2008年考研数学一真题及答案详解

第1页共22页2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设函数则的零点个数(A)0(B)1(C)2(D)3(2)函数在点处的梯度等于(A)(B)-(C)(D)(3)在下列微分方程中,以(为任意常数)为通解的是(A)(B)(C)(D)(4)设函数在内单调有界,为数列,下列命题正确的是(A)若收敛,则收敛(B)若单调,则收敛(C)若收敛,则收敛(D)若单调,则收敛(5)设为阶非零矩阵,为阶单位矩阵.若,则(A)不可逆,不可逆(B)不可逆,可逆(C)可逆,可逆(D)可逆,不可逆(6)设为3阶实对称矩阵,如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图,则的正特征值个数为(A)0(B)1(C)220()ln(2)xfxtdt()fx(,)arctanxfxyy(0,1)iijj123cos2sin2xyCeCxCx123,,CCC440yyyy440yyyy440yyyy440yyyy()fx(,)nxnx()nfxnx()nfx()nfxnx()nfxnxAnEn30AEAEAEAEAEAEAEAEAA(,,)1xxyzyzAA第2页共22页(D)3(7)设随机变量独立同分布且分布函数为,则分布函数为(A)(B)(C)(D)(8)设随机变量,且相关系数,则(A)(B)(C)(D)二、填空题(9-14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上.)(9)微分方程满足条件的解是.(10)曲线在点处的切线方程为.(11)已知幂级数在处收敛,在处发散,则幂级数的收敛域为.(12)设曲面是的上侧,则.(13)设为2阶矩阵,为线性无关的2维列向量,,则的非零特征值为.(14)设随机变量服从参数为1的泊松分布,则.三、解答题(15－23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(15)(本题满分10分)求极限.,XYXFxmax,ZXY2FxFxFy211Fx11FxFy~0,1XN~1,4YN1XY211PYX211PYX211PYX211PYX0xyy11yysinlnxyyxx0,102nnnax0x4x03nnnax224zxy2xydydzxdzdxxdxdyA12,αα12120,2AαAαααAX2PXEX40sinsinsinsinlimxxxxx第3页共22页(16)(本题满分10分)计算曲线积分,其中是曲线上从点到点的一段.(17)(本题满分10分)已知曲线,求曲线距离面最远的点和最近的点.(18)(本题满分10分)设是连续函数,(1)利用定义证明函数可导,且.(2)当是以2为周期的周期函数时,证明函数也是以2为周期的周期函数.(19)(本题满分10分),用余弦级数展开,并求的和.(20)(本题满分11分),为的转置,为的转置.证明:(1).(2)若线性相关,则.(21)(本题满分11分)设矩阵,现矩阵满足方程,其中,,(1)求证.(2)为何值,方程组有唯一解,求.(3)为何值,方程组有无穷多解,求通解.(22)(本题满分11分)2sin221LxdxxydyLsinyx0,0,022220:35xyzCxyzCXOYfx0xFxftdtFxfxfx2002()()xGxftdtxftdt21(0)fxxx1211nnnTTAααββTααTββ()2rA,αβ()2rA2221212nnaaaaaAAAXB1,,TnxxX1,0,,0B1nnaAa1xa第4页共22页设随机变量与相互独立,的概率分布为,的概率密度为,记,(1)求.(2)求的概率密度.(23)(本题满分11分)设是总体为的简单随机样本.记,,(1)证明是的无偏估计量.(2)当时,求.2008年考研数学一试题分析、详解和评注一、选择题：(本题共8小题，每小题4分，共32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)（1）设函数20()ln(2)xfxtdt，则()fx的零点个数为【】(A)0.(B)1.(C)2.(D)3．【答案】应选(B).【详解】22()ln(2)22ln(2)fxxxxx．显然()fx在区间(,)上连续，且(1)(1)(2ln3)(2ln3)0ff，由零点定理，知()fx至少有一个零点．又2224()2ln(2)02xfxxx，恒大于零，所以()fx在(,)上是单调递增的．又因为(0)0f，根据其单调性可知，()fx至多有一个零点．故()fx有且只有一个零点．故应选(B).XYX11,0,13PXiiY1010Yyfy其它ZXY102PZXZ12,,,nXXX2(,)N11niiXXn2211()1niiSXXn221TXSnT20,1DT第5页共22页（2）函数(,)arctanxfxyy在点(0,1)处的梯度等于【】(A)i(B)i.(C)j.(D)j.【答案】应选(A).【详解】因为222211fyyxxxyy．222221xfxyxyxyy．所以(0,1)1fx，(0,1)0fy，于是(0,1)(,)igradfxy.故应选(A).（3）在下列微分方程中，以123cos2sin2xyCeCxCx（123,,CCC为任意的常数）为通解的是【】(A)440yyyy.(B)440yyyy.(C)440yyyy.(D)440yyyy.【答案】应选(D).【详解】由123cos2sin2xyCeCxCx，可知其特征根为11，2,32i，故对应的特征值方程为2(1)(2)(2)(1)(4)ii32443244所以所求微分方程为440yyyy．应选(D).（4）设函数()fx在(,)内单调有界，{}nx为数列，下列命题正确的是【】．(A)若{}nx收敛，则{()}nfx收敛(B)若{}nx单调，则{()}nfx收敛(C)若{()}nfx收敛，则{}nx收敛.(D)若{()}nfx单调，则{}nx收敛.第6页共22页【答案】应选(B).【详解】若{}nx单调，则由函数()fx在(,)内单调有界知，若{()}nfx单调有界，因此若{()}nfx收敛．故应选(B).（5）设A为n阶非零矩阵，E为n阶单位矩阵．若30A，则【】则下列结论正确的是：(A)EA不可逆，则EA不可逆.(B)EA不可逆，则EA可逆.(C)EA可逆，则EA可逆.(D)EA可逆，则EA不可逆.【答案】应选(C).【详解】故应选(C).23()()EAEAAEAE，23()()EAEAAEAE．故EA，EA均可逆．故应选(C).（6）设A为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程1xxyzAyz在正交变换下的标准方程的图形如图，则A的正特征值个数为【】(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.【答案】应选(B).【详解】此二次曲面为旋转双叶双曲面，此曲面的标准方程为222221xyzac．故A的正特征值个数为1．故应选(B).（7）设随机变量,XY独立同分布且X的分布函数为()Fx，则max{,}ZXY的分布函数为【】(A)2()Fx.(B).(C).(D).【答案】应选(A)．【详解】()()FxFy21[1()]Fx[1()][1()]FxFy()max{,}FzPZzPXYz第7页共22页．故应选(A)．（8）设随机变量,,且相关系数，则【】(A)(B)(C)(D)【答案】应选(D)．【详解】用排除法．设．由，知，正相关，得．排除（A）和（C）．由，，得．，．从而排除(B).故应选(D)．二、填空题：(9－14小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.)（9）微分方程满足条件的解是.【答案】应填．【详解】由，得．两边积分，得．代入条件，得．所以．（10）曲线在点的切线方程为.【答案】应填．【详解】设，则，，，．于是斜率．故所求得切线方程为．（11）已知幂级数在处收敛，在处发散，则幂级数2()()()PXzPYzFzFzFzXN(0,1)(1,4)YN1XY{21}1PYX{21}1PYX{21}1PYX{21}1PYXYaXb1XYXY0a(0,1)XN(1,4)YN0,1,()EXEYEaXbaEXb10ab1b0xyy(1)1yy1yxdyydxxdydxyxln||ln||yxC(1)1y0C1yxsin()ln()xyyxx(0,1)1yx(,)sin()ln()Fxyxyyxx1(,)cos()1xFxyyxyyx1(,)cos()xFxyxxyyx(0,1)1xF(0,1)1yF(0,1)1(0,1)xyFkF1yx0(2)nnnax0x4x第8页共22页的收敛域为.【答案】．【详解】由题意，知的收敛域为，则的收敛域为．所以的收敛域为．(12)设曲面是的上侧，则.【答案】．【详解】作辅助面取下侧．则由高斯公式，有．．(13)设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量，，．则的非零特征值为___________.【答案】应填1．【详解】根据题设条件，得．记，因线性无关，故是可逆矩阵．因此，从而．记，则与相似，从而有相同的特征值．0(2)nnnax(1,5]0(2)nnnax(4,0]0nnnax(2,2]0(2)nnnax(1,5]224zxy2xydydzxdzdxxdxdy41:0z2xydydzxdzdxxdxdy122xydydzxdzdxxdxdyxydydzxdzdxxdxdy2224xyydVxdxdy2222410()2xyxydxdydrrdr22200116424A12,10A2122AA1212121202(,)(,)(0,2)(,)01AAA12(,)P12,12(,)P0201APP10201PAP0201BAB第9页共22页因为，，．故的非零特征值为1．(14)设随机变量服从参数为1的泊松分布，则____________．【答案】应填.【详解】因为服从参数为1的泊松分布，所以．从而由得．故．