分类计数原理与分步计数原理基础题

高二下数学基础题10.1分类计数原理与分步计数原理1.某商场共有4个门，若从一个门进，另一个门出，不同走法的种数是（）..A10.B11.C12.D13答案C解析从一个门进去有4种方法.而从另一个门出来有3个方法，故共有4×3=12种.2.有5本不同的中文书，4本不同的数学书，3本不同的英语书，每次取一本，不同的取法有（）种..A3.B12.C60.D不同于以上的答案答案解析每次取一本书分三类：取一本中文书有5种，取一本数学书有4种，取一本英语书有3种，共有5+4+3=12种.3.现有四件不同款式的上衣与三件不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的选法数为（）..A7.B64.C12.D81答案C解析因为在四件上衣中任取一件有4种不同的取法，再由三件长裤中取一件有3种不同的取法，要完成配套，则由分步计数原理可得，共有4×3=12种不同的取法.4.商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有种不同的选法.要买上衣、裤子个一件，共有种不同的选法.答案33270解析买上衣有15种选法；买裤子有18种选法.买一件上衣或一条裤子有15+18=33种选法.买上衣一件和裤子一件，有15×18=270种选法.5.从1到200的自然数中，各个位数上都不含有数字8的自然数有个.答案162解析根据题意可分三类：第一类：一位数中除8以外符合要求的数有8个；第二类：二位数中，十位数字除0、8以外有8种选法，个位数字除8外有9种填法（数字允许重复），所以二位数中有8×9=72（个）符合题意；第三类：百位数字为1，十位数字和个位数字除8以外均为9种填法.另外200这个数也满足题意，所以由分类计数原理，共有8+72+9×9+1=162个.6.某座山，若从东侧通往山顶的道路有3条，从西侧通往山顶的道路有2条，那么游人从上山到下山共有多少种不同的走法？答案25解析完成从上山到下山这件事可分为四类：（1）从东侧上山，且从东侧下山，走法有3×3种；（2）从东侧上山，从西侧下山，走法有3×2种；（3）从西侧上山，从东侧下山，走法有2×3种；（4）从西侧上山，且从西侧下山，走法有2×2种，据分类计数原理知，符合条件的走法共有3×3+3×2+2×3+2×2=25种.7.设集合54321，，，，I，选择I的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有（）.50种.B49种.C48种.D47种答案8.从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有（）.300种.B240种.C144种.D96种答案解析能去巴黎的有4个人，依次能去伦敦、悉尼、莫斯科的有5个、4个、3个，不同的选择方案有：4×5×4×3=240种，选.B9.如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相同区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种.（以数字作答）答案72解析先排1区，有4种方法；再排2区，有3种方法；接着排3区，有2种排法.下面对4区涂色情况进行分类；若4区与2区同色，有1种方法，此时5区有2种方法，若4区与2区不同色，则1、2、3区不同色，故4区也只有1种方法，此时5区只有1种方法.故共有4×3×2×（1×2+1×1）=72（种）.10.某银行储蓄卡的密码是一个4位数码，某人采用千位、百位上的数字之积作为十位、个位上的数字（如2816）的方法设计密码，当积为一位数时，十位上数字选0.千位、百位上都不能取0.这样设计处理的密码共有（）.90个.B99个.C100个.D112个答案C解析千位上数字的取法110C，百位上数字的取法110C，共有设计方案110C110C=100种，也即有100个密码.11.同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有（）.23种.B11种.C9种.D6种答案C解析设4人为甲、乙、丙、丁分步进行，第一步，让甲拿，有三种方法，第二步，没拿到卡片的人去拿，有三种方法，剩余两人只有一种拿法，所以共有3×3=9种方法.12.某市电话号码从7位升至8位，这一改变可增加个拨号.13.把9个相同的球放入编号为1、2、3的箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放法有种.（用数字作答）答案10解析要使每个箱子放球数不小于其编号数，即在1，2，3三个箱里至少要分别放进1，2，3个小球，这样只剩下3个任意放到三个箱子里，有三种情况.①3个一组有3种放法，②2个一组，另1个一组，623种放法，③一个一组，只有一种放法.共有3+6+1=10种.10.2排列1.下列等式中部正确的是（）.A.1)!1(!nnnB.11mnmnnC.)!(!mnnmnD.)!()!1(11nmnmn答案D解析)!(!mnnmn可判定D不正确.2.有5个元素a，b，c，d，e从中选4个进行排列，其中a，b必须选入，且要求排在一起，此种排法共有（）.A.2523种B.3523种C.33223种D.2233种答案C解析因为a，b必选，只要从c，d，e中取二个元素，有3种方法，其次a，b必须相邻，用捆绑式，有2233（种）方法.所以满足条件的排列为33223.3.用数字0，1，2，3，4能组成没有重复数字的且比20000大的五位奇数的个数有（）.A.3B.30C.72D.18答案B解析第一类：3在个位时，在排首位有12，其余三位为33，则三位数为1233.第二类：1在个位，排首位有13，其余三位为33，则组成三位数为1333.综合可知三位奇数是1233+1333=5×6=30.4.书架上摆放着6本书，现要再插入3本书，则不同插法的种数为（）.A.37B.44C.789D.332答案C解析原有6本书算作6个隔断，隔出7个空，（中间5个，两端2个），把7个空视为位置，把3本书视为元素，采用元素添位置的方法解答本题，即插空法.三本书逐本插入书架上.第1本可插放在原来6本书之间和两端的7个位置之一上，有7种插法.第1本书插入后，书架上有7本书，所以第二本书有8种插法.同样，第三本书有9种插法.所以插法总数为789.5.8次射击，命中3次，其中恰有2次连续命中的情形有种.答案30解析将连续2次命中和一次命中看成2个不同的元素，插入5个没有命中的6个空档中，共有3026种.6.9个人排成三排，每排3个，其中甲、乙两人要排在第一排，丙要排在第二排，丁要排在第三排，则总共有种排法.答案4320解析第一类丁安排在第三排第三位第一步：先安排甲、乙两人共有23，第二步：安排丙有13C，第三步：安排其他人有55，因此共有2160种.第二类丁安排在第二排第三位，第一步：先安排甲、乙两人有23种，第二步：安排乙有12种，第三步：安排其他人有55种，共有1440种.第三类丁安排在第一排第三位，第一步：先安排甲、乙有22种，第二步：安排乙有13种，第三步：安排其他人有55种，共有720种.据分类计数原理得，共有4320种.7.用0~9这十个数字组成没有重复数字的正整数（1）共有几个三位数?（2）末位数字是4的三位数有多少？（3）求所有三位数的和;（4）四位偶数有多少？（5）比5231大的四位数有多少？解：(1)百位不能为“0”,因此共有6482919AA个;（2）末位为4,百位不能为“0”,因此共有18A×18A=64个（3）考虑各数位上的数字之和,可得所有三位数的和为:)921(1818AA10)921(1818AA100)921(29A355680（4）分末位数字是否为0两种情况考虑。229628181439AAAA种；（5）①千位上为9,8,7,6的四位数各有39A个;②千位上是5,百位上为3,4,6,7,8,9的四位数各有28A个;③千位上是5,百位上为2,十位上为4,6,7,8,9的四位数各有17A个;④千位上是5,百位上为2,十位上为3且满足要求的共有5个,因此共有5564172839AAAN2392种。8.由0,1,2,3,4,5共六个数字组成没有重复数字的六位数,问其中小于50万又不是5的倍数的数共有几个?解:先将0和5放到中间4个数位上,然后再排其他数字,故共有2884424AA个数符合要求.9.由数字1，2，3，4组成多少个无重复数字的三个数？并写出所有的三位数.解析从1，2，3，4这四个数字中，每次取出三个，按照百位、十位、个位的顺序排列起来，一共有2423434种不同的排法，即共有24个不同的三位数，这些三位数是：123，124，132，134，142，143，213，214，231，234，241243，312，314，321，324，341，342，412，413，421，423，431，432.10.用0，1，2，3，4五个数字：（1）可组成多少个五位数；（2）可组成多少个无重复数字的五位数；（3）可组成多少个无重复数字的且是3的倍数的三位数；（4）可组成多少个无重复数字的五位奇数；（5）在没有重复数字的五位数中，按由小到大的顺序排，42130是第几个数、第61个数是多少？（6）可以组成多少个无重复数字的且奇数在奇数位上的五位数.解析（1）各个数位上数字允许重复，故采用分步计数原理，250055554个；（2）考虑特殊位置“万位”，从1、2、3、4中任选一个填入万位，共有4中填法，其余四个位置，4个数字全排列为44，故共有964414个；另外，考虑特殊元素“0”，先排0，从个、十、百、千位中任选一个位置将0填入，有14种填法，然后将其余四个数字在剩余4位置上全排列为44种，故共有964414个；（3）构成3的倍数的三位数，各个位上数字之和是3的倍数，将0、1、2、3、4按除以3的余数分成3类，按照取0和不取0分类：取0，从1和4中取一个数，再取2进行排列，先填百位12，其余任意排22，故有12222种；不取0，则只能取3，从1和4中再任取一类，再取2，然后进行全排列为332，所以共有12222332=8+12=20个；（4）考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从1、3中选一个填入个位有12种填法，然后从剩余3个非0数中选一个填入万位，有13种填法，包括0在内还有3个数在中间三位置上全排列，排列数为33，故共有12133336个；（5）按分类计数原理，当万位数位1、2、3时均可以，共有4413个数.当万位数为4，千位数为0、1的均满足，共有3312，当万位数字为4，千位数字为2，而百位数字为0和1的均满足，共有2212，所以42130是第4413+3312+2212=88个数.万位是1、2的各有44个数，万位是3，千位是0、1的各有33个数，所以共有60223344个数，故第61个数为32014；（6）运用排除法，先将1、3在奇数位上排列，有23种排法；再将其余3个偶数在剩余3个位置上全排列，共有33种，而其中1、3在个位和百位上，而万位上为0的不合题意，有2222种，所以符合条件的共有3222223323个.11.在3000与8000之间.（1）有多少个没有数字重复且能被5整除的奇数.（2）有多少个没有数字重复的奇数.解析（1）能被5整除的奇数，个位上只能是5，按条件千位上可以是3、4、6、7中的任意一个，其余两个数字可以是余下数字中的任意两个.224428（个）.（2）按题要求，个位可以是1、3、5、7、9中任意一个，千位上可以是3、4、5、6、7中的任意一个.因为个位数字与千位数字不能重复，所以可分以下两类：第一类：个位是1、9，千位可以是3、4、5、6、7中任意一个，这样的