高考专题复习--参数方程(教案)

1选修4—4坐标系与参数方程第1课坐标系[课前回扣教材][过双基]1．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．3．极坐标与直角坐标的互化设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：x＝ρcosθ，y＝ρsinθ；ρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠0.4．常见曲线的极坐标方程(1)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程：ρ＝r(0≤θ2π)．(2)圆心为r，π2，半径为r的圆的极坐标方程：ρ＝2rsin_θ(0≤θπ)．(3)过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程：θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)．(4)过点(a,0)，与极轴垂直的直线的极坐标方程：ρcosθ＝a－π2θπ2.(5)过点a，π2，与极轴平行的直线的极坐标方程：ρsin_θ＝a(0θπ)．[小题速通]1．已知曲线的极坐标方程为ρ＝4cos2θ2－2，则其直角坐标方程为________________．2．在极坐标系中，圆ρ＝2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为________．3．点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的极坐标为________．24．在极坐标系中，过点A1，－π2引圆ρ＝8sinθ的一条切线，则切线长为________．[清易错]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．1．圆ρ＝5cosθ－53sinθ的圆心的极坐标为________．2．若圆C的极坐标方程为ρ2－4ρcosθ－π3－1＝0，若以极点为原点，以极轴为x轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy，则在直角坐标系中，圆心C的直角坐标是________．极坐标与直角坐标的互化[典例]在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cosθ＋sinθ和直线l：ρsinθ－π4＝22.(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．[方法技巧]1．极坐标与直角坐标互化公式的3个前提条件(1)取直角坐标系的原点为极点．(2)以x轴的非负半轴为极轴．(3)两种坐标系规定相同的长度单位．2．直角坐标化为极坐标的注意点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M的极坐标是唯一的．3(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．[即时演练]在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcosθ－π3＝1(0≤θ2π)，M，N分别为C与x轴，y轴的交点．(1)写出C的直角坐标方程，并求M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．极坐标方程的应用[典例](2017·长春摸拟)已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcosθ－π4＝2.(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．[方法技巧]曲线的极坐标方程的求解策略在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决．[即时演练](2017·云南师大附中适应性考试)在直角坐标系xOy中，半圆C的参数方程为x＝1＋cosφ，y＝sinφ(φ为参数，0≤φ≤π)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C的极坐标方程；4(2)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ＋3cosθ)＝53，射线OM：θ＝π3与半圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．1．(2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C1，C2的极坐标方程；(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．2．(2016·北京高考改编)在极坐标系中，直线ρcosθ－3ρsinθ－1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，求|AB|.3．(2015·安徽高考改编)在极坐标系中，求圆ρ＝8sinθ上的点到直线θ＝π3(ρ∈R)距离的最大值．4．(2015·北京高考改编)在极坐标系中，求点2，π3到直线ρ(cosθ＋3sinθ)＝6的距离．5[高考达标检测]1．在极坐标系中，直线ρ(sinθ－cosθ)＝a与曲线ρ＝2cosθ－4sinθ相交于A，B两点，若|AB|＝23，求实数a的值．2．在极坐标系中，求曲线ρ＝4cosθ－π3上任意两点间的距离的最大值．3．在极坐标系中，已知圆C经过点P2，π4，圆心为直线ρsinθ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．4．在极坐标系中，求直线ρcosθ＋π6＝1与圆ρ＝4sinθ的交点的极坐标．5．(2017·邯郸调研)在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为π3，求：(1)直线的极坐标方程；(2)极点到该直线的距离．66．(2016·山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝31＋2sin2θ，点R22，π4.(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．7．(2017·南京模拟)已知直线l：ρsinθ－π4＝4和圆C：ρ＝2kcosθ＋π4(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．8．(2017·贵州联考)已知在一个极坐标系中点C的极坐标为2，π3.(1)求出以C为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形；(2)在直角坐标系中，以圆C所在极坐标系的极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系，点P是圆C上任意一点，Q(5，－3)，M是线段PQ的中点，当点P在圆C上运动时，求点M的轨迹的普通方程．7第2课参数方程[课前回扣教材][过双基]1．参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C上任意一点P的坐标x，y是某个变数t的函数：x＝ft，y＝gt，并且对于t的每一个允许值，由函数式x＝ft，y＝gt所确定的点P(x，y)都在曲线C上，那么方程x＝ft，y＝gt叫做这条曲线的参数方程，变数t叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．2．直线、圆、椭圆的参数方程(1)过点M(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)．(2)圆心在点M0(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为x＝x0＋rcosθ，y＝y0＋rsinθ(θ为参数)．(3)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)．[小题速通]1．参数方程x＝2－t，y＝－1－2t(t为参数)与极坐标方程ρ＝sinθ所表示的图形分别是________．2．曲线x＝sinθ，y＝sin2θ(θ为参数)与直线y＝x＋2的交点坐标为________．3．设曲线C的参数方程为x＝2＋3cosθ，y＝－1＋3sinθ(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为71010的点的个数为________．4．参数方程x＝2t21＋t2，y＝4－2t21＋t2(t为参数)化为普通方程为________．8[清易错]1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．否则不等价．2．直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|.1．直线y＝x－1上的点到曲线x＝－2＋cosθ，y＝1＋sinθ上的点的最近距离是________．2．直线x＝4＋at，y＝bt(t为参数)与圆x＝2＋3cosθ，y＝3sinθ(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．[课堂研究高考]参数方程和普通方程的互化[典例](2016·重庆巴蜀中学模拟)已知曲线C的参数方程是x＝cosα，y＝m＋sinα(α为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋55t，y＝4＋255t(t为参数)，(1)求曲线C与直线l的普通方程；(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|＝455，求实数m的值．[方法技巧]将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，9常利用同角三角函数关系式消参，如sin2θ＋cos2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．[即时演练]将下列参数方程化为普通方程．(1)x＝3k1＋k2，y＝6k21＋k2(k为参数)；(2)x＝1－sin2θ，y＝sinθ＋cosθ(θ为参数)．直线的参数方程[典例](2017·哈师大附中模拟)已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝1＋4cosθ，y＝2＋4sinθ(θ为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与圆的位置关系来解决问题．(2)对于形如x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)．当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．[方法技巧][即时演练]已知直线l：x＋y－1＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，求线段AB的长度和点M(－1,2)到A，B两点的距离之积．10极坐标、参数方程的综合应用[典例](2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为x＝3cosα，y＝sinα(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝22.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[方法技巧]处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几