2.1导数的概念及其计算

2.1导数的概念及其计算知识要点设函数y=f(x),那么式子称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率.简记为1212)()(xxxfxffx1.平均变化率:2.导数的概念一般地，函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是xfxxfxxfxxlim)()Δ(lim0000我们称它称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作.)()Δ(lim)(0000xxfxxfxfx)(0xf或,即0|xxy当x=x0变化时，f’(x)便是一个函数，我们称它为f(x)的导函数（简称导数）。xxfxxfyxfx)()Δ(lim')(0000()()(,())yfxxyfxPxfx函数在点处的导数就是曲线在处的切线的斜率，3.导数的几何意义000()'()().yfxfxxx相应的切线方程为4.导数计算公式及求导法则要熟记8个基本初等函数的导数公式、导数的四则运算公式及复合函数的求导方法。一.8个基本初等函数的导数公式（1）C´=0(C是常数）;（2）(xn)´=nxn-1(n∈R)；（3）(sinx)´=cosx；（4）(cosx)´=-sinx；（5）（ax)´=ax·lna；（6）(ex)´=ex；（7）（logax)´=；（8）(lnx)´=。1x1lnxa二.导数的四则运算公式及复合函数的求导方法。1.(u±v)=u´±v´2.(uv)´=u´v+v´u；23.()(0)uuvuvvvv若y=f(u),u=g(x),则yx´=yu´·ux´二.复合函数的求导方法1.(),fxxaA例若函数在处的导数为0(aΔ)(Δ)limxfxfaxx求0(aΔ)()limxfxfaAx解：0(aΔ)(Δ)limxfxfaxx02[(aΔ)(Δ)]lim2xfxfaxx20(aΔ)(Δ)2lim22xfxfaxAx0ffxxx点评：根据导数的定义，可知平均变化率当时，的极限即为导数。200(aΔ)(Δ)lim'(),2(x2)()lim3'()xhfxfaxfaxfhfxhfxh所以由此可见等等2.22yx例2已知曲线上一点P(1,2),用导数定义求过点P的切线的倾斜角和切线方程。2(1)(1)2(1)22yfxfx解：2002(1+)22limlimxxxykxx2202(1+)24lim[2(1+)22]xxxx204+2lim2(1+)22xxx412+22∴tanα=1,∴倾斜角为α=45°切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0点评：在某一点切线的斜率就是该点对应的导数。根据定义求导数的方法为：①求函数的增量⊿y=f(x+⊿x)-f(x)②求平均变化率③求极限(Δ)()yfxxfxxx00(Δ)()limlim'()xxyfxxfxfxxx2.(3)ln(1)yxx5353例3求下列函数的导数(1)y=(3x-4x)(4x+3x)1-sinx(2)y=1+cosx5353(1)'[(34)(43)]'yxxxx解1086(12712)'xxx9751205672xxx.例3求下列函数的导数1-sinx(2)y=1+cosx2(1sin)'(1cos)(1sin)(1cos)'(2)'(1cos)xxxxyx2cos(1cos)(1sin)(sin)(1cos)xxxxx2sincos1(1cos)xxx2.(3)ln(1)yxx例3求下列函数的导数221(3)'(1)'1yxxxx2212(1)121xxxx211x点评：求函数的导数可以利用导数公式和运算法则，对于复合函数的导数关键是理解复合过程，选定中间变量，弄清是哪个变量对哪个变量的求导。例4日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加，已知将1吨水净化到纯净度为x％时所需费用（单位：元）为求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率（1）90％（2）98％5284()(80100)100Cxxx解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数5284()100Cxx25284'(100)5284(100)''()(100)xxCxx25284(100)x25284(1)'(90)52.84(10090)C25284(2)'(98)1321(10098)C答:(1)纯净度为90％时，费用的瞬时变化率为52.84元/吨；(2)纯净度为98％时，费用的瞬时变化率为1321元/吨。点评：函数f(x)在某点处的导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢，由(1)(2)计算可知C’(98)=25C’(90),这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快。例2.设函数f(x)在x=x0处可导，则hxfhxfh)()(lim000（）A.与x0、h都有关B.仅与x0有关而与h无关C.仅与h有关而与x0无关D.与x0、h均无关分析:本题考查导数的定义.在导数的定义式中，自变量增量趋近于0，可正、可负，但不为0;导数是一个局部概念，它只与函数y=f(x)在x0及其附近的函数值有关，与自变量增量无关.B基础训练：1.已知函数y=f(x)=x2+1,则在x=2,Δx=0.1时,Δy的值为（）A.0.40B.0.41C.0.43D.0.44解:由函数值的增量公式Δy=f(x0+Δx)－f(x0),得Δy=f(2+0.1)－f(2)=(2+0.1)2+1－(22+1)=0.41.B2.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为2x+y+1=0,则（）A.f′(x0)0B.f′(x0)=0C.f′(x0)0D.f′(x0)不存在解:切线的方程为2x+y+1=0,即y=－2x－1,斜率为－2,故曲线在x=x0处的导数为－2,即f′(x0)=－20.C3．曲线y＝x3的切线中斜率等于1的直线（）A．不存在B．存在，有且仅有一条C．存在，有且恰有两条D．存在，但条数不确定C4．设函数f(x)=ax+4,若f′(1)=2,则a等于()A.2B.－2C.3D.不确定A解:∵f′(x)=a为常数，∴f′(1)=a=2,即a=2.5.曲线y＝x2＋3x在点A（2，10）处的切线的斜率k是（）A．4B．5C．6D．7D6.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x－y－2=0平行,则y′|x=2等于（）A.－3B.－1C.3D.1解:∵函数在点(2,1)处的切线的斜率等于直线3x－y－2=0的斜率,∴y′|x=2=3.C例3.设函数f(x)=ax3+3x2+2,若f′(－1)=4,试求a的值.分析:本题考查利用导数求参数的值.解题的关键是利用导数会列参数的方程.解:∵f(x)=ax3+3x2+2,∴f′(x)=(ax3)′+(3x2)′=3ax2+6x.∵f′(－1)=4,∴3a－6=4.∴a=310.例4.已知P(－1,1)，Q(2,4)是曲线y=x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程.分析:本题考查导数的几何意义.设曲线的切点横坐标为x0,利用导数的几何意义建立关于x0的方程，然后求解.解:由P、Q两点坐标为(－1,1)，(2,4),得kPQ=)1(214=1,∴切线斜率k=1.设切点横坐标为x0,则y′|x=x0=2x0,∴2x0=1，即x0=21，代入曲线方程y=x2,得y=41.∴所求切线方程为y－41=1×(x－21),即4x－4y－1=0变式训练1.曲线f(x)=x3+x－2在点p0处的切线平行于直线y=4x－1,求点p0的坐标。解:直线y=4x－1的斜率为k=4.又f′(x)=3x2+1过p0处的切线平行于直线y=4x－1,由3x2+1=4,得x=±1.把x=±1分别代入f(x)=x3+x－2中,得f(1)=0,f(－1)=－4.故切点的坐标分别为(1,0)和(－1,－4).例5.设f(x)=1)1(22xx(x≠－1),则f′(x)等于（）A.3x2－2x+1B.3x2+2x+1C.3x2－2x－1D.x2－2x+1解法一:f′(x)=2222222)1()1()1()1(])1[(]1)1([xxxxxxx22222222)1(])1()1(4[)1()1()1()1()1)(1(2xxxxxxxxxx=3x2－2x－1.解法二:∵f(x)=1)1()1(22xxx=(x+1)(x－1)2=x3－x2－x+1,∴f′(x)=3x2－2x－1.通过两种方法的比较，可知若先把函数式化简后再求导，计算简单得多。练习：1设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N，则f2005(x)＝（）A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosxC2.函数y＝x2－1x的导数是（）A．x2－1xB．x2＋1xC．x2－1x2D．1－x2x2B3.已知函数f(x－1)＝2x2－x，则f′(x)＝（）A．4x＋3B．4x－1C．4x－5D．4x－34.函数y=sin2x在点M(23,6)处的切线斜率为（）A.－1B.－2C.1D.2AC例6．已知抛物线y=ax2+bx+c通过点(1,1),且在点(2,－1)处与直线y=x－3相切,求a、b、c的值.分析:本题考查导数的几何意义.函数在x=2处的导数等于直线y=x－3的斜率.由题意构造出关于a、b、c的方程组,然后求解.解:∵f(1)=1,∴a+b+c=1.①又f′(x)=2ax+b,∵f′(2)=1,∴4a+b=1.②又切点(2,－1),∴4a+2b+c=－1.③把①②③联立得方程组.124,14,1cbabacba解得,9,11,3cba即a=3,b=－11,c=9.1．函数y=(x－1)2的导数是()A.－2B.(x－1)2C.2(x－1)D.2(1－x)练习：C2．函数y=xcosx－sinx的导数为()A.xsinxB.－xsinxC.xcosxD.－xcosxB3.函数y=exlnx的导数是()A.y′=xxeB.y′=exlnxC.y′=exlnx+xxeD.y′=xxxlneC4．已知函数f(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)……(x－100)，则f′(1)＝（）A．－99！B．－100！C．－98！D．0A5.设函数f(x)=(x－1)(x－2)，则f′(1)=______.-16.已知y=x3－2x+1,则y′=___________;y′|x=2=___________.3x2－210()(1)[(2)(3)(100)]()(1)[(2)(3)(100)](1)[(2)(3)(100)]fxxxxxfxxxxxxxxx(1)1(2)(3)(99)99!f7.已知函数f(x)=x4+bx+7,g(x)=f′(x),且g(1)=1,则b=___________.-38.若抛物线y=x2－x+c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________.49.设a＞0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，4π］，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为()A.［0，a1］B.［0，a21］C.［0，|ab2|］D.［0，|ab21|］解：∵过P（x0，f（x0））的切线的倾斜角的取值范围是［0，4π］，∴P到曲线y=f（x）对称轴x=－ab2的距离d=x0－（－