数列应用题训练

数列应用题训练1.一片森林面积为a，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐面积的百分比相等，则砍伐到原面积的一半时，所用时间是T年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的25％．已知到今年止，森林剩余面积为原来的22．(1)问到今年止，该森林已砍伐了多少年？(2)问今后最多还能砍伐多少年？2.一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列(1)nn中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列na，结果表明：①从A口输入1n时，从B口得113a；②当2n时，从A口输入n，从B口得到的结果na是将前一结果1na先乘以自然数列n中的第1n个奇数，再除以自然数列na中的第1n个奇数。试问：(1)从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？(2)从A口输入100时，从B口得到什么数？并说明理由。3.某地区位于沙漠边缘地带，到2004年底该地区的绿化率只有30%，计划从2005年开始加大沙漠化改造的力度，每年原来沙漠面积的16%，将被植树改造为绿洲，但同时原有绿洲面积的4%还会被沙漠化。(1)设该地区的面积为1，2002年绿洲面积为1031a，经过一年绿洲面积为2a……经过n年绿洲面积为,1na求证：;254541nnaa(2)求证：}54{1na是等比数列；(3)问至少需要经过多少年努力，才能使该地区的绿洲面积超过60%？（取)3.02lg4.用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1150.购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%，若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第十个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花了多少钱？5.某公司1992年初投资500万元做农副产品生意，当年获利100万元，此后每年投资比上年增加100万元，每年毛收入比上一年的1.1倍多10万元．（Ⅰ）该公司2005年获利多少万元？（Ⅱ）若建设一所希望小学需50万元，则该公司1992年到2004这13年的利润总和可以建设多少所希望小学？（纯利润=毛收入－投资额；1345.3log1.1）6.用分期付款的方式购买一批总价为2300万元的住房，购买当天首付300万元，以后每月的这一天都交100万元，并加付此前欠款的利息，设月利率为1%。若首付300万元之后的第一个月开始算分期付款的第一个月，问分期付款的第10个月应付多少万元？全部贷款付清后，买这批房实际支付多少万元？7.随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的Q型车、R型车的销量引起市场的关注.已知2010年1月Q型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内Q型车每月的销量都将以1%的比率增长，而R型车前n个月的销售总量Tn大致满足关系式：Tn＝228a(1.012n－1).(n≤24，n∈N*)(1)求Q型车前n个月的销售总量Sn的表达式；(2)比较两款车前n个月的销售总量Sn与Tn的大小关系；(3)试问从第几个月开始Q型车的月销售量小于R型车月销售量的20%，并说明理由.(参考数据：54.5828≈1.09，lg1.09lg1.01≈8.66)8.一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列{}ka，（k=1,2,3,,n）试求：（1）1a，23,aa（2）邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数是多少个？（3）求数列{}ka的前k项和KS并证明：316KSn9.如图，9个正数排列成3行3列，其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，且所有的公比都是q，已知121a，,41,433223aa又设第一行数列的公差为1d.（1）求出11a，1d及q；（2）若保持这9个数的位置不动，按照上述规律，补成一个n行n列的数表如下，试写出数表第n行第n列nna的表达式，并求112233nnnSaaaa的值.答案:1.设每年砍伐面积的百分比为)10(bb.则abaT21)1(，∴21)1(Tb，Tb21lg)1lg(．(1)设到今年为止，该森林已砍伐了x年，∴abax22)1(22lg)1lg(bx，于是22lg21lgTx2Tx，表明已砍伐了2T年．(2)设从开始砍伐到至少保留到原面积的25％，需y年．∴abay41)1(41lg)1lg(by，∴41lg21lgTyy≤2T．因此今后最多还能砍伐的年数为2322TTT2.(1)2111515aa3213735aa(2)先用累乖法得*1()(21)(21)nanNnn得10011(21001)(21001)39999a3.(1)设2004年底沙漠面积为b1,经过n年治理后沙漠面积为bn+1。则an+bn＝1。依题意，an+1由两部分组成，一部分是原有的绿洲面积减去沙漠化后剩下的面积，an－4%an＝96%an，另一部分是新植树绿洲化的面积16%bn，于是an+1＝96%an+16%bn=96%an+16%(1－an)=80%an+16%=25454na。(2)由254541nnaa两边减去54得1444()555nnaa，∴14{}5na是以21541a为首项，54为公比的等比数列。(3)由(2)可知1414()525nna，依题意n)54(215460%，即42()55n，两边取对数得.49.016.012lg312lg215lg2lg25lg2lg52log54n故至少需要5年才能达到目标。4.购买时付了150元，欠款1000元，每月付50元，分20次付完。设每月付款数组成数列{an},则a1=60(元),a2=(60-0.5)(元),a3=(60-0.5*2)(元),a4=(60-0.5*3)(元)依此推得a10=60-0.5*9=55.5(元)an=60-o.5*(n-1)(元)(1≤n≤20)付款总数S=S20+150=1255(元)5.(Ⅰ)设从1992年算起第n年毛收入为na万元,投资为nb万元,利润为nc万元,,101.1,60011nnaaa则),100(1.11001nnaa11.1700100nna,1001.17001nna,400100100)1(500nnbn,5001001.17001nbacnnnn,2005年是第14年,515190045.370050014001.17001314c(万元)(Ⅱ)即1550135002141310011.111.1700131321ccc(万元),1550÷50=31(所)．6.购买时付款300万元，则欠款2000万元，依题意分20次付清，则每次交付欠款的数额顺次构成数列}{na，故12001.020001001a（万元）11901.0)1002000(1002a（万元）11801.0)21002000(1003a（万元）11701.0)31002000(1004a（万元）………nnnan121)1(12001.0)]1(1002000[100),201(Nnn因此}{na是首项为120，公差为-1的等差数列，故1111012110a（万元）1012012120a（万元）20次分期付款的总和为2210220)101120(220)(20120aaS（万元）实际要付300+2210=2510（万元）答：略7.解：(1)Q型车每月的销售量{an}是以首项a1＝a，公比q＝1＋1%＝1.01的等比数列(2分)前n个月的销售总量Sn＝a(1.01n－1)1.01－1＝100a(1.01n－1)，(n∈N*，且n≤24).(2)∵Sn－Tn＝100a(1.01n－1)－228a(1.012n－1)＝100a(1.01n－1)－228a(1.01n－1)(1.01n＋1)＝－228a(1.01n－1)·(1.01n＋3257)又1.01n－10,1.01n＋32570，∴SnTn.(8分)(3)记Q、R两款车第n个月的销量分别为an和bn，则an＝a×1.01n－1当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝228a(1.012n－1)－228a(1.012n－2－1)＝228a×(1.012－1)×1.012n－2＝4.5828a1.012n－2.(10分)b1＝4.5828a，显然20%×b1a1.当n≥2时，若an20%×bn，a×1.01n－115×4.5828a×1.012n－2，1.012(n－1)54.5828×1.01n－1,1.01n－154.5828≈1.09，n－1lg1.09lg1.01≈8.66.∴n≥10，即从第10个月开始，Q型车月销售量小于R型车月销售量的20%.(13分)8.（1）由题意得：1231,(1)(2)1,(1)(2)(3)12.3anannannn分（2）在第k站出发时，前面放上的邮袋共：)()2()1(knnn个而从第二站起，每站放下的邮袋共：1＋2＋3＋…＋（k－1）个故)]1(21[)()2()1(kknnnak),,2,1()1(21)1(212nkkknkkkkkn即邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋数),2,1(2nkkkn个（3）2222,(2)(12)1(1)(21)()1226kkaknkSnnknkkkkknkn分333(1)(321)113211()663611146KkknkkknknkkSn等号不成立。分9.（1）由题意，得),2,1,(043)2(121232111132311112njiaqaaqdaqaadaaij，解得212121111qda（2）因为111111[(1)]nnnnnaaqandq1()2nn211221112()()222nnnnSaaan①132)21()21)(1()21(2)21(21nnnnns②由①—②，得132)21()21()21()21(2121nnnnsnnns)21)(2(2