2008年辽宁省高考数学试卷(理科)答案与解析

12008年辽宁省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2008•辽宁）已知集合，则集合{x|x≥1}为（）A．M∩NB．M∪NC．∁R（M∩N）D．∁R（M∪N）【考点】交、并、补集的混合运算．菁优网版权所有【分析】由题意知，N={x|x≤﹣3}，分别解出集合M，N，然后根据交集的定义判断集合{x|x≥1}与M，N的关系．【解答】解：依题M={x|﹣3＜x＜1}，N={x|x≤﹣3}，∴M∪N={x|x＜1}，∴CR（M∪N）={x|x≥1}，故选D．【点评】此题主要考查一元二次不等式的解法及集合的交集及补集运算，一元二次不等式的解法及集合间的交、并、补运算是高考中的常考内容，此题是其逆用已知集合元素的关系，求集合的关系，是一道好题．2．（5分）（2008•辽宁）等于（）A．B．C．1D．2【考点】极限及其运算；等差数列的前n项和．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】分子1+3+5+…+（2n﹣1）是一个等差数列的求和，利用等差数列求和公式求出，再求极限【解答】解：依题故选B【点评】本小题主要考查对数列极限的求解．3．（5分）（2008•辽宁）圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点的充要条件是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆相交的性质．菁优网版权所有【分析】当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆没有公共点，这是充要条件．【解答】解：依题圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点2故选C．【点评】本小题主要考查直线和圆的位置关系；也可以用联立方程组，△＜0来解；是基础题．4．（5分）（2008•辽宁）复数的虚部是（）A．B．C．D．【考点】复数的代数表示法及其几何意义．菁优网版权所有【分析】本小题主要考查复数的相关运算及虚部概念．【解答】解：依题：．∴虚部为．故选B．【点评】本题是对基本概念的考查．5．（5分）（2008•辽宁）已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足，则等于（）A．B．C．D．【考点】向量加减混合运算及其几何意义．菁优网版权所有【分析】本小题主要考查平面向量的基本定理，把一个向量用平面上的两个不共线的向量来表示，这两个不共线的向量作为一组基底参与向量的运算，注意题目给的等式的应用【解答】解：∵依题∴故选A【点评】本题是向量之间的运算，运算过程简单，但应用广泛，向量具有代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．6．（5分）（2008•辽宁）设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（）A．B．[﹣1，0]C．[0，1]D．[，1]【考点】导数的几何意义．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】根据题意知，倾斜角的取值范围，可以得到曲线C在点P处斜率的取值范围，进而得到点P横坐标的取值范围．【解答】解：设点P的横坐标为x0，∵y=x2+2x+3，∴y′=2x0+2，3利用导数的几何意义得2x0+2=tanα（α为点P处切线的倾斜角），又∵，∴0≤2x0+2≤1，∴．故选：A．【点评】本小题主要考查利用导数的几何意义求切线斜率问题．7．（5分）（2008•辽宁）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有【专题】概率与统计．【分析】4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，由此能求出取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率．【解答】解：4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件总数n==6，取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4，∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件的概率计算公式的合理运用．8．（5分）（2008•辽宁）将函数y=2x+1的图象按向量平移得到函数y=2x+1的图象，则等于（）A．（﹣1，﹣1）B．（1，﹣1）C．（1，1）D．（﹣1，1）【考点】函数的图象与图象变化．菁优网版权所有【分析】本小题主要考查函数图象的平移与向量的关系问题．依题由函数y=2x+1的图象得到函数y=2x+1的图象，需将函数y=2x+1的图象向左平移1个单位，向下平移1个单位；故．【解答】解：设=（h，k）则函数y=2x+1的图象平移向量后所得图象的解析式为y=2x﹣h+1+k∴4∴∴=（﹣1，﹣1）故选A【点评】求平移向量多采用待定系数法，先将平移向量设出来，平移后再根据已知条件列出方程，解方程即可求出平移向量．9．（5分）（2008•辽宁）生产过程有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲乙丙等6名工人中安排4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲乙两工人中安排1人，第四道工序只能从甲丙两工人中安排1人，则不同的安排方案有（）A．24种B．36种C．48种D．72种【考点】排列、组合的实际应用．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】根据题意，按第一道工序由甲或乙来完成，分2种情况讨论，再分析第四道工序的完成的情况数目，由分类计数原理的公式，计算可得答案．【解答】解：依题若第一道工序由甲来完成，则第四道工序必由丙来完成，故完成方案共有A42=12种；若第一道工序由乙来完成，则第四道工序必由丙二人之一来完成，故完成方案共有A21•A42=24种；∴则不同的安排方案共有A42+A21•A42=36种，故选B．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，注意分情况讨论时，一定要不重不漏．10．（5分）（2008•辽宁）已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）A．B．3C．D．【考点】抛物线的简单性质．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义可得d=|PF|+|PA|≥|AF|，再求出|AF|的值即可．【解答】解：依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，则，依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和．故选A．【点评】本小题主要考查抛物线的定义解题．511．（5分）（2008•辽宁）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（）A．不存在B．有且只有两条C．有且只有三条D．有无数条【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】先画出正方体，然后根据题意试画与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线，从而发现结论．【解答】解：在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点．如图：故选D．【点评】本题主要考查立体几何中空间直线相交问题，同时考查学生的空间想象能力．12．（5分）（2008•辽宁）设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数，则满足的所有x之和为（）A．﹣3B．3C．﹣8D．8【考点】偶函数．菁优网版权所有【专题】压轴题．【分析】f（x）为偶函数⇒f（﹣x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数⇒f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）则a=b或a=﹣b【解答】解：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数∴若时，必有或，整理得x2+3x﹣3=0或x2+5x+3=0，所以x1+x2=﹣3或x3+x4=﹣5．∴满足的所有x之和为﹣3+（﹣5）=﹣8，故选C．【点评】本题属于函数性质的综合应用，解决此类题型要注意：（1）变换自变量与函数值的关系：①奇偶性：f（﹣x）=f（x）②增函数x1＜x2⇔f（x1）＜f（x2）；减函数x1＜x2⇔f（x1）＞f（x2）．（2）培养数形结合的思想方法．6二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2008•辽宁）函数的反函数是y=．【考点】反函数．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】对于分段函数的反函数要分段来求．解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：（1）换：x、y换位，（2）解：解出y，（3）标：标出定义域，据此即可求得反函数．【解答】解：当x＜0时，y=x+1的反函数是：y=x﹣1．（x＜1）；当x≥0时，y=ex的反函数是：y=lnx．（x≥1）；∴函数的反函数是y=，故答案为：y=．【点评】本小题主要考查求反函数基本知识．求解过程要注意依据函数的定义域进行分段求解以及反函数的定义域问题．求反函数，一般应分以下步骤：（1）由已知解析式y=f（x）反求出x=Ф（y）；（2）交换x=Ф（y）中x、y的位置；（3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域）．14．（4分）（2008•辽宁）在体积为的球的表面上有A，B，C三点，两点的球面距离为，则球心到平面ABC的距离为．【考点】点、线、面间的距离计算；球的体积和表面积．菁优网版权所有【专题】计算题．【分析】根据球的体积，首先就要先计算出球的半径．再根据A、C两点的球面距离，可求得所对的圆心角的度数，进而根据余弦定理可得线段AC的长度为，所以△ABC为直角三角形，所以线段AC的中点即为ABC所在平面的小圆圆心，进而可得球心到平面ABC的距离．【解答】解析：设球的半径为R，则，∴设A、C两点对球心张角为θ，则，∴，∴由余弦定理可得：，7∴AC为ABC所在平面的小圆的直径，∴∠ABC=90°，设ABC所在平面的小圆圆心为O'，则球心到平面ABC的距离为d=OO'=【点评】本小题主要考查立体几何球面距离及点到面的距离．15．（4分）（2008•辽宁）已知的展开式中没有常数项，n∈N*，2≤n≤8，则n=5．【考点】二项式定理的应用．菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题．【分析】先将问题转化成二项式的展开式中没有常数项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．转化成方程无解．【解答】解：依题对n∈N*，2≤n≤8中，展开式中没有常数项∴不含常数项，不含x﹣1项，不含x﹣2项展开式的通项为Tr+1=Cnrxn﹣rx﹣3r=Cnrxn﹣4r据题意知当n∈N*，2≤n≤8时无解通过检验n=5故答案为5【点评】本题考查数学中的等价转化的能力和利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项．16．（4分）（2008•辽宁）已知f（x）=sin（ω＞0），f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，则ω=．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有【专题】计算题；作图题；压轴题．【分析】根据f（）=f（），且f（x）在区间上有最小值，无最大值，确定最小值时的x值，然后确定ω的表达式，进而推出ω的值．【解答】解：如图所示，∵f（x）=sin，8且f（）=f（），又f（x）在区间内只有最小值、无最大值，∴f（x）在处取得最小值．∴ω+=2kπ﹣（k∈Z）．∴ω=8k﹣（k∈Z）．∵ω＞0，∴当k=1时，ω=8﹣=；当k=2时，ω=16﹣=，此时在区间内已存在最大值．故ω=．故答案为：【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查逻辑思维能力，分析判断能力，是基础题．三、解答题（共6小题，满分74分）17．（12分）（2008•辽宁）在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=．（Ⅰ）若△ABC的面积等于，求a，b；（Ⅱ）若sinC+sin（B﹣A）=2sin2A，求△ABC的面积．【考点】余弦定理的应用．菁优网版权所有【分析】（Ⅰ）先通过余弦定理求出a，b的关系式