综合法和分析法

课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习2.2直接证明与间接证明2．2.1综合法和分析法课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【课标要求】1．了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法．2．理解分析法和综合法的思考过程、特点，会用分析法和综合法证明数学问题．【核心扫描】1．综合法、分析法解决数学问题的思路及步骤．(重点)2．综合运用综合法、分析法解决较复杂的数学问题．(难点)课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习自学导引1．直接证明从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等，通过推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明．常用的直接证明方法有综合法和分析法．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习2．综合法(1)定义：一般地，利用和某些数学、、等，经过一系列的，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．(2)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：已知条件定义定理公理推理论证课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习3．分析法(1)定义：一般地，从要证明的，逐步寻求使它成立的，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(、、、等)为止，这种证明方法叫做分析法．(2)框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：结论出发充分条件已知条件定理定义公理课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习想一想：综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示综合法的推理过程是演绎推理，因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习名师点睛1．综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论)课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习2．分析法是指从需证的问题出发，分析出使这个问题成立的充分条件，使问题转化为判定那些条件是否具备，其特点可以描述为“执果索因”，即从未知看需知，逐步靠拢已知．分析法的书写形式一般为“因为……，为了证明……，只需证明……，即……，因此，只需证明……，因为……成立，所以……，结论成立”．分析法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇐…⇐Pn－2⇐Pn－1⇐Pn(结论)分析法属逻辑方法范畴，它的严谨体现在分析过程步步可逆．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习3．综合法与分析法的优点综合法的优点：叙述简洁、直观，条理清楚；而且可使我们从已知的知识中进一步获得新的知识．分析法的优点：更符合人们的思维规律，利于思考，思路自然，在探求问题的证明时，它可帮助我们构思．应该指出的是不能把分析法和综合法绝对分开，正如恩格斯所说“没有分析就没有综合”一样，分析与综合是相比较而存在的，它们既是对立的，又是统一的．严格地讲，分析是为了综合，综合又需根据分析，因而有时在一个命题的论证中，往往同时应用两种方法，有时甚至交错使用．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习题型一综合法的应用【例1】设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)，其中m为常数，且m≠－3.(1)求证：{an}是等比数列；(2)若数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝a1，bn＝32f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：1bn为等差数列．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习[思路探索]通过变形利用等差、等比数列的定义证明即可，在证明过程中，恰当处理递推关系是本题证明的关键．证明(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.两式相减得(3＋m)an＋1＝2man，(m≠－3)，∴an＋1an＝2mm＋3，∴{an}是等比数列．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习(2)b1＝a1＝1，q＝f(m)＝2mm＋3，∴n∈N*，n≥2时，bn＝32f(bn－1)＝32·2bn－1bn－1＋3⇒bnbn－1＋3bn＝3bn－1⇒1bn－1bn－1＝13.∴数列1bn为首项为1，公差为13的等差数列．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习利用综合法证明问题的步骤：(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【变式1】已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：1a＋1b≥4.证明法一∵a，b是正数且a＋b＝1，∴a＋b≥2ab，∴ab≤12，∴1a＋1b＝a＋bab＝1ab≥4.法二∵a，b是正数，∴a＋b≥2ab0，1a＋1b≥21ab0，∴(a＋b)1a＋1b≥4.又a＋b＝1，∴1a＋1b≥4.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习法三1a＋1b＝a＋ba＋a＋bb＝1＋ba＋ab＋1≥2＋2ba·ab＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习题型二分析法的应用【例2】设a，b为实数，求证：a2＋b2≥22(a＋b)．[思路探索]题目条件要求使用分析法证明不等式，只需要注意分析法证明问题的格式即可．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习证明当a＋b≤0时，∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2≥22(a＋b)成立．当a＋b0时，用分析法证明如下：要证a2＋b2≥22(a＋b)，只需证(a2＋b2)2≥22a＋b2，即证a2＋b2≥12(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，∴a2＋b2≥22(a＋b)成立．综上所述，不等式得证．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习用分析法证明不等式时应注意(1)分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论；(2)分析法证明不等式的思维是从要证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，最后得到的充分条件是已知(或已证)的不等式；(3)用分析法证明数学命题时，一定要恰当地用好“要证明”、“只需证明”、“即证明”等词语．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【变式2】已知a，b是正实数，求证：ab＋ba≥a＋b.证明要证ab＋ba≥a＋b，只要证aa＋bb≥ab·(a＋b)．即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)，因为a，b是正实数，即证a＋b－ab≥ab，也就是要证a＋b≥2ab，即(a－b)2≥0.该式显然成立，所以ab＋ba≥a＋b.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习题型三综合法和分析法的综合应用【例3】已知a、b、c是不全相等的正数，且0x1.求证：logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习[规范解答]要证明：logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc，只需要证明logxa＋b2·b＋c2·a＋c2logx(abc)．(2分)由已知0x1，只需证明a＋b2·b＋c2·a＋c2abc.(4分)由公式a＋b2≥ab0，b＋c2≥bc0，a＋c2≥ac0.(8分)又∵a，b，c是不全相等的正数，课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习∴a＋b2·b＋c2·a＋c2a2b2c2＝abc.(10分)即a＋b2·b＋c2·a＋c2abc成立．∴logxa＋b2＋logxb＋c2＋logxa＋c2logxa＋logxb＋logxc成立．(12分)课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【题后反思】综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习【变式3】已知α，β≠kπ＋π2(k∈Z)，且sinθ＋cosθ＝2sinα，①sinθ·cosθ＝sin2β，②求证：1－tan2α1＋tan2α＝1－tan2β21＋tan2β.课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习证明因为(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1，所以将①②代入，可得4sin2α－2sin2β＝1③另一方面，要证1－tan2α1＋tan2α＝1－tan2β21＋tan2β，即证1－sin2αcos2α1＋sin2αcos2α＝1－sin2βcos2β21＋sin2βcos2β，课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习即证cos2α－sin2α＝12(cos2β－sin2β)，即证1－2sin2α＝12(1－2sin2β)，即证4sin2α－2sin2β＝1.由于上式与③相同，于是问题得证．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习误区警示因逻辑混乱而出错【示例】设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.[错解]∵a∥b，且a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)；∴(4cosα)·(4cosβ)＝sinαsinβ，即sinαsinβ＝16cosαcosβ，∴sinαcosα·sinβcosβ＝16，∴tanαtanβ＝16，即结论正确．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习以上证明混淆了已知和结论，把头脑中的分析过程当成了证明过程，如果按分析法书写就正确了；当然，本题用综合法书写证明过程更简洁．[正解](分析法)：要证明a∥b，而a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)；∴即要证明(4cosα)·(4cosβ)＝sinαsinβ，即要证sinαsinβ＝16cosαcosβ，即要证sinαcosα·sinβcosβ＝16，即要证tanαtanβ＝16，而tanαtanβ＝16已知，所以结论正确．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习(综合法)：∵tanαtanβ＝16，∴sinαcosα·sinβcosβ＝16，即sinαsinβ＝16cosαcosβ，∴(4cosα)·(4cosβ)＝sinαsinβ，即a＝(4cosα，sinα)与b＝(sinβ，4cosβ)共线，∴a∥b.分析法的优点是方向明确，思路自然，故利于思考，但表述易错；综合法的优点是易于表达，条理清晰，形式简捷，故我们一般用分析法寻求解题思路，用综合法书写解题过程．课堂讲练互动活页规范训练课前探究学习单击此处进入活页规范训练