高数1—极限与连续

高数复习题1——极限与连续一、填空题1．函数29)2ln(1)(xxxf的定义域为_______________________．２．函数2101xy的反函数为______________________．３．设eaxaxxx2222lim，则a____________．４．当0x时，若12153x与bax等价，则a_____，b________．５．已知2)2(lim0xfxx，则xxfx)(lim0___________．二、单项选择题1．若数列nx满足axnnlim，则数列nx在a的任一邻域之外（其中0）数列中的点（）（Ａ）必不存在；（Ｂ）至多只有有限多个；（Ｃ）必定有无穷多个；（Ｄ）可以有有限多个，也可以有无穷多个。2．考察下列命题①若数列nx满足:Nnxn,0，且axnnlim，则0a。②若数列nx满足:Nnxn,0，且axnnlim，则0a。③设axnnlim，且0a，则存在0N，当Nn时，有5axn。④设axnnlim，且0a，则存在0N，当Nn时，有0nx。正确的命题是（）。（Ａ）①，③；（Ｂ）②，③；（Ｃ）①，②，③；（Ｄ）②，③，④。3．下列结论错误的是（）．（Ａ）函数xxf1sin)(是有界函数；（B）当0x时，函数xxf1sin)(的极限存在；（C）xxf1sin)(是奇函数；（D）当0x时，xxxf1sin)(是无穷小量．4．设3)32)(1)(1(lim0xaxxxx，则a=（）（Ａ）1；（Ｂ）2；（Ｃ）1；（Ｄ）2。5．设xxxf11)(，xxg1)(，则当1x时，（）．（Ａ）f和g是等价无穷小量；（B）f是g的高阶无穷小量；（C）f是g的低阶无穷小量；（D）f和g是同价无穷小量但非等价量．6．极限112111limxxexx=（）（Ａ）2；（Ｂ）0；（Ｃ）；（Ｄ）不存在但不为。7．设ba0，则nnnnbalim（）．（Ａ）1；（B）0；（C）a；（D）b．8．下列运算过程正确的是（）．（Ａ）00001lim11lim1lim1111limnnnnnnnnnnnn；（B）0limtansinlim33xxxxxxxx；（C）2142lim4arcsin2tanlim00xxxxxx；（D）0)1sinlim()lim(1sinlim000xxxxxxx．9．设函数nnxxxf211lim)(，讨论函数)(xf的间断点，其结论为（）（Ａ）)(xf不存在间断点；（Ｂ）1x是)(xf的间断点；（Ｃ）0x是)(xf的间断点；（Ｄ）1x是)(xf的间断点。10．设002)1sin()(xaxxxexfx在0x处连续，则a（）（Ａ）2；（Ｂ）2；（Ｃ）21；（Ｄ）21。三、设)1(lim)(nnxnxf．求)(xf的表达式．四、设函数xxxfxxsin1212)(11，讨论函数的连续性，并指出间断点的类型．五、设0011sin)(xaexxxxfx在),(上连续，求a．六、计算极限（1）)11(lim22xxxxx．（2）)tan1sin1(1lim0xxxx．七、设11x，nnnxxx111（nn,,2,1），证明nnxlim存在，并求nnxlim．八、已知0)](42[lim2baxxxx，求ba,．九、设)(xf是三次多项式，且14)(lim2)(lim42xxfxxfxx，（1）求)2(f，)4(f；（2）求)(xf；（3）3)(lim3xxfx．十、设)(xf在区间),(ba上连续，bdca，qp,是两个任意给定的正数，证明存在),(ba，使得)()()()(dqfcpffqp．参考答案一、填空题1．函数29)2ln(1)(xxxf的定义域为)2,1()1,3[．２．函数2101xy的反函数为2),2lg(1xxy．３．设eaxaxxx2222lim，则a21．４．当0x时，若12153x与bax等价，则a52，b3．５．已知2)2(lim0xfxx，则xxfx)(lim041．二、单项选择题1．若数列nx满足axnnlim，则数列nx在a的任一邻域之外（其中0）数列中的点（B）（Ａ）必不存在；（Ｂ）至多只有有限多个；（Ｃ）必定有无穷多个；（Ｄ）可以有有限多个，也可以有无穷多个。2．考察下列命题①若数列nx满足:Nnxn,0，且axnnlim，则0a。②若数列nx满足:Nnxn,0，且axnnlim，则0a。③设axnnlim，且0a，则存在0N，当Nn时，有5axn。④设axnnlim，且0a，则存在0N，当Nn时，有0nx。正确的命题是（B）。（Ａ）①，③；（Ｂ）②，③；（Ｃ）①，②，③；（Ｄ）②，③，④。3．下列结论错误的是（B）．（Ａ）函数xxf1sin)(是有界函数；（B）当0x时，函数xxf1sin)(的极限存在；（C）xxf1sin)(是奇函数；（D）当0x时，xxxf1sin)(是无穷小量．4．设3)32)(1)(1(lim0xaxxxx，则a=（B）（Ａ）1；（Ｂ）2；（Ｃ）1；（Ｄ）2。5．设xxxf11)(，xxg1)(，则当1x时，（A）．（Ａ）f和g是等价无穷小量；（B）f是g的高阶无穷小量；（C）f是g的低阶无穷小量；（D）f和g是同价无穷小量但非等价量．6．极限112111limxxexx=（D）（Ａ）2；（Ｂ）0；（Ｃ）；（Ｄ）不存在但不为。7．设ba0，则nnnnbalim（D）．（Ａ）1；（B）0；（C）a；（D）b．8．下列运算过程正确的是（C）．（Ａ）00001lim11lim1lim1111limnnnnnnnnnnnn；（B）0limtansinlim33xxxxxxxx；（C）2142lim4arcsin2tanlim00xxxxxx；（D）0)1sinlim()lim(1sinlim000xxxxxxx．9．设函数nnxxxf211lim)(，讨论函数)(xf的间断点，其结论为（B）（Ａ）)(xf不存在间断点；（Ｂ）1x是)(xf的间断点；（Ｃ）0x是)(xf的间断点；（Ｄ）1x是)(xf的间断点。10．设002)1sin()(xaxxxexfx在0x处连续，则a（D）（Ａ）2；（Ｂ）2；（Ｃ）21；（Ｄ）21。三、设)1(lim)(nnxnxf．求)(xf的表达式．解：xxnnenxnxnxfnxnnnnnnlnln1lim)1(lim)1(lim)1(lim)(ln11四、设函数xxxfxxsin1212)(11，讨论函数的连续性，并指出间断点的类型．解：因为)(xf在,2,1,0,kkx时无定义，所以,2,1,0,kkx为间断点，函数在定义域内连续。又因为：当0k时，1212)(lim11kkkxxf，所以0,kkx是无穷间断点；当0k时，011)0()(lim0fxfx，011)0()(lim0fxfx，)0()0(ff，所以，0x是可去间断点。五、设0011sin)(xaexxxxfx在),(上连续，求a．解：因为)(xf在),(上连续，所以)0()0()0(fff，而aaefxxfx00)0(1)11sin(lim)0(，所以：1a。六、计算极限（1）)11(lim22xxxxx．解：。原式111111122lim1122lim1111lim22222222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx（2）)tan1sin1(1lim0xxxx．解：原式=2121lim)cos1(sin11lim2200xxxxxxx。七、设11x，nnnxxx111（nn,,2,1），证明nnxlim存在，并求nnxlim．解：因为2111nnnxxx，所以：数列nx有界；下证单调性：因21xx，假设1nnxx，则：0)1)(1()11(1111111nnnnnnnnnnxxxxxxxxxx，即：nnxx1，所以数列nx单调递增且有上界，从而，极限存在。设axnnlim，则由nnnxxx111得：aaa11，即：251a。八、已知0)](42[lim2baxxxx，求ba,．解：042242lim)](42[lim222222baxxxabxbxaxxbaxxxxx所以：012a，得：1a，当1a时，原式，不符合题意，舍去；所以，1a；此时，bxxxx)42(lim2原式，因：bxxxxxxxxxxxxx1142142lim4242lim)42(lim222所以：1,1ba。九、设)(xf是三次多项式，且14)(lim2)(lim42xxfxxfxx，（1）求)2(f，)4(f；（2）求)(xf；（3）3)(lim3xxfx．解：（1）因为14)(lim2)(lim42xxfxxfxx，所以，0)2(f，0)4(f；（2）由（1）可知，4,2xx为多项式的两个根，设))(4)(2()(baxxxxf，由1)2(2))(4(lim2)(lim22babaxxxxfxx，1)4(2))(2(lim4)(lim44babaxxxxfxx，解得：23,21ba，所以，)3)(4)(2(21)(xxxxf（3）21)4)(2(21lim3)(lim33xxxxfxx。十、设)(xf在区间),(ba上连续，bdca，qp,是两个任意给定的正数，证明存在),(ba，使得)()()()(dqfcpffqp．证：因为)(xf在区间),(ba上连续，且bdca，所以，)(xf在],[dc连续，有闭区间上连续函数的性质，知：必mM,，使Mxfm)(在],[dc上，从而，MdfmMcfm)(,)(，对0,qp，有Mqpdqfcpfmqp)()()()(，即：Mqpdqfcpfm)()(，由介值定理得：),(),(badc，使qpdqfcpff)()()(。