(新课标)高中数学《2.1.1椭圆及其标准方程》课件 新人教A版选修1-1

2．1椭圆2．1.1椭圆及其标准方程【课标要求】1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，椭圆标准方程的推导与化简过程．2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形．【核心扫描】1．利用定义法、待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)2．会求简单的与椭圆相关的轨迹问题．(难点)自学导引1．椭圆的定义平面内与两个定点F1、F2的的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的叫做椭圆的焦距．距离之和等于常数(大于|F1F2|)焦点，两焦点间的距离想一想：在椭圆定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？提示当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)焦点坐标(－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c)a、b、c的关系c2＝a2－b2试一试：已知椭圆的标准方程中a＝5，b＝4，则椭圆的标准方程是什么？提示当焦点在x轴上时，其标准方程为x225＋y216＝1，当焦点在y轴上时，其标准方程为y225＋x216＝1.名师点睛1．椭圆的定义的应用(1)应用椭圆的定义和方程，把几何问题转化为代数问题，再结合代数知识解题．而椭圆的定义与三角形的两边之和联系紧密，因此，涉及线段的问题常利用三角形两边之和大于第三边这一结论处理．(2)椭圆的定义式：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a|F1F2|)，在解题中经常将|PF1|·|PF2|看成一个整体来灵活运用．2．椭圆标准方程的特点(1)a、b、c三个基本量满足a2＝b2＋c2且ab0，其中2a表示椭圆上的点到两焦点的距离之和，可借助如图所示的几何特征理解并记忆．(2)利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小，即看x2，y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上．较大的分母是a2，较小的分母是b2.3．求椭圆标准方程的方法(1)定义法，即根据椭圆的定义，判断出轨迹是椭圆，然后写出其方程．(2)待定系数法，即设出椭圆的标准方程，再依据条件确定a2、b2的值，可归纳为“先定型，再定量”，其一般步骤是：①定类型：根据条件判断焦点在x轴上还是在y轴上，还是两种情况都有可能，并设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)或y2a2＋x2b2＝1(ab0)；②确定未知量：根据已知条件列出关于a、b、c的方程组，解方程组，可得a、b的值，然后代入所设方程即可．题型一用待定系数法求椭圆的标准方程【例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和是10；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0，2)和(1，0)；(3)经过点(63，3)和点(223，1)．[思路探索]对于(1)、(2)可直接用待定系数法设出方程求解，但要注意焦点位置．对于(3)由于题中条件不能确定椭圆焦点在哪个坐标轴上，所以应分类讨论求解，为了避免讨论，还可以设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A0，B0，A≠B)然后代入已知点求出A、B.解(1)∵椭圆的焦点在x轴上，∴设它的标准方程为x2a2＋x2b2＝1(ab0)．∵2a＝10，∴a＝5，又∵c＝4，∴b2＝a2－c2＝52－42＝9.∴所求椭圆的标准方程为x225＋x29＝1.(2)∵椭圆的焦点在y轴上，∴设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．∵椭圆经过点(0，2)和(1，0)，∴4a2＋0b2＝1，0a2＋1b2＝1⇒a2＝4，b2＝1，故所求椭圆的标准方程为y24＋x2＝1.(3)法一①当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．∵点(63，3)和点(223，1)在椭圆上，∴（63）2a2＋（3）2b2＝1，（223）2a2＋12b2＝1.∴a2＝1，b2＝9.而ab0.∴a2＝1，b2＝9不合题意，即焦点在x轴上的椭圆的方程不存在．②当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．∵点(63，3)和点(223，1)在椭圆上，∴（3）2a2＋（63）2b2＝1，12a2＋（223）2b2＝1.∴a2＝9，b2＝1.∴所求椭圆的方程为y29＋x2＝1.法二设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)．∵点(63，3)和点(223，1)都在椭圆上，∴m·（63）2＋n·（3）2＝1，m·（223）2＋n·12＝1，即2m3＋3n＝1，8m9＋n＝1.∴m＝1，n＝19.∴所求椭圆的标准方程为x2＋y29＝1.规律方法求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件．当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时，把椭圆的方程设成mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)的形式有两个优点：①列出的方程组中分母不含字母；②不用讨论焦点所在的坐标轴，从而简化求解过程．【变式1】求适合下列条件的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(－3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0)；(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，－5)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26.解(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)．因为2a＝（5＋3）2＋02＋（5－3）2＋02＝10，2c＝6，所以a＝5，c＝3，所以b2＝a2－c2＝52－32＝16.所以所求椭圆的标准方程为x225＋y216＝1.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)．因为2a＝26，2c＝10，所以a＝13，c＝5.所以b2＝a2－c2＝144.所以所求椭圆标准方程为y2169＋x2144＝1.题型二椭圆定义的应用【例2】如图所示，点P是椭圆x25＋y24＝1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．[思路探索]可先利用a，b，c三者关系求出|F1F2|，再利用定义及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，最后求出S△F1PF2.解在椭圆x25＋y24＝1中，a＝5，b＝2，∴c＝a2－b2＝1.又∵P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝25①由余弦定理知：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos30°＝|F1F2|2＝(2c)2＝4②①式两边平方，得|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20③③－②，得(2＋3)|PF1|·|PF2|＝16，∴|PF1|·|PF2|＝16(2－3)，∴S△PF1F2＝12|PF1|·|PF2|·sin30°＝8－43.规律方法在椭圆中，由椭圆上的点、两个焦点组成的焦点三角形引出的问题很多，要解决这些题目，我们经常利用椭圆的定义，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式，这就需要我们在解题时，要充分理解题意，分析条件，利用椭圆定义、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式之间的联系建立三角形中的边角之间的关系．在解题中，经常把|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理．【变式2】已知经过椭圆x225＋y216＝1的右焦点F2的直线AB垂直于x轴，交椭圆于A、B两点，F1是椭圆的左焦点．求△AF1B的周长．解如图所示，由已知：a＝5，△AF1B的周长l＝|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF2|＋|BF1|)＝4a＝20.题型三与椭圆有关的轨迹问题【例3】(12分)已知B、C是两个定点，|BC|＝8，且△ABC的周长等于18.求这个三角形的顶点A的轨迹方程．审题指导建立坐标系→对比椭圆定义→确定a、b→轨迹方程[规范解答]以过B、C两点的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.如图所示．(2分)由|BC|＝8，可知点B(－4，0)，C(4，0)．由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，得|AB|＋|AC|＝10，(6分)因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a＝10；(8分)但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得b2＝a2－c2＝25－16＝9.(10分)所以点A的轨迹方程为x225＋y29＝1(y≠0)．(12分)【题后反思】利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由条件找到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定椭圆的方程．特别注意点A不在x轴上，因此y≠0.【变式3】已知动圆M过定点A(－3，0)，并且内切于定圆B：(x－3)2＋y2＝64.求动圆圆心M的轨迹方程．解设动圆M的半径为r，则|MA|＝r，|MB|＝8－r，∴|MA|＋|MB|＝8，且8|AB|＝6，∴动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(－3，0)，B(3，0)，且2a＝8，∴a＝4，c＝3，∴b2＝a2－c2＝16－9＝7.∴所求动圆圆心M轨迹方程是x216＋y27＝1.方法技巧分类讨论思想在椭圆中的应用在本节内容中，最常见的分类讨论是因焦点的位置不确定而引起的讨论．【示例】椭圆的一个顶点为A(2，0)，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程．[思路分析]题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置，进行分类讨论．解①当A(2，0)为长轴端点时，a＝2，b＝1，椭圆的标准方程为：x24＋y2＝1；②当A(2，0)为短轴端点时，b＝2，a＝4，椭圆的标准方程为：x24＋y216＝1.综上所述，椭圆的标准方程为x24＋y2＝1或x24＋y216＝1.方法点评本题要求根据椭圆上的点和长短轴之间的关系求标准方程，考查椭圆的标准方程和思考问题的全面性；椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的形状的，因而要考虑两种情况．