高等代数(第三版)6-习题课

线性空间(小结)•一、线性空间1.线性空间的概念2.线性空间的性质(1)线性空间的零元，每个元素的负元都是唯一的；)1(0,00orkk(2)二、基、坐标与维数1．基本概念：线性表示（组合）；向量组等价；线性相关（无关）；基、维数和坐标；过渡矩阵.2．基本结论(1)线性相关性的有关结论.2nVnmmn)s(sn).在维线性空间中，任意个线性无关的向量都做成V的一个基；任意（个线性无关的向量都可扩充为V的一个基；任意个向量都是线性相关的312n12nn,,,,Vn,,,（）若在线性空间V中有个线性无关的向量且中任意向量都可由它线性表示，则V是维的，就是V的一组基.1212121212121122nnnnnnnn(4),,,,,,V,,,,,,x,x,,xy,y,,yxyxyAxy设{}和{}是线性空间的两组基，A是{}到{}的过渡矩阵，（）和（）分别是向量在这两组基下的坐标，则A是可逆的，且三、线性子空间及其形成1．基本概念：子空间；生成子空间；子空间的和与直和.2．基本结论：1（）线性空间V的非空子集W做成V的子空间的充分必要条件为W对V的两种运算封闭.2VV（）线性空间的两个子空间的交(和)仍为的子空间121212123VVVdim(V)dim(V)dim(VV)dim(VV)（）（维数公式）若，是线性空间的两个子空间，则1212121212124nnmnmndimL(,,,)rank(,,,)L(,,,)L(,,,),,,,,,（），向量组{}与{}等价5UVWV=UW,WU（）设是线性空间的一个子空间，则存在一个子空间使得此时称为的余子空间.126012siijjiiV,V,,VVaWVbcVV,(i,,,t)ddimWdimV（）设是线性空间的子空间，则下列条件等价：()是直和；（）零向量的表示法唯一；（）；（）四、线性空间的同构1.同构的定义2.同构映射的基本性质：(1)线性空间的同构映射保持零元，负元，线性组合，线性相关性；(2)同构映射把子空间映成子空间；(3)线性空间的同构关系具有反身性，对称性和传递性；(4)数域P上两个有限维线性空间同构当且仅当它们有相同的维数，因而，每一个数域P上的n维线性空间都与线性空间同构.nP本章的重点是线性空间的概念，子空间的和，基与维数；难点是线性空间定义的抽象性，线性相关和子空间的直和.本章的基本题型主要有：线性空间，子空间的判定或证明，线性相关与无关的判定或证明，基与维数的确定，过渡矩阵和坐标的求法，直和及同构的判定或证明.本章的基本内容及其内在联系可用下图来说明：线性空间线性相关性子空间极大无关组子空间的交与和基、维数和坐标子空间的直和同构余子空间