卷积法：•利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yf(t)表示。卷积法求解系统零状态响应yf(t)的思路•1)将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合。•2)求出单位冲激信号作用在系统上的零状态响应—单位冲激响应h(t)。•3)利用线性时不变系统的特性，求出单位冲激信号线性组合作用在系统上的响应，即系统在任意信号f(t)激励下的零状态响应yf(t)。卷积法求解系统零状态响应yf(t)推导)()(tht)()(tht)()()()(thftf由时不变特性由均匀特性由积分特性dtftf)()()(dthftyf)()()()()()()()(thtfdthftyf例5已知某LTI系统的动态方程式为y´(t)+3y(t)=2f(t)，系统的冲激响应h(t)=2e3tu(t),f(t)=3u(t),试求系统的零状态响应yf(t)。dthfthtftyf)()()()()(dtueut)(2)(3=)(3000d2e3=0)-3(-tttt[解]000)1(2=3ttet)()2(1=3tuet连续时间系统的单位冲激响应•连续时间系统单位冲激响应的定义•冲激平衡法求系统的单位冲激响应•连续时间系统的单位阶跃响应连续时间系统单位冲激响应的定义在系统初始状态为零的条件下，以单位冲激信号激励系统所产生的输出响应，称为系统的单位冲激响应，以符号h(t)表示。N阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足)()(')()()()(')()(01)1(1)(01)1(1)(tbtbtbtbthathathathmmmmnnn冲激平衡法求系统的单位冲激响应由于t0+后,方程右端为零,故nm时)()()(1tueKthnitsiinm时,为使方程两边平衡,h(t)应含有冲激及其高阶导数,即)()()()()(01tAtueKthjjnmjnitsii将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡,确定系数Ki，Ai例1已知某线性时不变系统的动态方程式为试求系统的单位冲激响应。0),(2)(3)(ttftydttdy解：当f(t)=(t)时,y(t)=h(t),即)(2)(3)(tthdttdh动态方程式的特征根s=3,且nm,故h(t)的形式为)()(t3tuAeth)(2)(3+])([33ttuAetuAedtdtt解得A=2)(2)(3tuetht例2已知某线性时不变系统的动态方程式为试求系统的冲激响应。解：当f(t)=(t)时,y(t)=h(t),即)('3)(2)(6)(ttthdttdh动态方程式的特征根s=6,且n=m,故h(t)的形式为)()()(t6tBtuAeth解得A=16,B=30),('3)(2)(6)(ttftftydttdy)('3)(2)]()(6[+])()([66tttBtuAetBtuAedtdtt)(16)(3)(t6tuetth冲激平衡法小结)()()()()(01tAtueKthjjnmjnitsii1)由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式.2)由动态方程右边(t)的最高阶导数与方程左边h(t)的最高阶导数确定(j)(t)项.连续系统的阶跃响应)()(')()()()(')()(01)1(1)(01)1(1)(tubtubtubtubtgatgatgatgmmmmnnn求解方法:1)求解微分方程2)利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系dttdgth)()(tdhtg)()(例3求例1所述系统的单位阶跃响应g(t)。tetg03d2)()()1(323tuet例1系统的单位冲激响应为解：利用单位冲激响应与单位阶跃响应的关系，可得h(t)=2e3tu(t)卷积积分的计算和性质•卷积积分的计算•卷积积分的性质交换律、分配律、结合律、位移特性、展缩特性延迟特性、微分特性、积分特性、等效特性•奇异信号的卷积积分一卷积积分的计算•卷积的定义：dthfthtfty)()()()()()())(()()(ththhht平移翻转1）将f(t)和h(t)中的自变量由t改为，成为函数的自变量；•卷积的计算步骤：2）把其中一个信号翻转、平移；3）将f()与h(t)相乘；对乘积后的图形积分。)(tft)(tht)(h)()(thft)()(),()(),(*)(tuethtutfthtft计算)(f)(h01)(*)(0)(tedethtfttt例1例2：计算y(t)=p1(t)p1(t)。)()(11tpp0.5t5.0t5.01?t1t5.0t5.0)()(11tpp01t1a)t1b)1t0tdttyt1)(5.05.0)(1tp0.5-0.51t)(1py(t)=0t5.0t5.0)()(11tpp10?t1t5.0t5.0)()(11tpp1t111-1)()(11tptptc)0t1tdttyt1)(5.05.0d)1ty(t)=0练习1：u(t)u(t)练习2：计算y(t)=f(t)h(t)。)(tft101)(tht201)(tyt20113tt