您好,欢迎访问三七文档
1函数的基本性质一.函数的单调性:1.定义:设D为函数)(xf定义域的子集。对任意的D,21xx且21xx时,都有0)](()([0)()()()(1212121221)xxxfxfxxxfxfxfxf函数)(xfy在D上是增加的。对任意的D,21xx且21xx时,都有0)](()([0)()()()(1212121221)xxxfxfxxxfxfxfxf函数)(xfy在D上是减少的。2.图像特点:自左向右看图像是上升的。(图像在此区间上是增加的)自左向右看图像是下降的。(图像在此区间上是减少的)3.判断函数单调性的方法:(1)图像法:作出函数图像,由图像直观判断求解,只能用于判断。(数形结合)解题程序:解析式-----图像-----单调区间(2)性质法:需要先记清基本初等函数的单调性。高中基本初等函数:一次函数:)0(kbkxy,二次函数:)0(2acbcaxy反比例函数:)0(kxky,简单幂函数:3,2,21,1,1)(Rxy指数函数:)10(aaayx且,对数函数:)10(logaaxya且,“对勾”函数:)0(axaxy①axfy)(与)(xfy的单调性相同。②当0a时,函数)(xafy与)(xfy的单调性相同;当0a时,函数)(xafy与)(xfy的单调性相反;③在公共定义域内,增函数)(xf+增函数)(xg是增函数,减函数)(xf+减函数)(xg是减函数;增函数)(xf-减函数)(xg是增函数,减函数)(xf-增函数)(xg2是减函数;④两函数积的单调性:当)(xf,)(xg在公共区间上都是增(减)函数。若0)(,0)(xgxf,则)(xf)(xg在此区间上是增(减)函数。若0)(,0)(xgxf,则)(xf)(xg在此区间上是减(增)函数。⑤当)(xf恒为正值或恒为负值时,函数)(1xfy与)(xfy单调性相反。(3)复合函数)]([xgf单调性遵循“同增异减”法则。(4)定义法:(5)导数法:4.单调性的证明:利用定义证目前证明函数单调性的唯一方法,包括抽象函数的单调性证明。证明函数)(xfy在D上的单调性步骤:任取D,21xx——作差(商))()(12xfxf——变形——定号——下结论利用单调性定义证明函数单调性:(1)求证函数1)(xxf在区间,0上的单调递增。(2)求证函数xaxxf)(在区间,a上的单调递增。注:1.单调性函数的局部性质。函数的单调区间是定义域的子集,所以求函数的单调区间必须先求函数的定义域。2.单调区间的表示:端点值取舍,单调区间不能并。3.注意区分“f(x)在区间a,b上单调”与“f(x)的单调区间是a,b”.题型一:判断函数的单调性(求函数的单调区间):(2014·北京)1.下列函数中,在区间),0(上为增函数的是()A.1xyB.1xyC.xy2D.)1(log5.0xy32.求下列函数的单调区间:(1)]4,0[122xxxy,(2)112xy,(3)xxeey(4),212412xxyxxy(5)xxxf32)(2,xxxf11)(,(6)1-xy.32)(4)(,ln)(2xxxfxxxfxxf,21)(xxxf,xxxf2)(2(图像法)(7)223)(xxxf,xxy22(2017·全国Ⅱ))82(log)(22xxxf(复合函数单调性)题型二:函数单调性的应用:1.利用单调性比较大小:设函数)(xf在),(上是减函数,Rba,,且0ba,则下列选项正确的是()A.)()()()(bfafbfafB.)()()()(bfafbfafC.)()()()(bfafbfafD.)()()()(bfafbfaf2.利用单调性解不等式(函数型不等式求解):(1)已知)(xf是定义在]2,2[上的增函数,使)1()12(afaf成立的实数a的取值范围(2)函数0,40,4)(22xxxxxxxf,若)()2(2afaf,则a的取值范围。(3)若函数0,10,1)(2xxxxf,若)3()2(2xfxf,则实数x的取值范围。4(4)已知Rxxxxf,11)(,则不等式)43()2(2xfxxf的解集是画图像,利用函数图像,由单调性脱去”f”3.利用单调性求最值(值域)(1)(2016·北京)函数)2(1)(xxxxf的最大值(2)(2013·重庆))36()6)(3(aaa的最大值。(3)(2015·山东)已知函数)1,0()(aabaxfx的定义域和值域都是]0,1[,则ba。(4)(2015·浙江)已知1,661,)(2xxxxxxf则))2((ff,)(xf的最小值(5)若函数baxxxf2)(在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,且与b无关B.与a无关,且与b无关D.与a无关,且与b有关4.已知函数单调性,求参数取值范围。(1)已知函数2)1(2)(2xaxxf在区间]4,(上是减函数,则a的取值范围.变式:函数2)1(2)(2xaxxf的减区间是]4,(,则a为。注意区分“f(x)在区间a,b上单调”与“f(x)的单调区间是a,b”.1.设f(x)2ax24(a3)x5的单调减区间是,3,则a2.设f(x)2ax24(a3)x5在,3上是减函数,则a的取值范围是.(2)若函数axxf2)(的单调递增区间是),3[,则a=(3)若axxxf2)(2与1)(xaxg在区间]2,1[上都是减函数,则实数a的取值范围。5(4)已知函数)2(logaxya在]1,0[上是减函数,则a的取值范围是。(5)若函数0,1)1(log0,3)34()(2xxxaxaxxfa(0a且1a)在R上单调递减则a的取值范围。(6)设函数1,11,-)(2xaxxaxxxf,若存在,,,2121xxRxx使得)()(21xfxf成立,则a的取值范围。(分段函数的单调性应用)二.函数的奇偶性前提条件:定义域关于原点对称1.奇偶性的定义:如果对于函数()fx的定义域内的任意一个x,都有()()fxfx,则称函数()fx为偶函数;都有()()fxfx,则称函数()fx为奇函数。2.图像特征:具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称,奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。3.判断函数奇偶性的方法:(1)定义法:定义域关于原点对称,定义域内任意的x,都有)()()(xfyxfxf为偶函数;都有)()()(xfyxfxf为奇函数。(2)图像法:)(xfy图像关于y轴对称)(xfy为偶函数。)(xfy图像关于原点对称)(xfy为奇函数。(3)性质法:在公共定义域内且定义域关于原点对称:①偶+偶=偶,奇+奇=奇②偶-偶=偶,奇-奇=奇③偶×偶=偶,奇×奇=偶偶×奇=奇64.证明奇偶数的方法:定义法步骤:(1)求函数定义域,看是否关于原点对称;(2)求)(xf看与)(xf的关系;(有时需要变形,化简)(3)下结论。5.结论:(1)若奇函数)(xf在0x处有定义,则0)0(f.(2)若)(xf为偶函数,则)()(xfxf.(3)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。(4)奇函数在关于原点对称的区间上最值互为相反数;偶函数在关于原点的对称的区间上有相同的最值。注:1.奇偶性是函数的“整体”性质,研究的是函数图像在整个定义域上的对称性。2.若函数具有奇偶性,把定义域分成关于原点对称的两部分。只需研究函数其中一部分的图像和性质,即可得出整个定义域的图像和性质。题型一:判断函数的奇偶性(2015·广东)1.下列函数,既不是奇函数,也不是偶函数的是()A.21xyB.xxy1C.xxy212D.xexy(2014·全国Ⅰ)若函数)(),(xgxf的定义是R,且)(xf为奇函数,)(xg为偶函数,则下列结论正确的是()A.)()(xgxf是偶函数B.)()(xgxf是奇函数C.)()(xgxf是奇函数D.)()(xgxf是奇函数3.判断下列函数的奇偶性(1)11)(xxxf(2)xxeey,xxeey,xxxxeeeey(3)xxxf11log)(27(4))(xxeexy(5)0,0,)(22xxxxxxxf可以用定义判断,也可画图像(6))(1log)(22xxxf注:掌握一些重要类型的奇偶函数。题型二:函数奇偶性的应用:(一)求函数值(2017全国Ⅱ.14)已知函数)(xf是定义域在R上的奇函数,当)0,(x时,232)(xxxf,则)2(f(二)求解析式:1.若)(xf是定义在R上的奇函数,当0x时,1)1()(3xxxf,求函数)(xf的解析式2.设)(xf是偶函数,)(xg是奇函数,它们的定义域均为1,xRxx,且11)()(xxgxf,则)(xf,)(xg.3.(2013·江苏)已知)(xf是定义域R上的奇函数,当0x时,xxxf4)(2,则不等式xxf)(的解集用区间表示为。(三)已知奇偶数,求参数的值。1.若函数))(12()(axxxxf为奇函数,则a=。2.已知babxaxxf53)(2是偶函数,且定义域为],16[aa则ba=。3.设函数))(()(Rxaeexxfxx是偶函数,则a=。4.设函数1)1()(232xxxxf的最大值为M,最小值为m,则mM=。抽象函数单调性,奇偶性的综合问题:1.已知函数)(xf对任意Ryx,,,总有)()()(yxfyfxf,且当0x时,32)1(,0)(fxf8(1)求证:)(xf是R上是奇函数:(2)求证:)(xf是R上是减函数:(3)求)(xf在[-3,3]上的最大值和最小值。2.函数)(xf的定义域D=0|xx,且满足对于任意Dxx21,,有)()()(2121xfxfxxf(1)求)1(f的值;(2)判断)(xf的奇偶性并证明;(3)如果,3)62()13(,1)4(xfxff且)(xf在),(0上是增函数,求x的取值范围。3.已知)(xf对一切yx,,满足)()()(,0)0(yfxfyxff且当0x时1)(xf。求证:(1)当;时,1)(00xfx(2)为减函数。在上Rxf)(4.已知]0,1[,),()(]1,1[)(baxfxfxf当上的函数,且是定义在时,且ba21)41(,1)0(,0))](()([ffbabfaf恒有。的取值范围。求若的取值范围恒成立,求实数对于)若(xxfmxmxf,1)412(2)2(;]1,1[32)(1三、函数的对称性:(奇、偶函数的对称性可推广为更一般的函数对称性)(一)函数图像自身的对称性:91.轴对称:函数)(xfy的图像关于直线ax对称axxxfxf2)()(2121)()2()()()2()(xfxafxafxafxafxf函数轴对称的结论:(1)、如果函数)(xfy满足xfxf,则函)(xfy的图象关于直线0x(y轴)对称。(2)、如果函数)(xfy满足xafxaf,则函数)(xfy的图象
本文标题:函数的基本性质
链接地址:https://www.777doc.com/doc-4558846 .html