平面的基本性质及推论

1.2.1平面的基本性质1象这些桌面、平静的湖面、镜面、黑板面等都给我们以____的印象一.平面的概念：（1）平面的直观认识光滑的桌面、平静的湖面等都是我们很熟悉.（2）平面的特征：平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。平面ADCB平面α、平面ABCD（3）.平面的表示方法几何画法：通常用平行四边形来表示平面．符号表示：通常用希腊字母等来表示，如：平面也可用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如：平面AC．,,、平面AC（1）水平放置的平面：（2）垂直放置的平面：aß一般用水平放置的正方形的直观图作为水平放置的平面的直观图（3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。二.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：ABa点A在直线a上：记为：A∈a点B不在直线a上：记为：B∈a点A在平面α内：记为：A∈α点B不在平面α上：记为：B∈αABα(1)点与直线的位置关系：(2)点与平面的位置关系：(3)直线与平面的位置关系：直线a上的所有点都在平面α上，称直线a在平面α内，或称平面α通过直线a.记为：αa直线a与平面α只有一个公共点A时，称直线a与平面α相交。记为：a∩α＝AαaαAa如果把桌面看作一个平面，把笔看作是一条直线的话，你觉得在什么情况下，才能使笔所代表的直线上所有的点都能在桌面上？··公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。αlAB桌面αAB观察下列图形，你能得到什么结论？五.平面的基本性质公理1.如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内（即直线在平面内）。αlAB,,,AlBlABl符号表示：且文字语言：图形语言：符号语言：,ABAB若直线一是可以用来判定一条直线是否在平面内，即要判定直线在平面内，只需确定直线上两个点在平面内即可；二是可以用来判定点在平面内，即如果直线在平面内、点在直线上，则点在平面内.三是表明平面是“平的”公理1的作用有三：用手指头将一本书平衡地摆方在空间某一位置，至少需要几个手指头？手指的位置需要满足什么条件？公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.αACBCBACBA,,,,使有且只有一个平面三点不共线文字语言：图形语言：符号语言：公理2.过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面.αACB或记为平面ABC公理2的作用确定平面的依据;判定点或线的共面公理3.如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线Pαβa观察下列图形，你能得到什么结论？P天花板α墙面β墙面γ文字语言：图形语言：符号语言：公理3.如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线PaαβPlPlP且如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线。一是判定两个平面相交，即如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面相交；二是判定点在直线上，即点若是某两个平面的公共点，那么这点就在这两个平面的交线上.公理3的作用有三：三.两平面两个公共点的连线就是它们的交线PlβαABCDA1B1C1D1O【例1】在长方体ABCD—A1B1C1D1中，画出平面A1C1D与平面B1D1D的交线.DABCE【例2】如图画出平面与平面ADE的交线画出DE与平面的交点PA变式：如图，已知△ABC三边所在的直线分别交平面于点P、Q、R，求证：P、Q、R三点在同一直线上。BCQPR证明：ABPPABP，平面PABC点在平面与平面的交线上（公理2）同理可证：QRABC，也在平面与平面的交线上.PQR，，三点共线要证明空间诸点共线，通常证明这些点同时落在两个相交平面内，则落在它们的交线上.ABCQPR推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。βaABC.AaAa直线有且只有一个平面，使得，数学语言表示:推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。βCab数学语言表示:.abCab直线有且只有一个平面，使得，推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。βACBab数学语言表示://.abab直线有且只有一个平面，使得，思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平面内，由它们中的两条来确定平面，可以确定多少个平面?三个推论的证明（以推论2的证明为例）推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。已知：直线a与b交与A求证：经过直线a、b有且只有一个平面α。【证明】（存在性）如图4所示，在直线a,b上分别取不同于点A的点C、B，得不在同一直线上的三点A、B、C，过这三个点有且只有一个平面α（公理2）。又（公理1）所以平面α是过相交直线a，b的平面。（唯一性）如果过直线a和b还有另一平面β，那么A,B,C三点也一定都在平面β内，这样过不在一条直线上的三点A,B,C就有两个平面α、β了，这与公理2矛盾。所以过直线a，b的平面只有一个。综上知，过直线a、b有且只有一个平面。【例3】如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由.ABC共面∵A、B、C三点不在一条直线上证明：∴过A、B、C三点可以确定平面(公理3)∵A∈,B∈∴AB(公理1)同理BC,AC∴AB、AC、BC共面ABC证法2：∵A直线BC∴过点A和直线BC确定平面∵A∈,B∈BC∴B∈,∴AB同理AC∴AB、AC、BC共面ABC证法3：∵AB∩AC=A∴直线AB、AC确定一个平面∵B∈AB,C∈AC,C∈∴B∈∴BC(推论2)(公理1)∴直线AB、BC、CA都在平面内即它们共面ABC1.已知下列四个说法：①很平的桌面是一个平面②平面ABCD的面积为10cm2③平面是矩形或平行四边形④空间图形中，后引的辅助线是虚线其中正确的命题有A.0个B.1个C.2个D.3个练习个公共点。（4）平面α与平面βα.平面α，则a直线a，点A（3）若点A条直线确定一个平面。（2）经过同一点的三三点确定一个平面。（1）正确：2.判断下列命题是否相交，它们只有有限经过（×）（×）（×）（×）3．根据下列符号表示的语句，说出有关点、线、面的关系，并画出图形．BA,)1(ml,)2(l)3(QlQPlP,,,)4(●lA●lA点A在直线l上点A在直线l外AA●AA●点A在平面内点A在平面外AlAlll直线l在平面外直线l在平面内lll4填空思考与讨论:两个平面能将空间分成几部分?3或4两个平面相交1342132两个平面平行三个平面能将空间分成几部分?13244678作业1.直线l与过点P的三条直线a1,a2,a3分别交于A，B，C三点（A，B，C异于点P），求证：这四条直线共面。αa3ACPa1a2B2.如图找平面BA1C1与平面B1AC的交线ABCDA1B1C1D1