2020年深圳高三年级线上统一测试数学(理)

绝密★启用前试卷类型：A深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试数学（理科）2020.3本试卷共23小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合}3210{，，，=A，}032|{2−−=xxxB，则AB=A．)3,1(−B．]3,1(−C．)3,0(D．]3,0(2．设23i32iz+=−，则z的虚部为3．某工厂生产的30个零件编号为01，02，…，19，30，现利用如下随机数表从中抽取5个进行检测.若从表中第1行第5列的数字开始，从左往右依次读取数字，则抽取的第5个零件编号为34570786360468960823234578890784421253312530073286322118342978645407325242064438122343567735789056424．记nS为等差数列{}na的前n项和，若23a=，59a=，则6S为5．若双曲线22221xyab−=（0a，0b）的一条渐近线经过点(1,2)−，则该双曲线的离心率为6．已知tan3=−，则πsin2()4+=7．7)2(xx−的展开式中3x的系数为A．1−B．1C．2−D．2A．25B．23C．12D.07A．36B．32C．28D.24A．3B．52C．5D.2A．35B．35−C．45D．45−A．168B．84C．42D.218．函数()2ln|e1|xfxx=−−的图像大致为9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的外接球表面积为A．323π3B．32πC．36πD．48π10．已知动点M在以1F，2F为焦点的椭圆2214yx+=上，动点N在以M为圆心，半径长为1||MF的圆上，则2||NF的最大值为11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理则被称为欧拉线定理．设点O，H分别是△ABC的外心、垂心，且M为BC中点，则A．33ABACHMMO+=+B．33ABACHMMO+=−C．24ABACHMMO+=+D．24ABACHMMO+=−12．已知定义在π[0]4，上的函数π()sin()(0)6fxx=−的最大值为3，则正实数的取值个数最多为二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若yx,满足约束条件+−−+101022xyxyx，则yxz2−=的最小值为___________．14．设数列{}na的前n项和为nS，若naSnn−=2，则=6a___________．ABCDA．2B．4C．8D．16A．4B．3C．2D.1（第9题图）第9题图（第18题图）MDN1D1C1B1ACBA15．很多网站利用验证码来防止恶意登录，以提升网络安全.某马拉松赛事报名网站的登录验证码由0，1，2，…，9中的四个数字随机组成，将从左往右数字依次增大的验证码称为“递增型验证码”(如0123)，已知某人收到了一个“递增型验证码”，则该验证码的首位数字是1的概率为___________．16．已知点1(,)2Mmm−和点1(,)2Nnn−()mn，若线段MN上的任意一点P都满足：经过点P的所有直线中恰好有两条直线与曲线21:2Cyxx=+(13)x−相切，则||mn−的最大值为___．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，222+2abcS−=.（1）求cosC；（2）若cossinaBbAc+=，5a=，求b.18．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCDABCD−中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别在棱1CC，1AA上，且12CMMC=，12ANNA=.（1）求证：1//NC平面BMD；（2）若13AA=，22ABAD==，π3DAB=，求二面角NBDM−−的正弦值.19．（本小题满分12分）已知以F为焦点的抛物线2:2(0)Cypxp=过点(1,2)P−，直线l与C交于A，B两点，M为AB中点，且OMOPOF+=.（1）当3=时，求点M的坐标；（2）当12OAOB=时，求直线l的方程.20．（本小题满分12分）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期.一研究团队统计了某地区名患者的相关信息，得到如下表格：潜伏期（单位:天）]2,0[]4,2(]6,4(]8,6(]10,8(]12,10(]14,12(人数85205310250130155（1）求这名患者的潜伏期的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述名患者中抽取人，得到如下列联表.请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有的把握认为潜伏期与患者年龄有关；潜伏期6天潜伏期6天总计岁以上（含岁）100岁以下总计（3）以这名患者的潜伏期超过天的频率，代替该地区名患者潜伏期超过天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过天相互独立.为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过天的人数最有可能．．．．（即概率最大．．．．．）是多少？附：0.050.0250.0103.8415.0246.635))()()(()(22dbcadcbabcadnK++++−=，其中dcban+++=.10001000x100020095%50505055200100061666)(02kKP0k21．（本小题满分12分）已知函数()eln(1)xfxax=−−.（其中常数e=2.71828，是自然对数的底数）（1）若aR，求函数()fx的极值点个数；（2）若函数()fx在区间(1,1+e)a−上不单调，证明：111aaa++.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1C的参数方程为=+−=,sin,cos32tytx（t为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为sin4=．（1）求2C的直角坐标方程；（2）直线1C与2C相交于FE,两个不同的点，点P的极坐标为(23,π)，若PFPEEF+=2，求直线1C的普通方程．23．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知,,abc为正数，且满足1.abc++=证明：（1）1119abc++；（2）8.27acbcababc++−深圳市2020年普通高中高三年级线上统一测试理科数学试题答案及评分参考一、选择题1.B2.B3.C4.A5.C6.D7.B8.A9.D10.B11.D12.C12.解析：当πππ462−时，即83时，max()13fx==，解得3=；当πππ462−时，即803时，maxππ()sin()463fx=−=，令ππ()sin()46g=−，()3h=，如图，易知()yg=，()yh=的图象有两个交点11(,)Ay，22(,)By，所以方程ππsin()463−=有两个实根12，，又888()1()393gh==，所以易知有1283，所以此时存在一个实数1=满足题设，综上所述，存在两个正实数满足题设，故应选C.二、填空题：13.3−14.6315.41516.4316.解析：由对称性不妨设mn，易知线段MN所在直线的方程为12yx=−，又21122xxx+−，点P必定不在曲线C上，不妨设1(,)2Ptt−，()mtn，且过点P的直线l与曲线C相切于点20001(,)2Qxxx+，易知0|xxPQyk==，即2000011()()221xxtxxt+−−+=−，整理得200210xtx−−=，（法一）显然00x，所以0012txx=−，令1()fxxx=−，[1,0)(0,3]x−U，绝密★启封并使用完毕前试题类型：A如图，直线2yt=和函数()yfx=的图象有两个交点，又(1)0f−=，且8(3)3f=，8023t，即403t，403mn，||mn−的最大值为43，故应填43．（法二）由题意可知013x−，令2()21fxxtx=−−，函数()fx在区间[1,3]−上有两个零点，则2(1)20(3)86013440ftfttt−==−−=+V，解得403t，403mn，||mn−的最大值为43，故应填43．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，222+2abcS−=.（1）求cosC；（2）若cossinaBbAc+=，5a=，求b.解：（1）2221=sin22SabCabcS+−=，，222sinabcabC+−=，…………………………………………………………………2分在△ABC中，由余弦定理得222sinsincos222abcabCCCabab+−===，sin=2cosCC，…………………………………………………………………………4分又22sin+cosC=1C，255cosC=1cosC=5，，由于(0,π)C，则sin0C，那么cosC0，所以5cosC=5.………………………6分（2）（法一）在△ABC中，由正弦定理得sincossinsinsinABBAC+=，……………7分sinsin[π()]sin()sincoscossinCABABABAB=−+=+=+，………………………8分sincossinsinsincoscossinABBAABAB+=+，即sinsincossinBAAB=，又,(0,π)AB，sin0B，sin=cosAA，得4A=.……………………………9分sinsin[π()]sin()BACAC=−+=+，……………………………………………10分25225310sinsincoscossin252510BACAC=+=+=，………………11分在△ABC中，由正弦定理得3105sin103sin22aBbA===.……………………………12分（法二）cossinaBbAc+=，又coscosaBbAc+=，cossincoscosaBbAaBbA+=+，…………………………………………………8分即sincosAA=，又(0,π)A，π4A=.……………………………………………9分在△ABC中，由正弦定理得255sin522sin22aCcA===.………………………10分coscosbCAaC=+，25225325c=+=.………………………………………………………12分（法三）求A同法一或法二在△ABC中，由正弦定理得255sin522sin22aCcA===，………………………10分又由余弦定理2222coscababC=+−，得2230bb−−=，解得1b=−或3b=.所以3b=.……………………………………………………………………………12分（余弦定理2222cosabcbA=+−，得2430bb−+=，解得1b=或3b=.因为当1b=时，222+-20abc−=，不满足cosC0(不满足222+22abcS−=−)，故舍去，所以3b=）【命题意