高数(上)第章-微分中值定理与导数的应用

1第三章微分中值定理与导数的应用2微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理，费马定理是它的预备定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。1.预备定理——费马(Fermat)定理.0)()(),()(000xfxxfxbaxf可导，则在点且取得最值，内一点在若函数费马（Fermat，1601-1665），法国人，与笛卡尔共同创立解析几何。因提出费马大、小定理而著名于世。第一节微分中值定理34xyo)(xfy12几何解释:.0位于水平位置的那一点续滑动时，就必然经过，当切线沿曲线连率为显然有水平切线，其斜曲线在最高点和最低点5证明:达到最大值证明。在只就0)(xxf),()(,),()(0000xfxxfbaxxxxf就有内在达到最大值，所以只要在由于,0)()(00xfxxf即;0,0)()(00时当从而xxxfxxf;0,0)()(00时当xxxfxxf0)()(lim0)(000x0xxfxxfxf这样.0)()(lim0)(000x0xxfxxfxf.0)(0xf所以可导，在点而0)(xxf6几何解释:2.罗尔(Rolle)定理xOyCabyf(x)AB如果连续光滑的曲线yf(x)在端点A、B处的纵坐标相等。那么，在曲线弧上至少有一点C(,f())，曲线在C点的切线平行于x轴。如果函数yf(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)f(a)f(b)，则至少存在一点(a,b)，使得f()0。7证.)1(mM若,],[)(连续在baxf.mM和最小值必有最大值.)(Mxf则.0)(xf由此得),,(ba.0)(f都有.)2(mM若),()(bfaf.取得最值不可能同时在端点),(afM设.)(),(Mfba使，则由费马引理,.0)(f8注意：如果定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立。f(x)不满足条件(1)BxOyAabf(x)不满足条件(3)xOyABabf(x)不满足条件(2)xOyABabc9在],0[上连续,),0(内可导,且0)()0(ff,例1验证，xxfsin)(，xxfcos)(，0)2(f.),0(210例2不求导数，判断函数f(x)(x1)(x2)(x3)的导数有几个零点，以及其所在范围。解f(1)f(2)f(3)0，f(x)在[1,2]，[2,3]上满足罗尔定理的三个条件。在(1,2)内至少存在一点1，使f(1)0，1是f(x)的一个零点。在(2,3)内至少存在一点2，使f(2)0，2也是f(x)的一个零点。f(x)是二次多项式，只能有两个零点，分别在区间(1,2)及(2,3)内。可导函数的两个零点之间必有其导数的零点。11如果函数f(x)满足：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，则至少存在一点(a,b)内，使得几何意义：C2hxOyABaby=f(x)C1得到将罗尔定理条件中去掉),()(bfaf3.拉格朗日(Lagrange)中值定理.,ABCAB行于弦该点处的切线平在至少有一点上在曲线弧.)()()(abafbff12证明容易验证,)(xF满足罗尔定理的条件,于是ba,,使即abafbff)()()(.作辅助函数，)()()()()(axabafbfxfxF，0)()()()(abafbffF13例3，xxf1)(，1e11e)1()e(ff，e),1(1e.1e)1()e()(fff使xxfln)(,在e],1[上满足拉格朗日定理的条件,14).10()()()(000xxxfxfxxf).10()(0xxxfy拉格朗日中值公式又称有限增量公式.，))(()()(abfafbf之间和介于ba或))](([)()(ababafafbf,10,特别地,或.的精确表达式增量y拉格朗日中值公式另外的表达方式：15如果在),(ba内恒有0)(xf,则)(xf在),(ba内为一常数.推论1),(,),(2121xxxxba内任取两点在)())(()()(211212xxxxfxfxf则，0)()(,0)(12xfxff.)()(12xfxf即由21,xx的任意性可知,)(xf常数,),(bax.证明在],[21xx上对)(xf使用拉格朗日定理,16如果)(xf和)(xg在),(ba内可导,且在),(ba内恒有)()(xgxf,则在),(ba内)(xf和)(xg最多相差一个常数.由推论1即得结论.作辅助函数)()()(xgxfxF,则0)()()(xgxfxF,推论2证明17而2)0(f,故2)(xf,1,1x.证明恒等式2arccosarcsinxx,1,1x设xxxfarccosarcsin)(,1,1x01111)(22xxxf,1,1xCxf)(,1,1x且2)1()1(ff,类似可得：2cotarcarctanxx,Rx.例4证由推论1知,18证明：aababb1lnln1,ba0令xxfln)(,在),(ba上利用拉格朗日定理,例5利用拉格朗日定理可证明不等式.证，ababflnln1)(,ba,111ab.1lnln1aababb即得19例6.)1ln(1,0xxxxx时证明当证,],0[)(条件上满足拉格朗日定理的在xtf)0(),0)(()0()(xxffxf,11)(,0)0(xxff由上式得,1)1ln(xxx0又x111,11111x,11xxxx.)1ln(1xxxx即得),1ln()(ttf设20不妨设yx,令ttfsin)(,在],[yx上利用拉格朗日定理：而1cos,故yxyxsinsin.特别,令0y，得xxsin.),(yx,使)(cossinsinyxyx,例7证类似可证：，yxyxarctanarctanRyx,，yxyxsinsinRyx,特别，，xxsinRx214.柯西(Cauchy)中值定理设函数f(x)及g(x)满足条件：(1)在闭区间[a,b]上连续，(2)在开区间(a,b)内可导，(3)在(a,b)内任何一点处g(x)均不为零，则至少存在一点(a，b)内，使得)()()()()()(gfagbgafbf如果取g(x)x，那么柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理.说明：22xOyABf(b)f(a)g(a)g(b)C1g(C2g(h柯西中值定理的几何意义：由参数方程确定的函数的导数为直线AB的斜率为曲线在点C1和C2的斜率为.)()(ddddddtgtftxtyxy,)()()()(agbgafbfk.)()(kgf设曲线AB是由参数方程)()(tfytgx)(bta所确定的.23证明易知F(x)在[a,b]上满足罗尔定理的全部条件，因此，至少存在一点(a,b)，使首先可以断定)()(bgag,否则,若)()(bgag,由罗尔定理,ba,,使0)(g,矛盾.作辅助函数，)()()()()()()()()(agxgagbgafbfafxfxF所以)()()()()()(gfagbgafbf.，0)()()()()()()(gagbgafbffF而0)(g,24练习：P132习题3-12.6.改为:2cotarcarctanxx,Rx.7.9.11.(2)改为:xx1e(0x).25证明xx1e(0x).设ttfe)(,则ttfe)(,当0x时,在],0[x上对)(tf应用拉格朗日定理:x,0,使xxfxfx)0(e1e)0()(,得证.当0x时,在]0,[x上对)(tf应用拉格朗日定理:0,x,使xxxffx)0(ee1)()0(,得证.证26第二节洛必达法则在函数商的极限中，如果分子分母同是无穷小量或同是无穷大量，那么极限可能存在，也可能不存在，这种极限称为未定式，记为洛必达法则是求函数极限的一种重要方法.(1)0)(lim)(limxgxfaxax；(2)0)(xg；则Axgxfax)()(lim(或).(证略)(3)Axgxfax)()(lim(或),，00.00定理(洛必达法则)设函数)(xf和)(xg在点ax的某去心邻域内有定义且可导,且满足下列条件：27)()(lim)()(limxgxfxgxfaxax1.ax可改为x；2.)(lim)(limxgxfaxax时洛必达法则仍成立；3.若不是“00”或“”未定式,不能使用洛必达法则；4.洛必达法则可多次使用；5.当)()(limxgxf不存在时,且不是,不能说)()(limxgxf不存在,只能说此时使用洛必达法则失败,需另想它法.说明：28例1xxx1)1(lim01)1(lim10xx.例2123lim2331xxxxxx12333lim221xxxx266lim1xxx.23)00()00(用洛必达法则求极限例题。)00(29例3xxx1sinarctan2lim22111limxxx221limxxx.1)00(xxx1arctan2lim等价无穷小替换30例4)(注:0lnlimxxx,0.xxxlnlimxxx211limxx2lim.0注:xxxelim,0.例55elimxxx)(45elimxxx!5elimxx.31例6xxx3tantanlim2xxx3sec3seclim222xxx222cos3coslim31xxxxxsincos23sin3cos6lim312xxxxxxsin3sinlimcos3coslim22.3)(或解：xxx3tantanlim2xxxxxxcos3coslim3sinsinlim22xxxsin3sin3lim2.3及时分离非零因子xxxsin3sin3lim232例7xxxx10)1(elim，xxy1)1(，xxy)1ln(ln.)1ln(12xxxxyy)1()1ln()1()1(lim210xxxxxxxx2010)1ln()1(lim1)1(limxxxxxxxxxxxx2)1ln(lime0.2e)00(33例8解.coslimxxxx求1sin1limxx原式).sin1(limxx极限不存在洛必达法则失效。)cos11(limxxx原式.1.)1ln(1coslim20xxxx求例9不能使用洛必达法则。xxxxxx1coslim)1ln(lim00原式.001解34型未定式解法00,1,0,,0例10)0(关键:将其它类型未定式化为