随机变量及其分布习题解答

1第2章随机变量及其分布习题解答一．选择题1．若定义分布函数FxPXx，则函数()Fx是某一随机变量X的分布函数的充要条件是(D)．A．0()1Fx．B．0()1Fx，且()0,()1FF．C．()Fx单调不减，且()0,()1FF．D．()Fx单调不减，函数()Fx右连续，且()0,()1FF．2．函数02120210xFxxx是(A)．A．某一离散型随机变量X的分布函数．B．某一连续型随机变量X的分布函数．C．既不是连续型也不是离散型随机变量的分布函数．D．不可能为某一随机变量的分布函数．3．函数00sin01xFxxxx(D)．A．是某一离散型随机变量的分布函数．B．是某一连续型随机变量的分布函数．C．既不是连续型也不是离散型随机变量的分布函数．D．不可能为某一随机变量的分布函数．4．设X的分布函数为1()Fx，Y的分布函数为2()Fx，而12()()()FxaFxbFx是某随机变量Z的分布函数，则,ab可取(A)．A．32,55ab．B．23ab．C．13,22ab．D．13,22ab．25．设X的分布律为X012P0.250.350.4而FxPXx，则(2)F(A)．A．0.6．B．0.35．C．0.25．D．0．6．设连续型变量X的概率密度为()px，分布函数为()Fx，则对于任意x值有(A)．A．(0)0PX．B．()()Fxpx．C．()()PXxpx．D．()()PXxFx．7．任一个连续型的随机变量X的概率密度为()px，则()px必满足(C)．A．0()1px．B．单调不减．C．1pxdx．D．lim()1xpx．8．为使2x1()101cpxxx成为某个随机变量X的概率密度，则c应满足(B)．A．211cdxx．B．12111cdxx．C．12011cdxx．D．2111cdxx．9．设随机变量X的概率密度为2()xpxAe，则A=(D)．A．2．B．1．C．12．D．14．10．设X的概率密度函数为1(),2xpxex，又()FxPXx，则0x时，()Fx(D)．A．112ex．B．112xe．C．12xe．D．12ex．11．设220()00xcxexpxcx是随机变量X的概率密度，则常数c(B)．3A．可以是任意非零常数．B．只能是任意正常数．C．仅取1．D．仅取1．12．设连续型随机变量X的分布函数为()Fx，则112YX分布函数为(D)．A．(22)Fy．B．1(1)22yF．C．2(22)Fy．D．1(22)Fy．13．设随机变量X的概率密度为()px，12YX，则Y的分布密度为(A)．A．1122yp．B．112ypC．12yp．D．2(12)py．14．设随机变量X的密度函数()px是连续的偶函数(即()()pxpx)，而()Fx是X的分布函数，则对任意实数a有(C)．A．()()FaFa．B．0()1()aFapxdx．C．01()()2aFapxdx．D．()()FaFa．二．填空题15．欲使2103()103xxexFxAex为某随机变量的分布函数，则要求A=____1_____．16．若随机变量X的分布函数200()0616xFxAxxx，则必有A=____1/36______．17．从装有4件合格品及1件次品的口袋中连取两次，每次取一件，取出后不放回，求取出次品数X的分布律为{0}3/5,{1}2/5PXPX．18．独立重复地掷一枚均匀硬币，直到出现正面为止，设X表示首次出现正面的试验次数，则X的分布列{}PXk=1111{},1,2,222kkPXkkL．19．设某离散型随机变量X的分布列是,1,2,,10kPXkkC，则C____55_____．20．设离散型随机变量X的分布函数是FxPXx，用()Fx表示概率0PXx=00()(0)FxFx．421．设X是连续型随机变量，则{3}PX=___0____．22．设随机变量X的分布函数为20,2()(2),231,3xFxxxx，则(2.54)PX(4)(2.5)0.75FF．23．设随机变量X的分布函数102()1102xxexFxex，则1PX11e．24．设连续型随机变量X的分布函数为200()02212xxFxxx，则X的概率密度()px=020()xx其它．25．设随机变量X的分布密度为2(1),(0,1)()0,(0,1)Axxxpxx，则常数A__12____．26．若X的概率密度为()px，则31YX的概率密度()Ypy1133yp．27．设电子管使用寿命的密度函数21001000100xpxxx(单位：小时)，则在150小时内独立使用的三只管子中恰有一个损坏的概率为_____4/9_____．三．应用计算题28．设随机变量X的分布律为X01234P0.10.20.30.30.1求（1）{14}PX；(2)X的分布函数()Fx．5解：（1）{14}{2}{3}{4}0.30.30.10.7PXPXPXPX(2)X的分布函数()Fx为0,00.1,010.3,12()0.6,230.9,341,4xxxFxxxx29.设连续随机变量X的概率密度,10(),010,||1cxxpxcxxx试求：(1)常数c；(2)概率{||0.5}PX；(3)X的分布函数()Fx.解：（1）由01101()()()21pxdxcxdxcxdxc，得1c（2）{||0.5}{0.50.5}PXPX00.50.50(1)(1)0.75xdxxdx（3）X的分布函数为10100,1(1),10()(1)(1),011,1xxxtdtxFxtdttdtxx220,11(1),10211(1),0121,1xxxxxx30．设顾客到某银行窗口等待服务的时间X(单位：分钟)的概率密度函数为51,0()50,0xexpxx某顾客在窗口等待，如超过10分钟，他就离开，求他离开的概率.解：他离开的概率为/52101{10}5xPXedxe31．已知随机变量X的分布函数为1,x0211,02241,2xeFxxxx，求其分布密度()px.6解：1021()02402xexpxFxxx32.设X是离散型随机变量，其分布律为X－10123P0.33aa0.10.2（1）求常数a；（2）23YX的分布律．解：（1）由0.330.10.21aa得0.1a（2）由于X－10123Y13579P0.30.30.10.10.2所以，23YX的分布律为Y13579P0.30.30.10.10.233.设随机变量X的密度函数为,0()0,0xXexpxx，0，求XYe的密度函数()Ypy.解：（1）XYe的分布函数为(ln),0()()(ln)0,0XXYFyyFyPeyPXyy（2）XYe的密度函数()Ypy为ln1,ln0,1(ln)(ln),01()()0,ln00,00,10,0yXYYeyypyyyypyFyyyyyy