职高高一数学—函数的实际应用举例

翡翠竹林2017年12月生活实际：某城市制定每户月用水收费（含用水费和污水处理费）标准：用水量不超过10m3部分超过10m3部分收费/（元/m3）1.302.00污水处理费/（元/m3）0.300.80那么，每户每月用水量x(m3)与应交水费y(元)之间的关系是否可以用函数解析式表示出来？加强节水意识由表中看出，在用水量不超过10（m3）的部分和用水量超过10（m3）的部分的计费标准是不同的．因此，需要分别在两个范围内进行研究．用水量不超过10m3部分超过10m3部分收费/（元/m3）1.302.00污水处理费/（元/m3）0.300.80用水量/x水费/y书写解析式的时候，必须要指明是哪个范围的解析式．用水量/x水费/y））（10x(128.201x06.1)(xxxf分段函数注意：分段函数在整个定义域上仍然是一个函数，而不是几个函数，只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则，需要用相应的解析式来表示．例１设函数)0()0(12)(2xxxxxf（１）求函数的定义域；（２）求2,0,1fff的值．自变量的各不同取值范围的并集首先判断x所属的取值范围，再把x代入到相应的解析式中进行计算分析：分段函数的定义域是自变量的各不同取值范围的并集．求分段函数的函数值时，应该首先判断所属的取值范围，再把代入到相应的解析式中进行计算．解（1）函数的定义域为．（2）因为，故；因为，故；因为，故．,00,,20,2224f0,002011f1,012113f教材练习3.3定义域自变量的各不同取值范围的并集.函数值求分段函数的函数值时，应该首先判断点所属的取值范围，然后再把点代入到相应的解析式中进行计算.y在区间［250，400］上是一次函数．数量(份)价格(元)金额(元)买进30x0.206x卖出20x+10*2500.306x+750退回10(x-250)0.080.8x-200则每月获利润y＝［（6x＋750）＋（0.8x－200）］－6x＝0.8x＋550（250≤x≤400）∴x＝400份时，y取得最大值870元．答：每天从报社买进400份时，每月获的利润最大，最大利润为870元．例:一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月（以30天计算）有20天每天可卖出400份，其余10天只能卖250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？解：分段函数作图法在同一个直角坐标系中，要依次作出自变量的各个不同的取值范围内相应的图像，从而得到函数的图像．例:作出函数)01)0(1)(xxxxxfy（＜的图像．解作出1yx的图像，取0x的部分；作出1yx的图像，取v的部分；由此得到函数的图像．x≥0例某城市出租汽车收费标准为：当行程不超过3km时，收费7元；行程超过3km，但不超过10km时，在收费7元的基础上，超过3km的部分每公里收费1.0元；超过10km时，超过部分除每公里收费1.0元外，再加收50﹪的回程空驶费．试求车费y（元）与x（公里）之间的函数解析式，并作出函数图像．分析：收费标准依行车的公里数分为3种情况．解：根据题意，列出表格如下：故与之间的函数解析式为路程x/km0＜x≤33＜x≤10x＞10车费y/元77+(x-3)7+(10-3)+1.5（x-10)1015.1103437xxxxxy1.一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系：每间每天房价住房率20元18元16元14元65％75％85％95％要使每天收入达到最高，每间定价应为（）A.20元B.18元C.16元D.14元2.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少20个，为了取得最大利润，每个售价应定为()A.95元B.100元C.105元D.110元CAy=(90+x-80)(400-20x)应用知识强化练习3．某城市出租汽车统一价格，凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费，行程超过2km，按1.8元/km收费，另外，遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算，陈先生坐了一趟这种出租车，车费17元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程介于（）A．5～7kmB．9～11kmC．7～9kmD．3～5kmA应用知识强化练习小结：•解决函数应用问题的基本步骤•利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行：(一)审题；(二)建模；(三)求模；(四)还原．•这些步骤用框图表示如图：数学模型：就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题，得出关于实际问题的数学描述．类型:二次函数模型的应用------最值问题例:某公司以每吨10万元的价格销售某种化工品，每年可售出1000吨．若该产品每吨的价格上涨x%，则每年的销售量将减少mx%(m＞0)．(1)当m＝12时，求销售额的最大值；(2)如果涨价能使销售额增加，求m的取值范围．[思路探索]先建立销售额与x的函数关系即函数模型，再利用函数模型解决实际问题．解当价格上涨x%，即价格为101＋x100万元时，销售量为10001－mx100吨，销售总额为y＝10＋x10(1000－10mx)＝－mx2＋100(1－m)x＋100000＜x＜100m.(1)当m＝12时，y＝－12x2＋50x＋10000＝－12(x－50)2＋11250(0＜x＜200)．所以x＝50时销售额最大，最大值为11250万元．(2)涨价能使销售额增加，也就是x＞0时，y＞10×1000，即－mx2＋100(1－m)x＞0，∴－mx＋100(1－m)＞0.又m＞0，∴1001－mm＞x＞0，解得0＜m＜1.所以m的取值范围是(0,1)．•[规律方法]•(1)第一小题关键在于建立y关于x的二次函数；•(2)第二小题要理解“涨价且使销售额增加”的意义，从而得到关于m的不等式．•(3)二次函数模型是幂函数中的最重要的函数模型，根据实际问题建立函数关系式后，可以利用配方法、换元法、单调性等方法求其最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题．例：通过研究学生的学习行为，专家发现，学生注意力随着老师讲课时间的变化而变化．设f(t)表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律，其中f(t)越大，表明学生注意力越集中．经过实验分析得知f(t)＝－t2＋24t＋100，0＜t≤10，240，10＜t＜20，－7t＋380，20≤t≤45.•(1)讲课开始后5分钟与25分钟比较，何时学生的注意力更集中？•(2)讲课开始后多少分钟，学生注意力最集中？能持续多少分钟？•[思路探索]由于f(t)是关于t的分段函数，计算时应分清f(t)满足的关系式，分段求解，并加以比较，得出结论．解:(1)f(5)＝－52＋24×5＋100＝195.f(25)＝－7×25＋380＝205.∴讲课开始后25分钟学生的注意力更集中．(2)当0＜t≤10时，f(t)＝－(t－12)2＋244，此时，当t＝10时，f(t)max＝240；当10＜t＜20时，f(t)＝240；当20≤t≤45时，f(t)max＝f(20)＝240.∴讲课开始后10分钟到20分钟，学生注意力最集中，能持续10分钟．•[规律方法]•(1)对于分段函数，一定要注意对各个定义区间内的表达式进行分析，特别是区间的端点，以保证在各区间端点“不重不漏”．•(2)求解分段函数问题，必须分段处理，注意在有限制条件的前提下，如何进行分类讨论解决问题．练习：某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产100台时，又需可变成本(即另增加投入)0.25万元，市场对此商品的年需求量为500台，销售收入(单位：万元)函数为：R(x)＝5x－12x2(0≤x≤5)，其中x是产品生产的数量(单位：百台)．(1)把利润表示为产量的函数；(2)年产量为多少时，企业所获得的利润最大？解(1)由题意，得总成本为0.5＋0.25x，从而利润为f(x)＝5x－12x2－(0.5＋0.25x)＝－12x2＋4.75x－0.5＝－12x2＋194x－12(0≤x≤5)．(2)f(x)＝－12(x－194)2＋34532，当x＝194时，f(x)有最大值34532.∴年产量为475台时，利润最大为34532万元．练习：某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x(吨)．(1)求y关于x的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月用水量和水费．解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x≤4，乙的用水量也不超过4吨，y＝1.8(5x＋3x)＝14.4x；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨，即3x≤4，且5x＞4时，y＝4×1.8＋3x×1.8＋3(5x－4)＝20.4x－4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x＞4时，y＝2×4×1.8＋3×[(3x－4)＋(5x－4)]＝24x－9.6.346.92434548.44.205404.14xxxxxxy所以(2)由于y＝f(x)在各段区间上均单调递增，当x∈0，45时，y≤f45＜26.4；当x∈45，43时，y≤f43＜26.4；当x∈43，＋∞时，令24x－9.6＝26.4，解得x＝1.5.所以甲户用水量为5x＝7.5吨，付费S1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)；乙户用水量为3x＝4.5吨，付费S2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．类型：数据拟合型函数的应用问题例：某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表：投资A种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.651.391.8521.841.40投资B种商品金额(万元)123456获纯利润(万元)0.300.590.881.201.511.79•该经营者准备第七个月投入12万元经营这两种商品，但不知A，B两种商品各投入多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第七个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．•[思路探索]先作出散点图，根据散点图设出拟合函数，然后检验判定，选择恰当拟合函数解决问题．解：以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示．•观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图(1)所示．•B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟．如图(2)所示．设y＝kx＋b(k≠0)，取点(1,0.30)和(4,1.20)代入，得0.30＝k＋b，1.2＝4k＋b，解得k＝0.3，b＝0.取(4,2)为最高点，则y＝a(x－4)2＋2(a≠0)，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，解得a＝－0.15，所以y＝－0.15(x－4)2＋2.所以y＝0.3x.设第七个月投入A，B两种商品的资金分别为x万元，(12－x)万元，总利润为W万元，那么W＝yA＋yB＝－0.15(x－4)2＋2＋0.3(12－x)，所以W＝－0.15(x－3)2＋0.15×9＋3.2.当x＝3时，W取最大值，约为4.55万元，此时B商品的投资为9万元．故该经营者下个月把12万元中的3万