中学数学思想和方法

1数学思想与方法1、数学思想与方法的由来2、数学思想方法的含义3、数学思想方法的分类4、数学思想与方法教学2数学思想和方法在中国最早是在《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）》中明确提出的。初中教学的基础知识主要是初中代数、几何中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法。这也是首次将数学思想与方法纳入到数学基础知识的范畴，它标志着我国数学教育思想的重大改革。3数学思想方法是研究数学思想与方法及其教学的一门课程。随着现代科学技术的迅速发展和素质教育的全面实施，对科学思想、科学方法有着全局影响的数学思想方法其重要性日益凸现。鉴于数学思想方法在素质教育中的重要作用，《数学思想方法》被列为大学小学教育专业的一门必修课程。课程内容包括数学思想方法的两个源头———《几何原本》、《九章4算术》；数学思想方法的几次重要突破———1.从算术到代数,2.从常量到变量,3.从确定到随机。什么是数学思想？数学方法？数学思想是对数学知识的本质认识，是从某些具体的数学内容和对数学的认识中上升的数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。数学方法是指在提出问题，解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。下一页上一页5S数学思想与数学方法的联系与区别数学思想与数学方法是紧密联系的,思想对方法有着指导的作用，同样，方法体现思想的本质。对同一数学成就，当强调指导思想，解题策略时，称之为数学思想；当用它去解决别的问题，强调操作时，就称为数学方法。往往不加区别，泛称数学思想方法。6古代数学大体可分为两种不同的类型：一种是崇尚严密的逻辑推理，以《几何原本》为代表，一种是长于计算、注重实际应用，以《九章算术》为典范。这两本著作对整个世界数学及其思想方法的发展都有着重大的影响。《几何原本》共有十三篇，从内容上来看，包括了当时希腊数学各个方面的成果。它具有封闭的演绎体系、抽象化的内容、公理化的方法。7公理化作为现代数学的一种基本的表述方法和发展方式就是以欧几里得的《几何原本》为其开端的，《九章算术》共分九章，每一章都包括若干道问题，每道问题后给以答案，一些问题给出解题的方法。《九章算术》对我国古代数学作了总结和发展，它具有如下的特点：开放的归纳体系、算法化的内容与模型化的方法。8《九章算术》的思想方法不仅对我国古代数学的发展起了重大的作用，而且也是现代数学思想发展的一大源泉。在数学的发展中，一再重现这种思想。例如在17世纪分析数学产生之初，就不是靠理论的严格，而是靠实际应用的成功保证其“可靠性”9现代应用数学是按应用方向或主要应用的数学模型来分类的；把对一个数学定理的证明转化为利用适当算法的一个机械的计算；数学构成一个开放的系统，成为各门科学的方法或工具；利用数学模型解决各领域的问题，与《九章算术》的思想是一致的。可以说，现代数学正是在《几何原本》所代表的古希腊数学思想及《九章算术》所代表10的中国古代数学思想的基础上发展起来的。《九章算术》确立了中国古代数学应用题的形式，其特点是以算法为中心，理论联系实际，构筑了中国古代数学的基本框架，在中国和东方影响深远。11数学思想方法分类数学思想方法大体上可分为三种类型。1.宏观型思想方法2.逻辑型思想方法3.操作技巧型思想方法12宏观型思想方法，包括抽象概括、化归方法、数学模型、数形结合方法、归纳猜想等。其中抽象概括、数学模型、归纳猜想等方法常常与数学知识的发生、发现过程紧密联系，是将现实问题进行数学化的重要方法。化归方法是我们处理数学问题的一种基本思路，具有很强的思维导向功能。数形结合方法则反映了数学各科之间的内部联系和统一性，体现人们对数学的总体认识。13逻辑型思想方法，包括演绎法、分类法、完全归纳法、不完全归纳法、观察法、类比法等，这类方法都具有确定的逻辑结构。例如，演绎法具有严格的逻辑表达结构。14操作技巧型思想方法，包括比较法、公式法、特殊化方法、构造法、变换法等方法，这类方法常常用于具体解题，具有一定的操作步骤。15深入地分析这些方法，我们可以发现：方法本身具有层次性。例如：比较法又有比差法和比商法等；反证法有归谬法和穷举法；构造法有构造算式法、构造函数法、构造图形法等；变换法有代数变换法、几何变换法、三角变换法等，而几何变换法又有合同变换法、相似变换法、仿射变换法、射影变换法等。方法在应用上具有综合性。例如，在进行因式分解时，往往需要提取公因式法、十字相乘法、公式法、拆补项法等同时应用；16在应用分析和综合法时，又往往需要研究其它几种方法。方法往往具有各自不同的适用性。例如，分析法、综合法、联想法、转化法等可适用于一切问题的研究；而割补法、面积法、体积法等仅适用于某些几何问题的研究；待定系数法、消去法、代入法、配方法等常适用于某些数或式的研究等。方法本身也在不断完善之中，具有发展性。例如复数法、构造法、三角法等就是近一、二十年来，有的甚至是近年来才完善发展起来的。随着数学的发展，人们对数学方法的认识必将进一步提高。17(一)抽象和概括抽象，是人们在感性认识的基础上，透过现象，深入里层，抽取出事物的本质特征、内部联系和规律，从而达到理性认识的思维方法。抽象的过程离不开比较、归纳、分析、综合，要经过“去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里”的加工制作过程，排除那些无关的或非本质的次要因素，抽取出研究对象的重要特征、本质因素、普遍规律与因果关系加以认识，从而为解答问题提供某种科学依据或一般原理。1819于是，就将图1抽象成图2，并且将原来提出的实际问题，抽象成能否一笔画出图2的问题。欧拉研究了一笔画的更一般问题，认为，一个连通图如果可以一笔画成，则除了起点和终点外，其余点处的连线总是一进一出成双成对的，必有偶数条,这样的点称为偶点,而七桥问题的点都不是偶点，所以不能实现一笔画，也就是不能实现每个桥只走一次而回到原点想法。欧拉运用了数学抽象的方法，成功地解决了这个问题，并由此产生了数学一个新的分支----图论。202.概括，即把抽象出来的若干事物的共同属性归纳出来进行考察的思维方法。概括是人们追求普遍性的认识方式，是一种由个别到一般的思维方法。概括是以抽象为基础，抽象度愈高，则概括性愈强，高度的概括对事物的理解更具有一般性，则获得的理论或方法就有更普遍的指导性。抽象和概括是密不可分的。抽象可以仅涉及一个对象，而概括则涉及一类对象。21从不同角度考察同一事物会得到不同性质的抽象，即不同的属性。而概括则必须从多个对象的考察中寻找共同相通的性质。数学思维侧重于分析、提练、概括思维则侧重于归纳、综合。数学中的每一个概念都是对一类事物的多个对象通过观察和分析，抽象出每个对象的各种属性，再通过归纳、概括出各个对象的共同属性而形成的。在解决数学问题方面，得出数学的模型、模式，总结出解题的规律和方法，都是通过分析、比较、抽象、归纳等思维环节，最后进行理论概括的结果。22例：在同一直角坐标系中作出函数：；；；的图形，讨论指数函数的一般性质。2324本题若正确作出图象让学生回答问题，就会反映出概括能力的强弱。本题可概括出指数函数(0,1)xyaaa的性质有：（1）图象都过点(0,1)，（2）定义域为（-∞，+∞），（3）值域为（0，+∞），（4）指数函数都是单调的。25(二)化归方法数学中充满矛盾，对立面无不在一定条件下互相转化。已知与未知，异与同，多与少，一般与特殊等等在一定条件下都可以互相转化。这是唯物辩证法在数学思想方法上的体现，转化的方向一般是把未知的问题向已知方向转化，把难的问题朝较易的方向转化，把繁杂的问题向简单的方向转化，把生疏的问题朝熟悉的方向转化。化归，即转化与归结的意思，把有待解决的未解决的问题，通过转化过程，归结为已熟悉的规范性问题或已解决过的问题，从而求得问题的解决。26化归思想方法是研究数学问题的一种基本思想方法。而实现这种化归，就是将问题不断的变换形式，通过不同的途径实现化归，这就是化归方法，具体的化归方法有多种，如恒等变换、解析法、复数法、三角法、变量替换、数形结合、几何变换等。27例如中学数学教材里对于一元一次方程和一元二次方程，已经有了固定的求解方法、步骤和求根公式，因此，求解一元一次方程和一元二次方程的问题属于规范问题。而一元高次方程在中学数学解法的基本思想就是降次，通过因式分解或换元等方法转化成解一元一次方程或一元二次方程。中数教材里对二元一次方程组着重介绍了代入消元法和加减消元法，其基本思想是通过消元，把二元一次方程组问题转化为一元一次方程问题。28解二元二次方程组就有两种思想：一是消元，转化成一元方程；另一种是降次，转化成一次方程组。把多元高次方程组通过消元、降次转变成一元一次方程来解，就是运用化归思想方法产生出来的。29(三)数形结合的方法从广义上来看，数学研究的主要对象是：现实世界的空间形式与数量关系，形与数以及它们之间的关系始终是数学的基本内容。与此同时，形与数是互相联系，也是可以相互转化的。把问题的数量关系转化为图形性质问题，或者将图形的性质问题转化为数量关系问题，是数学活动中一种十分重要的思想方法，统称为数形结合的思想方法。30数学发展的历史表明，形与数的结合不仅使几何问题获得了有力的现代工具，而且也使许多代数问题获得了明显的直观的几何解释，从而开拓出新的研究方向。例如，笛卡尔创立的解析几何就是运用形数结合这一思想方法的典范，通过建立适当的坐标系，形成了点与有序实数组以及曲线与方程之间的对应关系，从而把几何问题转化为代数问题，把代数与几何结合起来，开创了数学发展的新纪元。31数形结合的思想方法在数学教学中具有十分重要的意义，运用这种思想方法去解决数学问题，常常可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化。作为数形结合的具体方法，主要有解析法、复数法、三角法、图解法等等。一般说来，把几何问题转化为代数问题，常用解析法、复数法、三角法等；而把数量关系问题转化为图形性质问题，则常用图解法，从而化难为易，这是数形结合的数学思想方法的具体运用。32(四)反驳反驳是用已知为真的命题去揭露或证实另一个命题的虚假性的逻辑方法。反驳与证明不同，证明是确定某一判断的真实性，反驳是确定对方论题的虚假性或不能成立；证明的作用在于探求真理，阐明真理，反驳的作用则在于揭露谬误，捍卫真理。反驳与证明又是密切联系的，如果确定了一个判断的真实性，同时也就意味着确定了与之相矛盾的判断的虚假性。反之，如果确定了一个判断的虚假性，同时也就意味着确定了与之相矛盾判断的真实性。所以，证明与反驳是相辅相成的，它们都是人们探索真理、发展真理不可缺少的思维形式和逻辑方法。33常用的反驳法有以下三种：1、构造一反例。即举出一个例子，说明它具备命题的全部条件，但不具有命题的结论。2、假定命题成立，推出荒谬结果，从而证明了该命题是虚假的。例如，证明“零可以作除数”是错误的。证明：因为2-2=3-3即2(1-1)=3(1-1)若零可以作除数，则推出2=3这一结果，显然荒谬。所以，“零可以作除数”是错误的。3、论证与该命题相矛盾的命题是真实的，根据矛盾律则推出原命题是虚假的34(五)演绎推理演绎推理是从一般原理推出个别结论的思维方法。即一般到特殊的推理方法。其特点是：在推理的形式合乎逻辑的条件下，运用演绎法从真实的前提一定能推出真实的结论。演绎推理是逻辑证明的工具，整个欧几里得几何就是一个演绎推理系统，19世纪数学家们由对欧几里得第五公设的独立性的试证导致发现非欧几何。三段论是演绎推理的主要形式，所谓“三段论”就是由大前提、小前提、结论三部分组成。35例如，凡同边数的正多边形都是相似的。这两个正多边形的边数是相同的，所以这两个正多边形也是相似的。这里有三个判断，第一个判断提供了一般的原理原则，叫做三段论的大前提；第二个判断指出了一个特殊场合的情况，叫做小前提；联合这两个判断，说明一般原则和特殊情况间的联系，因而得出的第三个判断，叫