高考数学复习全套课件(理) 第二章 第十一节 变化率与导数、导数的计算

1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.(文)能根据导数定义，求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝的导数.(理)能根据导数定义，求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数.4.(文)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.(理)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.1．导数的定义设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为当x1趋于x0时，即Δx趋于0，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数y＝f(x)在x0点的瞬时变化率，也称为函数y＝f(x)在x0点的导数，通常用符号f′(x0)表示，记作f′(x0)＝.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x0处的导数，是曲线y＝f(x)在点处的切线的．(x0，f(x0))斜率[思考探究]若函数y＝f(x)可导，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程是什么？提示：方程的斜率为k＝f(x0)；方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)3.导数公式（其中三角函数的自变量单位是弧度）函数导函数y＝c(c是常数)y′＝y＝xα(α为实数)y′＝y＝sinxy′＝y＝cosxy′＝y＝ax(a0，a≠1)y′＝y＝exy′＝y＝logaxy′＝y＝lnxy′＝y＝tanxy′＝y＝cotxy′＝0αxα－1cosx－sinxaxlnaex4．导数运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；(3)＝(g(x)≠0)．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)5．(理)复合函数的导数函数y＝f(ax＋b)是函数y＝f(u)与u＝φ(x)＝ax＋b的复合函数，它的导数为：f(u)′＝f′(u)φ′(x)＝．af′(ax＋b)1.若f(x)＝2x2图象上一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则等于()A.3＋2ΔxB.4＋ΔxC.4＋2ΔxD.3＋Δx解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝4Δx＋2(Δx)2，∴＝4＋2Δx.答案：C2.函数y＝xcosx－sinx的导数为()A.xsinxB.－xsinxC.xcosxD.－xcosx解析：y′＝(xcosx－sinx)′＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.答案：B3.曲线y＝x3－2x＋4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A.30°B.45°C.60°D.120°解析：设倾斜角为α.∵y′＝3x2－2，∴g′(1)＝3×12－2＝1，∴α＝45°.答案：B4.设f(x)＝＋，则f′(x)＝.解析：f′(x)＝(＋)′＝()′＋()′＝()′＝＝答案：5.已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为.解析：由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′(x0)＝－1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1，0).答案：(1,0)根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法：1.求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；2.求平均变化率＝；3.得导数f′(x0)＝.上述过程可简化为：一差、二比、三极限.利用导数的定义求函数y＝的导数.[思路点拨][课堂笔记]∵Δy＝＝，∴，∴，即y′＝.若将“y＝”改为“y＝”呢？解：Δy＝，1.运用可导函数求导法则和导数公式，求函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的导数的基本步骤：(1)分析函数y＝f(x)的结构和特征；(2)选择恰当的求导法则和导数公式求导；(3)整理得结果.2.对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便.求下列函数的导数：(1)y＝(3x3－4x)(2x＋1)；(2)y＝3xex－2x＋e；(3)Y＝；(4)(理)y＝ln(3x－2)＋e2x－1.[思路点拨][课堂笔记](1)∵y＝(3x3－4x)(2x＋1)＝6x4＋3x3－8x2－4x，∴y′＝24x3＋9x2－16x－4或y′＝(3x3－4x)′(2x＋1)＋(3x3－4x)(2x＋1)′＝(9x2－4)(2x＋1)＋(3x3－4x)·2＝24x3＋9x2－16x－4；(2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3x(ln3)·ex＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2；(3)y′＝＝；(4)(理)y′＝[ln(3x－2)＋e2x－1]′＝[ln(3x－2)]′＋(e2x－1)′＝·(3x－2)′＋e2x－1(2x－1)′＝＋2e2x－1.1.函数y＝f(x)在点P(x0，y0)处的导数f′(x0)表示函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，导数f′(x0)的几何意义就是函数y＝f(x)在P(x0，y0)处的切线的斜率，其切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0).2.利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0).[特别警示]求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.已知曲线y＝＋.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程；(3)求满足斜率为1的曲线的切线方程.[思路点拨][课堂笔记](1)∵y′＝x2，∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝＋与过点P(2,4)的切线相切于点A()，则切线的斜率k＝y′|＝.∴切线方程为y－()＝(x－x0)，即y＝.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝，即＋4＝0，∴＋4＝0，∴(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.(3)设切点为(x0，y0)，故切线的斜率为k＝＝1，解得x0＝±1，故切点为(1，)，(－1,1).故所求切线方程为y－＝x－1和y－1＝x＋1，即3x－3y＋2＝0和x－y＋2＝0.高考对本节内容的传统考法是以选择题、填空题或在解答题的某一问中考查导数几何意义的应用，很少直接考查函数求导运算.但09年天津高考则直接考查了导数的概念及运算，是一个新的考查方向.[考题印证](2009·天津高考)设函数f(x)在R上的导函数为f′(x)，且2f(x)＋xf′(x)＞x2.下面的不等式在R上恒成立的是()A.f(x)＞0B.f(x)＜0C.f(x)＞xD.f(x)＜x【解析】用排除法，设x＝0，则f(0)＞0，排除B、D；设f(x)＝x2＋，符合题目条件，但C不恒成立.【答案】A[自主体验]已知f(x)＝＋4x，则f′(1)＝.解析：因为f(x)＝＋4x，所以f′(x)＝－＋4，因此f′(1)＝－＋4，解得f′(1)＝2.答案：21.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速率为零的时刻是()A.0秒B.1秒末C.2秒末D.1秒末和2秒末解析：s′＝t2－3t＋2令s′＝0，则t＝1或t＝2.答案：D2.(文)y＝x2cosx的导数是()A.2xcosx＋x2sinxB.2xcosx－x2sinxC.2xcosxD.－x2sinx解析：y′＝2xcosx－x2sinx.答案：B(理)已知y＝sin2x＋sinx，则y′是()A.仅有最小值的奇函数B.既有最大值又有最小值的偶函数C.仅有最大值的偶函数D.非奇非偶函数解析：y′＝cos2x·2＋cosx＝cos2x＋cosx＝2cos2x－1＋cosx＝2(cosx＋)2－答案：B3．(2010·合肥模拟)已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为()解析：y′＝3x2，∴k′＝3×1＝3，即为切线斜率．∵直线ax－by－2＝0与切线垂直，∴＝答案：D4.(2009·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.解析：∵y＝x3－10x＋3，∴y′＝3x2－10.由题意，设切点P的横坐标为x0，且x00，即－10＝2，∴＝4，∴x0＝－2，∴y0＝－10x0＋3＝15.故点P的坐标为(－2,15).答案：(－2,15)5.如图所示，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＝，f′(5)＝.解析：∵切线方程与y＝f(x)交于点P(5，y0)，∴y0＝－5＋8＝3.由切线的意义知f′(5)＝－1.答案：3－16.已知函数f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一点P(1，－2)，过点P作直线l.(1)求使直线l和y＝f(x)相切且以P为切点的直线方程；(2)求使直线l和y＝f(x)相切且切点异于P的直线方程.解：(1)由f(x)＝x3－3x得f′(x)＝3x2－3，过点P且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f′(1)＝0，∴所求的直线方程为y＝-2(2)设过P(1，－2)的直线l与y＝f(x)切于另一点(x0，y0)，则f′(x0)＝－3.又直线过(x0，y0)，P(1，－2)，故其斜率可表示为，又＝－3，即－3x0＋2＝，解得x0＝1(舍去)或x0＝－，故所求直线的斜率为k＝3(－1)＝－，∴y－(－2)＝－(x－1)，即9x＋4y－1＝0.