5矩阵的三角分解法

回顾：定义由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.E性质设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵.AAAAmnmnAijrkrAB若则(())EijkABjickcAB则(())AEijkBijrrAB若则(,)EijABjiccAB则(,)AEijBikrAB若则(())EikABikcAB则(())AEikB3.2矩阵的三角分解法3.2.1高斯消去法的矩阵描述则有(1)(2)1(1)(2)1MAAMbb记为，Axb(1)(1)Axb2111111mM311111m11111nm(1)A(1)b(2)b(2)A1133112211()()()nnrmrrmrrmr2131111111nmmMm则有()(1)()(1)kkkkkkMAAMbb第次消元：k()(),kkAb化为(1)(1),kkAb1,111kkknkMmm1,2,,1kn(1)()121(1)()121nnnnMMMAAMMMbb故又(1)()121nnMMMAA111(1)111()121121121nnnnMMMMMMAMMMA(1)111()121nnAMMMA由于10kM1,2,,1kn故均可逆。kM121131111111nmmMm213111111nmmm111,111kkknkMmm1,111kknkmm111121nMMM213111111nmmm3221111nmm,11111nnm213132431231111nnnmmmmmmmL下三角矩阵(1)111()121nnAMMMA()nLA记为，()nAU则ALU上三角矩阵三角形矩阵和相乘，即ALUUL因此高斯消去法的实质是将系数矩阵分解为两个A3.2.2矩阵的直接三角分解定义3-2：分解。LU将矩阵分解成一个下三角矩阵和一个上AL三角矩阵的乘积，称为对矩阵的三角分解，又称AU注：依赖于消元过程。（1）矩阵的元素可以从的元素直接得到，不,LUA（2）分解不唯一。,LU杜里特尔分解或为单位上三角矩阵时，分解是唯一的。U当要求为单位下三角矩阵L（3）ALU的乘积，称为杜里特尔分解；将分解为一个单位下三角阵和一个上三角阵A的乘积，称为克洛特分解；将分解为一个下三角阵和一个单位上三角阵A单位上三角矩阵单位下三角矩阵克洛特分解杜里特尔分解的唯一性（充分条件）：ALU设有两种分解，LUA定理3-5：成一个单位下三角阵和一个非奇异的上三角阵的矩阵各阶主子式不为零，则可惟一地分解AL乘积。U因为欲证证明：（反证法）,LLUU其中为单位下三角阵，,LL为上三角阵。,UU0AALU0LU故均可逆。,,,LLUU0,0,0,0,LULULULULU1L1L1U1U证。即1LL1UU分析知,,LLUU均为单位下三角阵，,LL故也为单位下三角阵，11,LL故惟一性得因此则仍为单位下三角阵。1LL同理为上三角阵。1UU1LL1,UUI注：例定理中所述条件对克洛特分解也同样适用。（1）0110A（2）0,1,bab则应存在使,,,abcd0A定理中的条件是矩阵的各阶主子式不为零，A而不能改为的行列式不为零。A设存在杜里特尔分解，A01101010bdAac故应有因此不存在杜里特尔分解。A即矩阵非奇异不能保证其存在杜利特尔分解。杜里特尔分解的步骤：设为，ALU111211112121222212221212111nnnnnnnnnnnnaaauuuaaaluuaaallu利用矩阵乘法分析第一行和第一列的元素可知A11,iiau1111,iialu1,2,,in2,3,,in故可得到的第一行元素和的第一列元素：UL11,iiua1111,iialu1,2,,in2,3,,in111211112121222212221212111nnnnnnnnnnnnaaauuuaaaluuaaallu利用矩阵乘法分析第二行和第二列的其余元素，A22112,iiialuu2112222,iiialulu2,3,,in3,4,,in22211,iiiualu2211222(),iiilaluu假设已经得到的前行元素和的前列元素，UL1r1r22211,iiiualu2211222(),iiilaluu2,3,,in3,4,,in利用矩阵乘法分析第行和第列的其余元素，Arr1111,111,1,1,11,1,11,1,1rrnrrrrrrnrrrrrrnnnrnrnnaaaaaaaaaaaaaaaa1,1,1,11,1,1111rrrrnnrnrllllll111,1111,11,1,,rrnrrrrrnrrrnnnuuuuuuuuuu分析riira12,1(,,,,1,0,,0)rrrrlll,1,,irrn11rrkkirikluu的列Ui的行Lr1200iiriiiuuuu1122,11,ririrrririlululuu分析irira12,1(,,,,,,1,0,,0)iiirirllll1,2,,irrn11rikkrirrrklulu的列Ur的行Li121,00rrrrrruuuu1122,11,iririrrrirrrlulululu综上可得：,1,,irrn11rrkkirikluu1,2,,irrn11rikkrirrrkluluirirariira11rririrkkikualu,1,,irrn11()riririkkrrrklaluu1,2,,irrn依据上式可得到第行元素和的第列元素，ULrr杜里特尔分解的手算步骤：12()a31()a21()a11()a1()na()nna3()na2()na32()a22()a1nu12u11u21l32l31lnnu3nu2nu22u(2)(2)(4)(2)(3)(5)(7)(4)(7)322221613223477245A先行后列，先后。LU(2)(2)(4)(2)(3)(5)(7)(4)(7)322221613121121L223316U23636UA3.2.3用矩阵三角分解法解线性方程组UxyLUxbALUAxb即先求解令则方程组的求解可归AxbUxyLybLybUxy1111iiiikkkybybly再求解11()nnnniiiikkiikxyuxyuxu11212212111nnnnyblybllyb111211122222nnnnnnuuuxyuuxyuxy结为求解两个三角形方程组例3-8：用杜里特尔分解法求解方程组。112233223477245xbxbxb由方程组对系数矩阵进行杜里特尔分解，解：121121L223316ULybUxy123132111217yyy13y21235y37(1)32(5)6y再由方程组123223331566xxx31x2(511)32x13132(2)22x注：（1）方程组与方程组为同解的方程组。AxbUxy（2）方法可将化为。yb对系数矩阵进行分解的同时，利用相同的LU(2)(2)(4)(2)(3)(5)(7)(4)(7)322221613(3)(7)(1)356（3）利用杜里特尔分解可解线性方程组系。123AxbAxbAxb系数矩阵相同，常数项不同（4）杜里特尔分解可用来求解矩阵的逆矩阵。1nnnAAE则令求解该方程组系即可求得的逆矩阵。AnjjAae112(,,,)nnAaaa12(,,,)nnEeee1,2,,jn克洛特分解111211112121222212221212111nnnnnnnnnnnnaaaluuaaalluaaalll为单位上三角矩阵U类似杜里特尔分解的分析过程有11,iila1111,iiaul1,2,,in2,3,,in先列后行，先后。LU分析知其运算规则为：2221122(),iiiualul22112,iiilalu2,3,,in3,4,,in(2)(2)(4)(2)(3)(5)(7)(4)(7)32124624133243264L11321131U223477245A3.2.4追赶法用于求解三对角方程组的方程组，称为三对角方程组；形如11112222233311111nnnnnnnnnxfbcxfabcabcabcxfabxf其系数矩阵称为三对角矩阵。1()c4()b2()a1()b2()c3()c4()a3()b3()a2()b2a222ucl11lb111ucb2221lbau3a4()c3332lbau4a333ucl对其进行克洛特分解：122nnlalal11111nuu1()c4()b2()a1()b2()c3()c4()a3()b3()a2()b2a222ucl11lb111ucl2221lbau3a4()c3332lbau4a333ucl对其进行克洛特分解：分析上式可知计算顺序为：1,2,,1iniiiucl111iiiilbau11lb11lu2l2u3l3unl即(1)(2)(1)(2)(3)(2)(2)(