高考数学复习：函数与基本初等函数Ⅰ

第二编函数与基本初等函数Ⅰ§2.1函数及其表示基础自测1.与函数f(x)=|x|是相同函数的有（写出一个你认为正确的即可）.答案y=2x2.设M={x|0≤x≤2}，N={y|0≤y≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M到集合N的函数关系的是.(填序号).答案②③3.若对应关系f:A→B是从集合A到集合B的一个映射，则下面说法正确的是（填序号）.①A中的每一个元素在集合B中都有对应元素②A中两个元素在B中的对应元素必定不同③B中两个元素若在A中有对应元素，则它们必定不同④B中的元素在A中可能没有对应元素答案①③④4.如图所示，①②③三个图象各表示两个变量x,y的对应关系，则能表示y是x的函数的图象是（填序号）.答案②③5.已知f（x1）=x2+5x,则f(x)=.答案251xx(x≠0)例1给出下列两个条件：（1）f(x+1)=x+2x;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别求出f(x)的解析式.解（1）令t=x+1,∴t≥1，x=（t-1）2.则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x∈［1，+∞).（2）设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.∴22444baa，∴11ba，又f(0)=3c=3,∴f(x)=x2-x+3.例2（1）求函数f(x)=229)2(1xxxg（2）已知函数f(2x）的定义域是［-1，1］，求f(log2x)的定义域.解（1,3302,090222xxxxxx或即-3＜x＜0或2＜x＜3.故函数的定义域是(-3,0）∪(2,3).(2)∵y=f(2x)的定义域是［-1，1］，即-1≤x≤1,∴21≤2x≤2.∴函数y=f(log2x)中21≤log2x≤2.即log22≤log2x≤log24,∴2≤x≤4.故函数f(log2x)的定义域为［2，4］例3（14分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x,同时预计年销售量增加的比例为0.6x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x（2）为使本年度利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x解（1）依题意，本年度每辆摩托车的成本为1+x(万元)，而出厂价为1.2×(1+0.75x)(万元)，销售量为1000×(1+0.6x)(辆).故利润y=［1.2×(1+0.75x)-(1+x)］×1000×(1+0.6x),5整理得y=-60x2+20x+200(0＜x＜1).7（2则y-(1.2-1)×1000＞0,10即-60x2+20x+200-200＞0,即3x2-x＜0.12解得0＜x＜31，适合0＜x＜1.故为保证本年度利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x的取值范围是0＜x＜31.13答（1）函数关系式为y=-60x2+20x+200(0＜x＜1).（2）投入成本增加的比例x的范围是(0,31).14例4已知函数f(x)=.0,1,0,1,0,2xxxxx（1（2）求f(1),f(-1),f［f(-1)］的值.解（1）分别作出f(x)在x＞0,x=0,x＜0段上的图象，如图所示，作法略.（2）f(1)=12=1,f(-1)=-11=1,f［f（-1）］=f（1）=1.1.（1）已知f（12x）=lgx，求f（x（2）已知f（x）是一次函数，且满足3f（x+1）-2f（x-1）=2x+17，求f（x（3）已知f（x）满足2f（x）+f（x1）=3x，求f（x）.解(1)令x2+1=t，则x=12t∴f（t）=lg12t，∴f（x）=lg12x,x∈(1,+∞).（2）设f（x）=ax+b3f（x+1）-2f（x-1）=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17∴a=2，b=7，故f（x）=2x+7.（3）2f（x）+f（x1）=3x，把①中的x换成x1，得2f（x1）+f（x）=x3①×2-②得3f（x）=6x-x3，∴f（x）=2x-x1.2.（1）y=2)3(log2xx+(2x-3)0;(2)y=log(2x+1)(32-4x).解（1）由.3log2,303202032x，xxxxx，得∴定义域为（-2，log23）∪(log23,3).(2)021,25,1120120432x，xxxxx得∴定义域为（-21,0）∪（0,25）.3.等腰梯形ABCD的两底分别为AD=2a，BC=a，∠BAD=45°，作直线MN⊥AD交AD于M，交折线ABCD于N，记AM=x,试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.解作BH⊥AD，H为垂足，CG⊥AD，G依题意，则有AH=2a，AG=23a.（1）当M位于点H的左侧时,N∈AB由于AM=x，∠BAD=45°.∴MN=x.∴y=S△AMN=21x2（0≤x≤2a）.（2）当M位于HG由于AM=x∴MN=2a，BN=x-2a.∴y=S直角梯形AMNB=2·21a［x+（x-2a）］=21ax-).232(82axaa（3）当M位于点G由于AM=x，MN=MD=2a-x.∴y=S梯形ABCD-S△MDN=).223(45221)44(2143)2(21)2(2·21222222axaaaxxxaxaaxaaaa综上：y=aaxaaxxaaxaaxaxx2,2345221.23,28212,02122224.如右图所示，在直角坐标系的第一象限内，△AOB是边长为2的等边三角形，设直线x=t(0≤t≤2)截这个三角形可得位于此直线左方的图形的面积为f(t),则函数y=f(t)的图象（如下图所示）大致是(填序号).答案一、填空题1.设函数f1(x)=x21,f2(x)=x-1,f3(x)=x2,则))0072((123fff=.答案007212.（2008·安徽文，13）函数f(x)=)1(log1|21|2x的定义域为.答案,33.若f(x)=)6(log)6()3(2xxxxf,则f(-1)的值为.答案34.已知f(2211)11xxxx，则f(x)的解析式为.答案f(x)=212xx5.函数f(x)=xx132+lg(3x+1)的定义域是.答案（-31，1）6.(2008·陕西理，11)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-3)=.答案67.已知函数f(x),g(x)x123f(x)131则f［g(1)］的值为，满足f［g(x)］＞g［f(x)］的x的值是.答案128.已知函数(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数，且（31）=16,(1)=8,则(x)=.答案3x+x5二、解答题9.求函数f(x)=21)|lg(|xxx的定义域.解由,110010||2xxxxx，得∴-1＜x＜0.∴函数f(x)=21)|lg(|xxx的定义域为（-1,0）.10．（1）设f(x)是定义在实数集R上的函数，满足f(0)=1,且对任意实数a、b,有f(a-b)=f(a)-b(2a-b+1),求f(x);（2）函数f(x)(x∈(-1,1))满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求f(x).解（1）依题意令a=b=x,则f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1),即f(0)=f(x)-x2-x,而f(0)=1,∴f(x)=x2+x+1.（2）以-x代x,依题意有2f(-x)-f(x)=lg(1-x)①又2f(x)-f(-x)=lg(1+x)②两式联立消去f(-x)得3f(x)=lg(1-x)+2lg(1+x),x123g(x)321∴f(x)=31lg(1+x-x2-x3)(-1＜x＜1).11.如图所示，有一块半径为R的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB是⊙O的直径,且上底CD的端点在圆周上，写出梯形周长y关于腰长x的函数关系式，并求出它的定义域.解AB=2R，C、D在⊙o的半圆周上，设腰长AD=BC=x，作DE⊥AB，垂足为E，连接BD，那么∠ADB是直角，由此Rt△ADE∽Rt△ABD.∴AD2=AE×AB，即AE=Rx22，∴CD=AB-2AE=2R-Rx2，所以y=2R+2x+（2R-Rx2）,即y=-Rx2+2x+4R.再由0202022RxRRxx,解得0＜x＜2R.所以y=-Rx2+2x+4R,定义域为（0，2R）.12.某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.当每辆车的月租金每增加50元时,未租出的车将会增加一辆.租出的车每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为5000036003=12，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为f(x)=（100-500003)150)(500003xxx×50.整理得f(x)=-502x+162x-21000=-501(x-4050)2+307050.所以，当x=4050时，f(x)最大，最大值为f(4050)=307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元.§2.2函数的单调性与最大（小）值基础自测1.已知函数y=f(x)是定义在R上的增函数，则下列对f(x)=0的根说法不正确的是（填序号）.有且只有一个②有2个至多有一个④没有根答案①②2.已知f(x)是R上的增函数，若令F（x）=f（1-x）-f（1+x），则F（x）是R上的函数（用“增”、“减”填空）.答案减3.若函数f(x)=x2+(a2-4a+1)x+2在区间（-∞，1］上是减函数，则a的取值范围是.答案［1，3］4.（2009·徐州六县一区联考）若函数f(x)是定义在（0，+∞）上的增函数，且对一切x＞0，y＞0满足f(xy)=f(x)+f(y)，则不等式f(x+6)+f(x)＜2f(4)的解集为.答案（0，2）5.已知函数f(x)=x2-2x+3在闭区间［0,m］上最大值为3，最小值为2，则m的取值范围为.答案［1，2］例1已知函数f(x)=ax+12xx(a＞1).证明：函数f(x)在(-1,+∞)上为增函数.证明方法一任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨设x1＜x2,则x2-x1＞0,12xxa＞1且a1x＞0,∴a,0)1(12112xxxxxaaa又∵x1+1＞0,x2+1＞0,∴)1)(1()(3)1)(1()1)(2()1)(2(121221122121121122xxxxxxxxxxxxxx＞0,于是f(x2)-f(x1)=a12xxa[phone]xxxx＞0,故函数f(x)在（-1,+∞）上为增函数.方法二f(x)=ax+1-13x(a＞1),求导数得f′(x)=axlna+2)1(3x,∵a＞1,∴当x＞-1时，axln