高考数学复习全套课件(理) 第三章 第八节 正弦定理、余弦定理应用举例

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.仰角和俯角与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示).2.方位角一般指北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向.3.坡角坡面与水平面的夹角(如图所示).4.坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝＝tanα(i为坡比，α为坡角).1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、β的关系为()A.α＞βB.α＝βC.α＋β＝90°D.α＋β＝180°解析：根据仰角和俯角的定义可知α＝β.答案：B2.若P在Q的北偏东44°，则Q在P的()A.东偏北46°B.东偏北44°C.南偏西44°D.西偏南44°解析：由方位角的定义可知，Q应在P的南偏西44°.答案：C3.已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°解析：如图所示，由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.答案：B4.如图，在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则S△ABC＝.解析：在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos120°，即49＝25＋AC2＋5AC，解之得AC＝3.∴S△ABC＝AB·ACsinA＝×5×3×＝答案：5.在200m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°、60°，则塔高为m.解析：如图所示，设塔高为hm.由题意及图可知：(200－h)·tan60°＝解得：h＝m.答案：解决该类问题的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解.[特别警示](1)要计算距离就必须把这个距离归结到一个三角形中，通过正弦定理或余弦定理进行计算，但无论是正弦定理还是余弦定理都得至少知道三角形的一个边长，即在解决问题时，必须把我们已经知道长度的那个边长和需要计算的那个边长纳入到同一个三角形中，或是通过间接的途径纳入到同一个三角形中，这是我们分析这类问题的一个基本出发点.(2)测量不可直接到达的两点之间的距离，只要在这两个点所在的平面上选取两个可以测量距离的点，测量出这两点之间的距离，及这两个点对所测量的两个点的张角，就可以使用正弦定理、余弦定理解决问题.(2009·辽宁高考)如图所示，A、B、C、D都在同一个与水平面垂直的平面内，B、D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC＝0.1km.试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B、D的距离(计算结果精确到0.01km，≈1.414，≈2.449).[思路点拨][课堂笔记]在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.又∠BCD＝180－60°－60°＝60°，故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD＝BA.在△ABC中，即AB＝因此，BD＝≈0.33km.故B、D的距离约为0.33km.正、余弦定理在测高问题中的应用背景可测元素图形目标及解法底部可到达a、α求AB，AB＝atanα底部不可到达a、α、β求AB，①在△ACD中用正弦定理求AD；②AB＝AD·sinβ[特别警示]解决该类问题时，一定要准确理解仰角和俯角的概念.某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高.[思路点拨]依题意画图，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40米，此时∠DBF＝45°，从C到D沿途测塔的仰角，只有B到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan∠AEB＝，AB为定值，BE最小时，仰角最大.要求出塔高AB，必须先求BE，而要求BE，需先求BD(或BC).[课堂笔记]在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得∴BD＝＝20.过B作BE⊥CD于E显然当人在E处时，测得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°，在Rt△BED中，∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.∴BE＝DBsin15°＝20×＝10(－1).在Rt△ABE中，∠AEB＝30°，∴AB＝BEtan30°＝(3－)(米).故所求的塔高为(3－)米.1.测量角度，首先应明确方位角、方向角的含义.2.根据题意正确画出示意图，确定所求的角在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需求哪些量，然后采用正弦定理或余弦定理解决.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量，已知AB＝50m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝80m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝110m，求∠DEF的余弦值.[思路点拨][课堂笔记]作DM∥AC交BE于N，交CF于M.DF＝DE＝EF＝在△DEF中，由余弦定理，cos∠DEF＝＝＝高考对正弦定理和余弦定理在实际中的应用的考查，其常规考法为：依据实际问题背景，直接给出测量数据，通过考生作图分析，然后选用恰当的公式直接计算.而09年宁夏、海南高考打破常规，并没有直接给出测量数据让考生直接计算，而是要求考生亲临实际问题的环境里进行具体操作，找到解决问题的方案，并设计出计算步骤，可以说是一道真正意义上的应用题，是一个新的考查方向.[考题印证](2009·宁夏、海南高考)(12分)为了测量两山顶M、N间的距离，飞机沿水平方向在A、B两点进行测量.A、B、M、N在同一个铅垂平面内(如示意图).飞机能够测量的数据有俯角和A、B间的距离.设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M、N间的距离的步骤.【解】方案一：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N的俯角α2、β2；A、B间的距离d(如图所示).┄┄┄┄┄┄┄┄(1分)②第一步：计算AM.由正弦定理AM＝┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(6分)第二步：计算AN.由正弦定理AN＝；(8分)第三步：计算MN.由余弦定理MN＝┄(12分)方案二：①需要测量的数据有：A点到M、N点的俯角α1、β1；B点到M、N点的俯角α2、β2；A、B的距离d(如图所示).┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(2分)②第一步：计算BM.由正弦定理BM＝；(4分)第二步：计算BN.由正弦定理BN＝；(8分)第三步，计算MN.由余弦定理MN＝┄┄┄(12分)[自主体验]2009年11月13日，中国第四批护航编队“马鞍山”舰、“温州”舰顺利抵达亚丁湾海域执行护航任务，在一次护航过程位于C处的“马鞍山”舰接到位于其东偏南15°方向，相距2海里的A处某商船求救信号，称在其东偏北45°方向，相距(－1)海里的B处，一艘同行商船被海盗劫持，并向北偏东30°方向，以10海里每小时速度逃窜，“马鞍山”舰最快速度为10海里/小时，请你设计一套“马鞍山”舰追击海盗船只的方案，使“马鞍山”舰能最快截获海盗船，包括：①“马鞍山”舰航行的速度及方向；②追上海盗船所用时间.解：如图，设“马鞍山”舰以10海里/小时速度追击，t小时后在D处截获海盗船.则CD＝10t海里，BD＝10t海里，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA＝(－1)＋22－2(－1)·2·cos120°＝6，∴BC＝海里.又∵∴sin∠ABC＝∴∠ABC＝45°，∴B点在C点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°.在△BCD中，由正弦定理，得∴sin∠BCD＝∴∠BCD＝30°，∴“鞍山舰”沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD中，∠CBD＝120°，∠BCD＝30°，∴∠D＝30°，∴BD＝BC，即10t＝.∴t＝小时≈15分钟.综上所述，“马鞍山”航沿北偏东60°方向，以10海里/小时的速度航行，15分钟后能截获海盗船.1.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这只船的速度是每小时()A.5海里B.5海里C.10海里D.10海里解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是＝10(海里/小时).答案：C2.某人向正东方向走xkm后，向右转150°，然后朝新方向走3km，结果他离出发点恰好是km，那么x的值为()A.B.2C.或2D.解析：如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由正弦定理，得∠CAB＝60°或120°，当∠CAB＝60°时，∠ACB＝90°，AB＝2；当∠CAB＝120°时，∠ACB＝30°，AB＝.答案：C3.如图所示，为了测量某障碍物两侧A、B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A、B间距离的是()A.α，a，bB.α，β，aC.a，b，γD.α，β，b.解析：选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似.答案：A4.甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是.解析：如图，依题意有甲楼的高度AB＝20·tan60°＝20米，又CM＝DB＝20米，∠CAM＝60°，所以AM＝CM·＝米，故乙楼的高度为CD＝20－＝米.答案：20米，米5.在△ABC中，若a＝3，cosC＝，S△ABC＝4，则b＝.解析：∵cosC＝，∴sinC＝，又S△ABC＝4，即absinC＝4，∴b＝2.答案：26.如图，港口B在港口O正东120海里处，小岛C在港口O北偏东60°方向，港口B北偏西30°方向上.一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东30°的OA方向以20海里/小时的速度驶离港口O，一艘快艇从港口B出发，以60海里/小时的速度驶向小岛C，在C岛装运补给物资后给考察船送去.现两船同时出发，补给物资的装船时间为1小时，问快艇驶离港口B后，最少要经过多少小时才能和考察船相遇？解：设快艇驶离港口B后，最少要经过x小时，在OA上的点D处与考察船相遇.如图，连结CD.则快艇沿线段BC，CD航行.在△OBC中，∠BOC＝30°，∠CBO＝60°，∴∠BCO＝90°.又BO＝120，∴BC＝60，OC＝60.故快艇从港口B到小岛C需要1小时.在△OCD中，∠COD＝30°，OD＝20x，CD＝60(x－2).由余弦定理知，CD2＝OD2＋OC2－2OD·OCcos∠COD，∴602(x－2)2＝(20x)2＋(60)2－2×20x·60cos30°，解得x＝3或x＝.∵x＞1，∴x＝3.答：快艇驶离港口B后，最少要经过3小时才能和考察船相遇.