()压轴大题训练：圆锥曲线的方程与性质

2013年高考数学压轴大题训练：圆锥曲线的方程与性质1．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），直线y=与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1、F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线l′过定点Q（，0），求实数k的取值范围．2．（13分）（2011•郑州二模）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）为动点，已知点A（，0），B（﹣，0），直线PA与PB的斜率之积为定值﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；（Ⅱ）若F（1，0），过点F的直线l交轨迹E于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程．3．（12分）已知抛物线y2=2px经过点M（2，﹣），椭圆=1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为．（1）求抛物线与椭圆的方程；（2）若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上一点，=λ（λ≠0），试求点Q的轨迹．4．（12分）设x，y∈R，、，为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若向量=x+（y+2），=x+（y﹣2），且||+||=8．（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点．设=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为菱形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．10．（12分）已知点A、B分别是椭圆=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=，S△ABC=（1）求椭圆方程；（2）设直线l经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于P、Q两点，求线段PQ的中点到原点的距离等于时的直线方程．12．（12分）（2014•宜昌模拟）已知点A，B的坐标分别是（0，﹣1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积﹣．（1）求点M轨迹C的方程；（2）若过点D（2，0）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），试求△ODE与△ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）．8．（12分）（2008•镇江一模）已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点A，B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求的取值范围．6．（13分）（2011•湖南）如图，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的离心率为，x轴被曲线C2：y=x2﹣b截得的线段长等于C1的长半轴长．（Ⅰ）求C1，C2的方程；（Ⅱ）设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点A、B，直线MA，MB分别与C1相交于D，E．（i）证明：MD⊥ME；（ii）记△MAB，△MDE的面积分别是S1，S2．问：是否存在直线l，使得=？请说明理由．7．（12分）如图所示，已知椭圆C：=1（a＞1）的离心率为e，点F为其下焦点，点A为其上顶点，过F的直线l：y=mx﹣c（其中c=与椭圆C相交于P，Q两点，且满足=．（1）试用a表示m2；（2）求e的最大值；（3）若e∈（，），求m的取值范围．8．（12分）（2008•镇江一模）已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，点A，B分别是椭圆C的长轴、短轴的端点，点O到直线AB的距离为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点E（3，0），设点P、Q是椭圆C上的两个动点，满足EP⊥EQ，求的取值范围．9．（12分）（2012•黑龙江）设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．10．（12分）已知点A、B分别是椭圆=1（a＞b＞0）长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=，S△ABC=（1）求椭圆方程；（2）设直线l经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于P、Q两点，求线段PQ的中点到原点的距离等于时的直线方程．11．（12分）如图所示，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=．一曲线E过点C，动点P在曲线E上运动，且保持|PA|+|PB|的值不变，直线l经过A与曲线E交于M，N两点．（1）建立适当的直角坐标系，求曲线E的方程；（2）设直线l的斜率为k，若∠MBN为钝角，求k的取值范围．12．（12分）（2014•宜昌模拟）已知点A，B的坐标分别是（0，﹣1），（0，1），直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积﹣．（1）求点M轨迹C的方程；（2）若过点D（2，0）的直线l与（1）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在D、F之间），试求△ODE与△ODF面积之比的取值范围（O为坐标原点）．2013年高考数学压轴大题训练：圆锥曲线的方程与性质参考答案与试题解析解答题（共12小题，满分148分）1．（13分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0），直线y=与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，F1、F2为其左、右焦点，P为椭圆C上任一点，△F1PF2的重心为G，内心为I，且IG∥F1F2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆C交于不同的两点A、B，且线段AB的垂直平分线l′过定点Q（，0），求实数k的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用△F1PF2的重心为G，内心为I，结合三角形的面积公式，直线y=与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，求出几何量，即可求出椭圆的方程；（2）直线方程代入椭圆方程，确定线段AB的中点R的坐标，利用线段AB的垂直平分线l′过定点Q（，0），可得不等式，从而可求实数k的取值范围．解答：解：（1）设P（x0，y0）（y0≠0），则G（）设I（xI，yI），则∵IG∥F1F2，∴∵|F1F2|=2c，∴=|F1F2||y0|=（|PF1|+|PF2|+|F1F2|）•∴2c•3=2a+2c∴∵直线y=与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切∴∴b=∴a=2∴椭圆的方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则直线方程代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由△＞0，可得m2＜4k2+3∵x1+x2=∴y1+y2=∴线段AB的中点R的坐标为（，）∵线段AB的垂直平分线l′的方程为，R在直线l′上，∴∴m=∴∴∴或．点评：本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆，直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．2．（13分）（2011•郑州二模）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）为动点，已知点A（，0），B（﹣，0），直线PA与PB的斜率之积为定值﹣．（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；（Ⅱ）若F（1，0），过点F的直线l交轨迹E于M、N两点，以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，求直线l的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．菁优网版权所有分析：（Ⅰ）用坐标表示直线PA与PB的斜率因为直线PA与PB的斜率之积为定值﹣，可得即轨迹方程为．（Ⅱ）讨论斜率为0与斜率不存在时不合题意，设直线方程为y=k（x﹣1），利用根与系数的关系表示MN的中点，则线段MN的中垂线m的方程为则直线m与y轴的交点又可解得k=±1，即直线l的方程为y=±（x﹣1）．解答：解：（Ⅰ）由题意，整理得，所以所求轨迹E的方程为，（Ⅱ）当直线l与x轴重合时，与轨迹E无交点，不合题意；当直线l与x轴垂直时，l：x=1，此时，以MN为对角线的正方形的另外两个顶点坐标为，不合题意；当直线l与x轴既不重合，也不垂直时，不妨设直线l：y=k（x﹣1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点，由消y得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，由得所以，则线段MN的中垂线m的方程为：，整理得直线，则直线m与y轴的交点，注意到以MN为对角线的正方形的第三个顶点恰在y轴上，当且仅当RM⊥RN，即，，①由②将②代入①解得k=±1，即直线l的方程为y=±（x﹣1），综上，所求直线l的方程为x﹣y﹣1=0或x+y﹣1=0．点评：有关三角形的问题是高考的一个重点，多与三角形的周长，面积，形状等问题相关，解决此类问题关键是抓住曲线与三角形的特性灵活找出问题的所在．3．（12分）已知抛物线y2=2px经过点M（2，﹣），椭圆=1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为．（1）求抛物线与椭圆的方程；（2）若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上一点，=λ（λ≠0），试求点Q的轨迹．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；抛物线的标准方程．菁优网版权所有专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用抛物线y2=2px经过点M（2，﹣），确定抛物线方程，利用椭圆=1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为，求出几何量，即可求椭圆方程；（2）设出P，Q的坐标，表示出=λ（λ≠0），分类讨论，即可得出点Q的轨迹．解答：解：（1）∵抛物线y2=2px经过点M（2，﹣），∴8=4p，∴p=2∴抛物线的方程为y2=4x，其焦点为F（1，0），∴c=1∵椭圆的离心率为，∴a=2∴b2=a2﹣c2=3∴椭圆的方程为；（2）设Q（x，y），x∈[﹣2，2]，设P（x，y0），则∴=∵=λ（λ≠0），∴∴，x∈[﹣2，2]，①λ2=，即时，点Q的轨迹方程为，x∈[﹣2，2]，轨迹是两条平行于x轴的线段；②λ2＜，即时，轨迹表示实轴在y轴上的双曲线满足x∈[﹣2，2]的部分；③λ2＞，即时，轨迹表示长轴在x轴上的椭圆满足x∈[﹣2，2]的部分．点评：本题考查抛物线、椭圆的标准方程，考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．4．（12分）设x，y∈R，、，为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若向量=x+（y+2），=x+（y﹣2），且||+||=8．（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点．设=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为菱形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．考点：轨迹方程；直线的一般式方程；直线与圆锥曲线的关系．菁优网版权所有专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据向量模的公式以及坐标系内两点间的距离公式，可得动点M（x，y）到定点F1（0，﹣2）、F2（0，2）的距离之和等于8（常数），由此结合椭圆的定义得到M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆，可得轨迹C的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为y=kx+3，将l方程与椭圆C消去y得关于x的方程，得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及直线l方程得x1+x2=且y1+y2=．再根据平行四边形OAPB为菱形，得到||=||，利用向量模的公式化简结合前面的等式可得关于k的方程，解之得k=0．由此可得存在直线y=3使得四边形OAPB为菱形．解答：解：（1）∵=x+（y+2），=x+（y﹣2）∴||=，||=设F1（0，﹣2），F2（0，2），动点M（x，y），可得||、||分别表示点M到F1、F2的距离．∵||+||=8，即M到F1、F2的距离之和等于8，∴点M（x，y）的轨迹C是以F1（0，﹣2），F2（0，2）为焦点，长轴长为8的椭圆，可得a=4，c=2，b2=a2﹣c2=12，可得椭圆方程为，即为点M（x，y）的轨迹C的方程；（2）由于直线l过点（0，3），故①当直线l为y轴时，A、B为椭圆的顶点，可得=+=此时点P与原点重合，不符合题意；②当直线l与x轴不垂直时，设方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）由消去