用正交变换化二次型为标准型

第三节用正交变换化二次型为标准形第六章1.正交变换法2.小结3.思考与练习一、正交变换法.:为正交变换称T定义.定理.,,1TTnnTTITTRT即满足：若.为正交矩阵则称TnTATTATT11,,TnnA阶正交矩阵则存在阶实对称矩阵为设.,,1,niAi的特征值为其中使得-2-得标准正交化分别将,,,)3(1iini即基础解系的基的解空间分别求得,0)()2(iVXAIi.,,)1(1kA的全部互异特征值求矩阵),,,,,,()4(11111kknknT令.,,1,,,1kiiini.,,1,,,1kiiini-3-用正交变换化二次型为标准形的步骤T则为正交矩阵,且kkTATTATT111knknII11-4-例2.求一个正交变换434232413121321222222),,(xxxxxxxxxxxxxxxf化为标准形,并求正交变换矩阵.解：,PYX把二次型二次型的矩阵为：,0111101111011110A其特征多项式为：111111111111)(AIfA-5-(1)求的特征值：A1111111111111把第2,3,4列都加到第1列上,有1111111111111)1(提取公因子把第2,3,4行分别减去第1行,有1000212022101111)1(-6-按第1列展开100212221)1(按最后1行展开,得1221)1(2.)1)(3()32()1(322).(1,34,3,21三重于是，A的特征值为：-7-(2)求A的特征向量：,31对于解方程组0)3(XAI得基础解系为：。11111得基础解系为：,14,3,2对于解方程组0)(XAI.1001,0101,0011432将432,,Schmidt正交化得正交向量组：-8-,001122将4321,,,单位化得：,012/12/1),(),(2222333.13/13/13/1),(),(),(),(222243333444,2/12/12/12/11.2/36/36/36/3,06/26/16/1,002/12/1432-9-23002163620216361212163612121T于是，正交矩阵为TYX所以，原二次型在正交变换下可化为标准形：.3)(24232221yyyyYg-10-例3.用正交变换将二次型323121232221321222),,(xxxxxxxxxxxxf化为标准形,并求正交变换矩阵.解：二次型的矩阵为：111111111A.2,1,2321的特征值为易知A,1011,1112.1213对应的线性无关的特征向量为-11-将321,,单位化得：,210211,3131312.616261361312162310613121),,(321TTYX于是，正交矩阵为：所以，原二次型在正交变换下可化为标准形：.22)(232221yyyYg-12-用正交变换化实二次型为标准形(主轴定理),它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。即将二次曲线和二次曲面的方程变形(化为标准形方程),选有主轴(正交矩阵的列向量)方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。例如,画图1658222121xxxx步骤：(1)令2221212158),(xxxxxxf特征值和对应的正交单位特征向量为二次型的矩阵为：5441A用正交变换化实二次型为标准形的应用-13-所以，正交矩阵为：5/25/15/15/2T且在正交变换x=Ty下,原二次型化为标准形：22212173),(yyyyg因此双曲线1658222121xxxx的图形为以21,方向为主轴方向的双曲线,即标准位置双曲线的旋转-14-5/25/1,5/15/2;7,3212112-15-图形(如下图所示)。-16-得标准正交化分别将,,,)3(1iini即基础解系的基的解空间分别求得,0)()2(iVXAIi.,,)1(1kA的全部互异特征值求矩阵),,,,,,()4(11111kknknT.,,1,,,1kiiini.,,1,,,1kiiini用正交变换化二次型为标准形的步骤：为正交矩阵。1.求一正交变换,将二次型323121232232124433),,(xxxxxxxxxxxf化为标准形,并求正交变换矩阵.解：二次型的矩阵为：312132220A.2),(421二重的特征值为易知A-17-对于,41特征向量为：,0211,2012对于,22特征向量为：.1123将321,,单位正交化得：,05/25/11,30/530/130/22.6/16/16/23-18-6/130/506/130/15/26/230/25/1),,(321TTYX于是，正交矩阵为：所以，原二次型在正交变换下可化为标准形：.244)(232221yyyYg-19-