四年级奥数等差数列

1知识要点等差数列一、按照一定次序排列的一列数叫数列。二、数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）、第2项、第3项、……、第n项、……三、数列的一般形式可以写成：1a、2a、3a、……、na、……；其中na是数列的第n项；这个数列可以简记作{}na（n为正整数）。四、项数有限的数列叫做有穷数列，有穷数列的最后一项叫做这个数列的末项。五、项数无穷的数列叫做无穷数列。六、如果一个数列{}na，从第2项起的每一项na与它的前一项1na的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示。七、等差数列的通项公式：等差数列{}na中，第n项首项（项数1）公差，即11(1)()naanddnad（n为正整数）八、项数公式：项数（末项首项）公差1，即1()1nnaad（n为正整数）九、求和公式：等差数列{}na中，和（首项末项）项数2，即2111()(1)()2222nnaannndddSannan（n为正整数）2基础知识【例1】判断下面的数列中，哪些是等差数列？如果是，请指明公差；如果不是，请说明理由。数列一：6、10、14、18、22、……；数列二：1、2、1、2、3、4、5、……、99、100；数列三：1、2、4、8、16、32、64；数列四：9、8、7、6、5、4、3、2、1；数列五：2010、2010、2010、2010、2010、2010、2010；数列六：1、0、1、0、1、0、1、0、1；数列七：11、24、37、……、179、192、205。【分析】数列一是等差数列，公差为4；因为2112，即2132aaaa；所以数列二不是等差数列；因为2142，即2132aaaa；所以数列三不是等差数列；数列四是等差数列，公差为1；数列五是等差数列，公差为0；因为0110，即2132aaaa；所以数列六不是等差数列；假设数列七是等差数列，则公差为241113，因为1317911ł，所以原假设数列七是等差数列不成立，所以数列七不是等差数列。十、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列{}na，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数，即当n为正奇数时，121122nnnnaaaSaaann……，12nnSan十一、(1)123(1)2nnnn（n为正整数）十二、2135(23)(21)nnn（n为正整数）十三、2123(1)(1)321nnnn（n为正整数）3【例2】判断下列命题是否正确？命题一：如果数列{}na为等差数列，那么数列21{}ka为等差数列。（,nkZ）命题二：如果数列{}na为等差数列，那么数列2{}ka为等差数列。（,nkZ）命题三：如果数列{}na中，21{}ka、2{}ka均为等差数列，那么数列{}na为等差数列。（,nkZ）命题四：如果数列{}na为等差数列，那么数列{}mkla为等差数列。（,,,nkmlZ，m、l为常数，且mk）【分析】命题一为真命题。若等差数列{}na的公差为d，则数列21{}ka是公差为2d等差数列。命题二为真命题。若等差数列{}na的公差为d，则数列2{}ka是公差为2d等差数列。命题三为假命题。数列2、1、4、3、6、5，奇数项为2、4、6是等差数列，偶数项为1、3、5是等差数列，但原数列不是等差数列。命题四为真命题。若等差数列{}na的公差为d，则数列2{}ka是公差为md等差数列。简单计算【例3】（2008年第六届“走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛四年级初赛）(123200720082007321)2008。【分析】2(123200720082007321)2008200820082008…………【例4】计算：1.13.35.57.79.911.1113.1315.1517.1719.19．【分析】原式5.5515.1555.515.15520.565103.25（）【例5】计算12319901990199019901990______【考点】等差数列计算题【难度】3星【题型】计算4【解析】原式12319901990(11990)19902199019952【例6】计算：200920082007200620052004200320025432【分析】200920082007200620052004200320025432……2009(2008200720062005)(2004200320022001)(4321)1……200900012008……【例7】计算：1000999998997996995106105104103102101。【分析】（方法一）1000999998997996995106105104103102101……(1000997106103)(999996105102)(998995104101)………………(1031000)[(1000103)31](102999)[(999102)31]22(101998)[(998101)31]2110330011013001099300300(110311011099)11051501657502222（方法二）1000999998997996995106105104103102101……(1000999998997996995106105104103102101)……(998995104101)2……(1011000)[(1000101)11](101998)[(998101)31]222495450329700165750（方法三）1000999998997996995106105104103102101……1000(999998)997(996995)106(105104)103(102101)……300110001997110611031(1000997106103)(1111)个………………(1031000)[(1000103)31]13001654503001657502【例8】（1995年吉林省“金翅杯”竞赛）5个连续自然数的和是35，求这5个数。【分析】（方法一）设这5个连续自然数中最小的数为n（nN），这5个连续自然数的和为(1)(2)(3)(4)51035nnnnnn；所以这5个连续自然数中最小的数(3510)55n；所以这5个连续自然数从小到大依次为5、6、7、8、9。（方法二）中间数（从小到大第3个数）为3557；所以这5个连续自然数从小到大依次为5、6、7、8、9。5【例9】（2006年浙江省夏令营试题）17个连续偶数的和是2006，求这17个连续偶数中最小的是多少？【分析】中间数（从小到大第9个数）为200617118所以这17个连续偶数中最小的是118(91)2102。【例10】（1）7个连续的偶数中，第2个数与第6个数的和是36，求最小的偶数。（2）（2002年江西省婺源县竞赛）6个连续自然数的和是261，中间2个数的和是多少？【分析】（1）中间数（从小到大第4个数）为36218；所以最小的偶数为18(41)212（2）中间2个数的和为2616287【例11】在1~100这100个自然数中，所有能被9整除的自然数的和是多少？【分析】在1~100这100个自然数中，能被9整除的自然数依次为9、18、27、……、98、99，(999)[(999)91]9182798995942……即在1~100这100个自然数中，所有能被9整除的自然数的和为594。【例12】在不大于100自然数中，所有不能被9整除的自然数的和是多少？【分析】在不大于100的自然书中，能被9整除的自然数依次为0、9、18、27、……、98、99，(099)[(990)91]09182798995942……(0100)[(1000)11]0123989910050502……所以在不大于100的自然数中，所有不能被9整除的自然数的和为50505944456。【例13】在1~200这200个自然数中，所有能被4整除或被11整除的自然数的和是多少？【分析】在1~200这200个自然数中，能被4整除的自然数依次为4、8、12、……、196、200，(4200)[(2004)41]481219620051002……在1~200这200个自然数中，能被11整除的自然数依次为11、22、33、……、187、198，(11198)[(19811)111]11223318719818812……在1~200这200个自然数中，既能被4整除又能被11整除的自然数，即能被[4,11]44整除的自然数依次为44、88、132、176，(44176)[(17644)441]44881321764402在1~200这200个自然数中，所有能被4整除或能被11整除的自然数的和为6510018814406541。【例14】求1~100这100个自然数中，所有加4以后能被5整除的数之和。【分析】（方法一）加4之后能被5整除的数也就是被5除余1的数。1~100的自然数被5除余1的数依次为1、6、11、……、91、96这是一个首项为1，公差为5的等差数列，(196)[(961)51]161191969702……所以1~100这100个自然数中，所有加4以后能被5整除的数之和为970。（方法二）5~104所有自然数能被5整除依次为5、10、15、……、95、100(5100)[(1005)51]510159510010502……所以1~100这100个自然数中，所有加4以后能被5整除的数之和为1050204970。复杂计算【例15】有一数列1、2009、2008、1、2007、2006、1、2005、2004、1、……，从第3个数起，每个数都等于它前面2个数中大数减小数的差。求这个数列前2009项的和。【分析】将这个数列分组如下：（1、2009、2008），（1、2007、2006），（1、2005、2004、），……200936692，最后一个数为第670组的第2个数，每一组的第2个数构成公差为2的等差数列，末项为2009(6701)(2)671；这个数列前2009项的和为(6712009)[(2009671)11]670117949302或每一组的第1、3个数的和等于这组的第2个数，前670组的和为(2009671)670(20092007671)2217956002这个数列前2009项的和为17956006701794930。【例16】在练习口算时，小朱按照正整数的顺序从1开始求和，当加到某个数时，和为1300。验算时发现，她重复加了一个数。请问这个多加一次的数是多少？【分析】设加的最后一个正整数为n