第三讲单自由度系统的振动(阻尼)

机械振动学1.阻尼上节所研究的振动是不受阻力作用的，振动的振幅是不随时间改变的，振动过程将无限地进行下去。实际中的振动系统由于存在阻力，而不断消耗着振动的能量，使振幅不断地减小，直到最后振动停止。振动过程中的阻力习惯上称为阻尼。2.1.2.单自由度系统的有阻尼自由振动阻尼类型：1）介质阻尼；2）结构阻尼；3）库仑阻尼当振动速度不大时，介质粘性引起的阻力与速度一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。这种阻尼实际上较多，这里将以此研究。振动系统中存在粘性阻尼时，经常用阻尼元件c表示。vcF比例常数c称为粘性阻尼系数负号表示方向设振动质点的速度为为v，则粘性阻尼的阻力FC可表示为：一般的机械振动系统都可以简化为：由惯性元件（m）、弹性元件（k）、阻尼元件（c）组成的系统。kcm当以平衡位置O为坐标原点，建立此系统的振动微分方程时可以不再计入重力作用。（2）粘性阻尼力；方向与速度方向相反。xcdtdxcFc2.振动微分方程振动过程中作用在物块上的力有：（1）恢复力；方向指向平衡位置O；0kxxcxm根据达朗贝尔原理，质量块的微分方程为：m()ftmkckcmsxxxkxxcoxmoxkxFkxmk20整理得：0220xxnxmcn20-xckxxm有阻尼自由振动微分方程的标准形式,它是一个二阶齐次常系数线性微分方程两端除以m，并令：mkxxcxmoxxn称为衰减系数rtex02202nrr2022,1nnr该方程通解为：trtreCeCx2121其解可设为：代入（1）式，得到特征方程：两个特征根为：0220xxnx（1）特征根为实数或复数时，运动规律有很大不同，因此下面按nω0，nω0和n=ω0三种不同情形分别进行讨论。2022,1nnr当nω0时，特征根为共轭复数，即：2201ninr2202ninr微分方程的解可以表示为：2022,1nnr3.小阻尼情形阻尼较小，称为小阻尼情形。mcn2)sin(220tnAexnt)sin(tAexdnt其中：A和φ为两个积分常数，由运动的初始条件确定220nd或称有阻尼自由振动的圆频率；其中trtreCeCx2121当初瞬时t=0，质点的坐标为x=x0速度v=;可求得有阻尼自由振动中的振幅和相位：)sin(tAexdnt00220arctannxxnxn这种振动的振幅是随时间不断衰减的，称为衰减振动。衰减振动的运动图线如图所示。xtA0xdTdntAe1A2A3A22020020)(nnxxxA0x衰减曲线的包络线由衰减振动的表达式：但这种振动仍围绕平衡位置的往复运动，仍具有振动的特点。我们将质点从一个最大偏离位置到下一个最大偏离位置所需的时间称为衰减振动的周期，记为Td，如上图所示。)sin(tAexdntxtA0xdTdntAe1A2A3A这种振动不符合周期振动的定义，所以不是周期振动。)()(nTtftfζ称为阻尼比。它是振动系统中反映阻尼特性的重要参数。在小阻尼情形下，ζ1,有阻尼自由振动周期Td、频率fd和圆频率ωd与相应的无阻尼自由振动的T、f和ω0的关系：21TTd21ffd201d表明：由于阻尼的存在，使系统自由振动的周期增大，频率减小。当空气中的振动系统阻尼比比较小时，可认为：其中：mkcn20ωd=ω0，Td=T2020022012)(12-22nnTdd阻尼对周期的影响intiAeA经过一个周期Td，系统到达另一个比前者略小的最大偏离值Ai+1这两个相邻振幅之比为:)(1diTtniAeAddiinTTtnntiieAeAeAA)(1设在某瞬时ti，振动达到的最大偏离值为Ai有:由衰减振动运动规律：)sin(220tnAexntAe-nt相当于振幅η称为振幅系数。任意两个相邻振幅之比为一常数，所以衰减振动的振幅呈几何级数减小，很快趋近于零。Ai+1Ai阻尼对振幅的影响2012dTmkcn2021212220n上式表明：对数减缩率δ与阻尼比ζ之间只差2π倍，δ也是反映阻尼特性的一个参数。dnTnTelnlnδ称为对数减缩系数两端取自然对数得ddiinTTtnntiieAeAeAA)(1由对数减缩率δ与阻尼比ζ之间的关系为：（21）其中例在欠阻尼（1）的系统中，在振幅衰减曲线的包络线上，已测得相隔N个周期的两点P、R的幅值之比xP/xR=r，如图所示，试确定此振动系统的阻尼比。解：振动衰减曲线的包络线方程为ntAxe设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR，则有rdnNTRPxxe当21时此式对估算小阻尼系统的ζ值是很方便的。例如，经过10个周期测得P、R两点的幅值比r=2，将N=10、r=2代入上式，得到该系统的阻尼比：011.0202lnNNπ2lnlnπ2rrrln1π22N当n=ω0（ζ=1）时，称为临界阻尼情形。这时系统的阻尼系数用cc称为临界阻尼系数。mkcn20mkcc2在临界阻尼情况下，特征根为两个相等的实根，即：nrnr21；得到振动微分方程的解为)(21tCCexnt其中C1和C2为两个积分常数，由运动的起始条件决定。上式表明：这时物体的运动是随时间的增长而无限地趋向平衡位置，因此运动已不具有振动的特点。4.临界阻尼和大阻尼情形从式2022,1nnr临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。设cc为临界阻尼系数，由于ζ=n/ω0=1，即kmmnmcc2220ζ阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是ζ称为阻尼比的原因。0022nmnmccccc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由xt＝11具有临界阻尼的系统与过阻尼系统比较，它为最小阻尼系统。因此质量m将以最短的时间回到静平衡位置，并不作振动运动，临界阻尼的这种性质有实际意义，例如大炮发射炮弹时要出现反弹，应要求发射后以最短的时间回到原来的静平衡位置，而且不产生振动，这样才能既快又准确地发射第二发炮弹。显然，只有临界阻尼器才能满足这种要求。t当n＞ω0(ζ＞1)时，称为大阻尼情形。此时阻尼系数c＞cc;在这种情形下，特征方程的根为两个不等的实根，即：2021nnr2022nnr微分方程的解为)(20220221tntnnteCeCex其中C1、C2为两个积分常数，由运动起始条件来确定，运动图线如下图所示，也不再具有振动性质。xtO0x0000xxxtO0x较小||00000xxxxtO0x较大||00000xxx例.图示弹簧质量阻尼系统，其物块质量为0.05kg，弹簧刚度k=2000N/m。使系统发生自由振动，测得其相邻两个振幅之比为：98/100/1iiAA,求系统的临界阻尼系数和阻尼系数各为多少？kcmcFkFmOxx解：1lniiAA求出对数减缩率:0202.098100ln阻尼比为:003215.02系统的临界阻尼系数为:msNmkcc/20200005.022阻尼系数:msNccc/0643.0达朗贝尔原理*例：阻尼缓冲器静载荷P去除后质量块越过平衡位置的最大位移为初始位移的10％求：缓冲器的相对阻尼系数kcx0x0Pm平衡位置解：由题知0)0(x设0)0(xx)sincos()(00000txxtxetxdddt求导：textxdtdsin)(0020设在时刻t1质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为：0sin)(102010textxdtddt1即经过半个周期后出现第一个振幅x121010011)(exextxxtkcx0x0Pm平衡位置由题知%102101exx解得：59.021010011)(exextxxt例：刚杆质量不计求：（1）写出运动微分方程（2）临界阻尼系数，阻尼固有频率小球质量mlakcmb解：阻尼固有频率：无阻尼固有频率：m广义坐标；0bbkaacllm力矩平衡：0222kbcaml220mlkbmklb0222mlca0222mlcakmmlbca22201d42222421aclkmbml1mkablcc22受力分析；acbklm02200xxx0kxxcxmlakcmb