可控制设置成本对存货模型下瑕疵品的影响

可控制设置成本对),,(LrQ存货模型下瑕疵品的影响庄博仁*戴嫒坪**(大华技术学院国际贸易系，台湾,30741)摘要本文系推广Ouyang等学者于1999年提出有关到货批量中含有瑕疵品的),,(LrQ存货模型，为使该模型更具一般化，且更符合实务上的存货管理系统，我们假设设置成本为一决策变量，并假设前置时间内的需求量符合常态分配条件，发展出一套算法(Algorithm)以决定最适的订购策略。关键词存货瑕疵品设置成本前置时间1引言在企业的存货管理决策中，前置时间(leadtime)的控制愈来愈受到重视，同时也是许多学者深感兴趣的主题之一。在传统的经济订购量(EOQ)和经济生产模型(EPQ)，设置成本(setupcost)一直被视为常数。然而在实务上，设置成本是可以控制的，且可藉由如员工的在职训练、程序的改变或采用新设备来缩减的。日本企业运用及时存货管理系统Just-In-Time(JIT)，无论在企业竞争优势及财务绩效上都可看到明显的成果。另在存货管理文献中，设置成本的缩减经Porteus[1]与其后学者(如Nasrietal.[2]；SarkerandCoates[3])不断地加以修正，已能接近真实的存货状况。环顾上述学者研究，都是将前置时间视为已知且不可控制的常数或随机变量。事实上，诚如Tersine[4]所言，一般前置时间系由订货准备、订货输送、供货商的前置时间、运送时间，及设置时间等五种成分所组成。在实务管理上，前置时间可藉由付出额外的赶工成本来加以控制的。经由前置时间的缩短，企业体可以降低安全存量、减少库存成本，及改善顾客服务水准，以提升企业的竞争力。LiaoandShyu[5]首先提出将前置时间视为唯一的决策变量之存货模型。Ben-DayaandRaouf[6]扩充其模型，将订货量也视为决策变量。其后陆续立于此一基础进一步将请购点也当作是决策变量[7-11]。最近Ouyang等学者[8]深入剖析了到货批量中含有瑕疵品的存货模型。至此，我们注意到上述研究皆在设置成本为固定的情况下，探讨前置时间缩减所带来的效益。在国内学者研究方面，发现有关随机需求量的存货决策(如陶菊春等[12]，万上海[13])，及郝春虹[14]学者有关考虑增值税条件下的存货模型都有不错的研究成果。本文推广在Ouyang等学者[8]文章中的假设，修正并建构一个包含瑕疵品的连续性检查),,,(LrAQ存货模型，祈能提供一个更接近真实，且具实务操作特性的存货管理系统模型。另一方面，经过数值范例，我们可验证本文所提新模型成本确实比过去学者的存货模型成本较具经济效益。2符号说明与假设2.1符号说明D：每年非瑕疵品的期望需求量h：每单位非瑕疵品每年的储存成本h'：每单位瑕疵品每年的处理成本1：每单位缺货成本2：每单位销售损失(lostsales)：每单位货品的检查成本(inspectingcost)：缺货期间缺货数量容许欠拨(backordered)的比例,[0,1]*庄博仁，1964年出生，博士，助理教授。主要研究方向：存货理论。**戴嫒坪，1967年出生，硕士，台湾大华技术学院国际贸易系讲师，淡江大学管理科学研究所博士生。Email:[e-mail]：瑕疵率(defectiverate),p[0,1],随机变量，且平均数为Mp，变异数为Vp；gp()＝p机率密度函数(p.d.f.)2：每年前置时间内需求量的变异数E()：数学期望值Q：包括瑕疵品的订购量，决策变量A：每次订购的设置成本,决策变量r：请购点，决策变量L：前置时间，决策变量X：前置时间内的需求量服从常态分配(d.f.)F，平均数DL，标准差Lx：Maxx,02.2假设(1)以连续检查(continuouslyreviewed)的方式监视存货水准；当存货量降至请购点r时，即发出订单。(2)请购点LkDLr，其中DL为前置时间内的平均需求量；Lk为前置时间内的安全存量(safetystock,SS)，k为安全因子。(3)前置时间内的作业是由n个互相独立的成份所组成。第i个成份有充分赶工下的最小作业时间ai，正常的作业时间bi，和单位时间的赶工成本ci；为方便讨论将组成成分重新排列使得cc...c12n。且赶工时，优先考虑第1个成份(因其具有最小的单位时间赶工成本)，其次是第2个成分，以此类推。(4)令Lbjjn01，并以Li表示成份1,2,…,i均在充分赶工的情形下之前置时间的长度，因此Li的数学式为Lbbaijjnjjji11(),i=1,2,…,n;且在已知的前置时间LLLii[,]1下，其一个周期的总赶工成本为CLcLLcbaiijjjji()()()111。(5)当含有瑕疵率p的货品量Q到达时，检查所有的订购品(非破坏性检查)；假设不会发生错误，则期初有效存货水准降为(即非瑕疵品或可售商品的数量))1(pQ。经检查后所发现的瑕疵品予以保留至下次进货时，退还给供货商。3Ouyang等学者的模型回顾Ouyang等学者[8]提出考虑到货批量中含有瑕疵品的),,(LrQ存货模型，全年期望总成本是由设置成本、非瑕疵品的持有成本、缺货成本、检查成本，以及前置时间内的赶工成本组成。),,(LrQEAC=)1()()1()(21pMQrXELCAD)()1(rXEDLrhpMDpMQ1)1(2(1)式中，)1(pMQD：全年的期望订购次数(详见Schwaller[15]或Shih[16])。而dppgppM)(10：随机变量p的平均数;)(rXE：周期末的期望缺货数量10)()1(210)(2)1(dppgpphdppgph0)2)(2()(2pVpMhhpMhhh(2)此外，前置时间内需求量X的机率分配Fx()服从常态分配，平均数为DL，标准差为L，而请购点为rDLkL，其中k是安全因子，我们考量用k取代r作为决策变量。因此，周期结束的期望缺货量EXr()可改写为)(rXErxdFrx)()(kzzdFkzL)()(0)(kGL,其中，Fzz()为标准常态变量Z的机率密度函数。因此，(1)式可改写为),,(LkQEAC=)1()()1(21)(pMQkGLLCAD)()1(kGkLhpMDpMQ1)1(2(3)4新模型—模型的扩充相对于Ouyang等学者[8]的模型,我们将设置成本A视为决策变量，并且尝试求取设置成本和其它相关的存货成本(如(3)式)总和的最小值。但设置成本A限制在00AA范围内,0A是为投资前的设置成本，即原来的前置成本。),,,(LkAQEAC=)(A),,(LkQEAC(4)其中，每单位资金每年的成本(如利息)，)(A为对数的投资函数，函数型态如下：)ln()(0AAbA，],0(0AA(5)b/1：每增加一元的投资在设置成本A上可降低的百分比。Hall[17]在其研究报告中指出，此种类型的投资成本和日本企业界的经验相符，譬如Nasri等学者[2]也采用过。将(5)和(3)式代入(4)式中，求取最小值),,,(LkAQEAC=AAb0ln)1()()1()(21pMQkGLLCADhLkGk()()1pMDpMQ1)1(2,],0(0AA(6)为求解此非线性规划的问题，我们首先忽略],0(0AA的限制，将函数),,,(LkAQEAC分别对Q,A,k和LLLii[,]1作一阶偏微分)1(2)1(2)()1(21)(),,,(pMpMQkGLLCADQLkAQEAC(7))1(),,,(pMQDAbALkAQEAC(8)kLkAQEAC),,,()()1(1)1()()1(21kzPLhpMQkzPLD,(9)其中，Pkz()PZkz()且)()1(2/121)1(2)(2/1)1(21),,,(kGkLhpMQkGLDLLkAQEAC)1(pMQiDc.(10)经由检视二阶充分条件,可清楚验证),,,(LkAQEAC并非是),,,(LkAQ的凸函数。然而，对任意给定的),,(kAQ值而言，),,,(LkAQEAC为],[1iiLLL的凹函数,因为0)]()1([41)1(4)()]1([),,,(2/32/32122kGkLhMQkGLDLLkAQEACp.因此，给定),,(kAQ值，最小全年期望总成本必发生在区间[,]LLii1的端点上。另一方面，对已知的LLLii[,]1,分别令(7)，(8)，和(9)式等于零，经移项整理可得：2/1)()]1(21[)(2kGLLCADQ(11)DpMbQA)1((12)和)]1(21[)1)(1()1()(DpMhQpMhQkzP.(13)从(11)~(13)式,我们很难确切的寻求到),,(kAQ的精确解。所以，建立以下的算法(Algorithm)来帮助求其),,,(LkAQ最佳解。步骤一：对每一个前置时间Li,i=0,1,2,…,n,执行(i)到(v)(i)设起始值01AAi且ki10，得Gki()1=0.3989(查表SilverandPeterson[18,pp.779-786]或Brown[19,pp.95-103])。(ii)将1iA和Gki()1代入(11)式求算Qi1。(iii)将Qi1分别代入(12)和(13)式，求算2iA和Pkzi()2。(iv)查表SilverandPeterson[18]或Brown[19]，由Pkzi()2值决定ki2与Gki()2。(v)重复(ii)到(iv)，直到Qi,iA和ki收敛。步骤二：比较iA和0A(i)若AAi0,则Ai为可行解，然后跳到步骤三。(ii)若AAi0,则Ai为不可行解，对给定的Li，令AAi0，由(11)到(13)式中求出相对应的),(iikQ值，重复此程序直到收敛为止(此求解程序类似步骤一)，然后才进行步骤三。步骤三：对每一组),,,(iiiiLkAQ，i=0,1,2,…,n，计算其对应的全年期望总成本),,,(iiiiLkAQEAC。步骤四：找出),,,(,....,2,1,0iiiiniLkAQEACMin若),,,(****LkAQEAC=),,,(,....,2,1,0iiiiniLkAQEACMin,则),,,(****LkAQ为该模型的最佳解。此时rDLkL****为最佳请购点。5数值范例为了与Ouyang等学者所提出的存货模型做比较，本例题沿用其所设定的数值资料：D=600件/年,0A=$200/每次订购,h=$20/件/年,h'=$10/件/年,=7件/周,=$1.6/件,1=$50/件,2=$150/件。前置时间由三个成分所组成(见表1),瑕疵率p的机率分配呈Beta分配，其相关参数s=1，t=4；即p的机率密度函数为otherwise,010,3)1(4)(pppg.因此，p的平均数Msstp/()0.2,变异数Vstststp/[()()]210.02667。所以，从(2)式可求得16。此外，为缩减设置成本，假设1.0和800,5b。假设前置时间呈常态分配，缺货期间缺货数量允许欠拨的比例分别为0，0.5，0.8和1四种，运用算法(Algorithm)的求解程序可得表2的结果。为进一步了解设置成本缩减的影响效果，同时列出Ouyang等学者所提出设置成本为固定下的存货模型做比较。表1前置时间相关数据资料前置时间组成成分i正常作