高代第六章习题课1

1第六章线性空间习题课基本内容基本解题方法目录下页返回结束例题选讲2一、基本内容1.线性空间定义及简单性质2.子空间(1)定义(2)判别:(3)运算1111,,,,,VVVVVabPabV是的子空间有交和直和1212{|}VVVV且12121122{|}VVVV,定义判别1211,{0}VVVVVVVV首页上页下页返回结束312VVV121)VVV122)VVV123)VVV12,,V表法唯一12000,零向量表法唯一12()()()VVV维维维判别3.基(1)定义(2)基的意义:,V中任一向量可由基线性表出且表法唯一(3)线性空间的维数公式121212()()()()VVVVVV维维维维(4)基变换1212(,,,(,,):),,nnA公式1212,,,,,,,,nnVA其中和都是的基为过渡矩阵可逆.首页上页下页返回结束412121212,,,,(,,,)(,,,),,,,.nnnnVAVA性质设为的基则也为的基可逆:(5)向量坐标11221212:,,(,,,),,,nninnxxxxPxxx定义为在基下的坐标1)一个向量在任一基下的坐标是唯一的.2).n在取定基下,向量的和与数乘运算可归结为元数组的加法和数乘性质:首页上页下页返回结束51122:nnklklAkl则有坐标变换公式121212121212,,,,,,.,,,(,,,),,,,(,,,),nnnnnnAkkklll设为基到基的过渡矩阵在基下的坐标是在基下的坐标是首页上页下页返回结束坐标变换:64.同构,,:,,,()()(),()(),.VUPVUVkPkkVU设都是上的线性空间是双射，如果都有则是到的同构映射同构映射保持向量的线性关系..nPnVP数域上任一维线性空间都与同构首页上页下页返回结束7二、基本解题方法1.在有限维线性空间中,证明一组个数与空间维数相等的向量组是该空间的基,只需证明这组向量线性无关即可.2.求一组基到另一组基的过渡矩阵.方法一:直接利用基变换公式1212(,,,)(,,,)nnA12,,,,.jnA求出在基下的坐标将这些坐标为列排成的矩阵就是(此法一般较繁,除非基较简单)首页上页下页返回结束8首页上页下页返回结束方法二:1212,,,,,,()nn先将与分别用标准基或形式较简的基线性表示12121212(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)nnnnAB11212(,,,)(,,,)nnAB于是11212,,,,,,.nnAB则就是基到基的过渡矩阵nP此法特别对中的基向量最为有效.11(,)(,),ABEABAB行变换用可求出9首页上页下页返回结束3.求向量α在某组基下的坐标.可用两种方法:一是将向量α由基向量线性表示,然后根据具体元素的特点,求出这些系数,即为坐标.此为“待定系数法”.1212(,,,),(,,,),nnxxxyyy二是已知在某基下的坐标而求在另一组基下的坐标则可利用坐标变换公式111122221nnnnxyyxxyyxAAxyyx或10“”.A其中为前一组基到后一组基的公过渡矩阵.式法此为4.求生成子空间的交与和的基及维数.研究子空间的生成的核心思想是从一组生成元去把握这个子空间.生成子空间的生成元的极大无关组就是这个子空间的基.因此一个有限维空间总可以认为是由一组基所生成的.一般说来，求两个子空间的交的维数和一组基相对要困难些.首页上页下页返回结束11首页上页下页返回结束①求交的基及维数，设1212(,,,)(,,,)rsLL1111rrssxxyy则11110rrssxxyy即这个方程组的解空间的维数就是交的维数.11,,,rsxxyy由基础解系所得的或即可求出交的基.,:nP求中向量所生成的子空间的交与和的基及维数时通常可采用下述方法12首页上页下页返回结束1212,,,,,,,,,..rsAABBBA将为列向量排成一个矩阵再对进行初等行变换化为阶梯形矩阵则的非零行数就是和的维数的列向量组的极大无关组对应的的列向量就是和的基②求和的基及维数，因12121212(,,,)(,,,)(,,,,,,,)rsrsLLL13三、例题选讲12121,,,,VVVVxxVxV设是线性空间的两个非平凡子空间证明:在中存在向量使例同时成立.11,.VVVV证因是的非平凡子空间所以在中存在2,.V若则命题已成立12,,VV若22,.VVVV则因是的非平凡子空间故在中存在1,.V若则命题已成立21,,VV若则考虑,向量12,.VV下证111,,(),VVV若则因有1.V与矛盾首页上页下页返回结束14222,,(),VVV若则因有2.V与矛盾12,.VxxVxV故在中存在向量且121212,,,.VVVVxxVVVVV此例说明,若是的两个非平凡子空间则在中存在向注量使,即:.V因此不能表成两个非平凡子空间的并12121212,..VVVVVVVVVVV我们已知的两个子空间的交与和仍是的子空间此例进一步说明并未必是的子空间首页上页下页返回结束151212122,,.VVVVVVVV设是线性空间的两个子空间证明:是的既包含又包含的最小例子空间1212,.VVVVV证显然是的既含又含的子空间12.WVVV设是的任一既包含又包含的子空间12121122,,,VVVV对其中112212,,,.VWVWWVW而是的子空间所以因12.VVW于是1212.VVVVV故是的既包含又包含的最小子空间首页上页下页返回结束16121,,,(1),:,,,,,.3nnmmnmAPAOAOmnPAAA设矩阵满足证明存在向量使得例线性无关121,,,,,0.nnmiiPA证取的一组基则至少存在一个使得10,1,2,,,mjAjn事实上,若令12(,,,)nB1,.mBABO则可逆且有1.mAO于是.与题设矛盾1,0,0.mmiAA令则首页上页下页返回结束17011,,,,mkkkP若不然,则有不全为零的数使21,,,,.mAAA下证线性无关1011()()0,mmkkAkA011,,,,imkkkk设是中第一个不为零的数则上式为11()()0,imimkAkA11,()0,mimiAkA用左乘这个等式两边得10,mikA因0,所以必有.与假设矛盾21,,,,.mAAA故线性无关21,,,,,.:nnnPAAAP在题设条件下,存在使得为注的基首页上页下页返回结束1811221212121212(,),(,),(1210),(1111),(2,1,0,1),(1,1,3,7).4()().VLVLVVVV设其中，，，，，，求维与维例121212(,,,).VVL解显然1121211111030117A1212行初等变换1121011700130000B1212首页上页下页返回结束19121121212112,,,,,,,.BVV由矩阵知是的一个极大无关组,所以是的一个基12()2,()2,VV又易知维维12()3.VV故维121222()()()()VVVVVV而维维维维2231首页上页下页返回结束2012121212,,,,,(,,,)(,,,):(,5,,).nsnsnVAnsALA设是维线性空间的一组基是矩阵证明的维数等于的秩例(),,,rArPQEOAPQOO证设秩则存在可逆矩阵使得1212(,,,)(,,,)nnP令12,,,,.nP因可逆所以线性无关于是首页上页下页返回结束211212(,,,)(,,,)rsnEOPQOO12(,,,)rnEOQOO1(,,,0,,0)rQ121,,,,,sr这说明能由线性表示.112,,,,,,.rsQ又可逆所以能由线性表示121,,,,,sr从而与等价.121(,,,)(,,).srLL于是12(,,,)().sLrA故的维数秩首页上页下页返回结束22121212216:.VVVVVVVV证明当且仅当或例证充分性112212VVVVVV因，，所以1212.VVVV12,VV又若则有1212212;VVVVV若,则有2112112.VVVVV若,则有1212VVVV所以1212VVVV故121122,,,VV首页上页下页返回结束23必要性1221().VVVV反证法若不属于且不属于11122221,;,.VVVV则存在但但121212,VVVV而121122.VV于是或121V若,1121,VV则由,可得.矛盾122V若,2212,VV则由,可得.矛盾1221.VVVV故必或首页上页返回结束24四、练习121231,2,1),(2,1,0)1,1,1),(0,1,0)112312123已知(线性无关，又可由(，(1,0,0)线性表出，求出一个向量{,,},使得{,,}与{,,}等价。首页上页下页返回结束22(112,,)WLxxxx求子空间的一个基和维数。22212221(,,)2301111WLP求子空间的一个基和维数。25,)4QabQQQ已知（2）{a+b2|}是上的线性空间，求（2）的一个基和维数。首页上页下页返回结束11211112120{|,),{|,)0050aabWabRWacRc22已知是P的两个子空间，求,.41246(1,2,1,1),(1,1,3,2)RR、在中，将扩充为的一个基。2371,1[]xxPx、将扩充为的一个基。268,112323123x、已知在基{,,}下的坐标是xx求在基{2,3,4}下的坐标。首页上页下页返回结束9,1123231223x、已知在基{,,}下的坐标是xx求在基{+,,}下的坐标。2711024131232311232123313123、设{,,}是R的一个基，试求L(,,)其中-2+3，+3+2，3求在基{2,3,4}下的坐标。首页上页下页返回结束28五、思考题12121212,),)1,1,00),(1,0,11)2,11,33),(0,1,11)证明：L(L(其中(，，，(，，，首页上页下页返回结束12342任意