【第6章】无限脉冲响应数字滤波器的设计解读

贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》第六章IIR数字滤波器的设计贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》主要内容数字滤波器的基本概念模拟滤波器的设计脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器双线性变换法设计IIR数字低通滤波器数字高通、带通、带阻滤波器的设计贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》0110IIR:()1FIR:()()MrrrNkkkNnnbzHzazHzhnz6.1数字滤波器的基本概念1.数字滤波器的分类数字滤波器可以分成IIR滤波器和FIR滤波器.它们的系统函数分别为：贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》理想低通、高通、带通、带阻滤波器幅度特性贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》2.数字滤波器的技术要求假设数字滤波器的传输函数H(ejw)用下式表示：)(|)(|)(|H(ejw)|称幅频特性，Q(w)称相频特性.滤波器的技术要求一般由幅频特性给出，相频特性一般不作要求.贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》下图为低通滤波器的幅度特性.主要技术参数：通带截止频率wp阻带截止频率ws通带允许最大衰减ap阻带允许最小衰减as贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》ap和as分别定义为：00()()20lg;20lg()()psjjpsjjHeHedBdBHeHewwaa如将|H(ej0)|归一化为1，则20lg();20lg()psjjpsHedBHedBwwaa当幅度下降至0.707时，w=wc，ap=3dB.称wc为3dB截止频率.贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》IIR滤波器和FIR滤波器的设计方法不同.IIR滤波器设计方法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的.IIR滤波器的设计步骤是：首先设计模拟滤波器得到传输函数Ha(s)，然后将Ha(s)按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z).3.数字滤波器设计方法贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》6.2模拟滤波器的设计模拟滤波器的设计方法已发展得相当成熟.有若干典型的模拟滤波器供我们选择.典型模拟滤波器有：Butterworth滤波器、Chebyshev滤波器、Elliptic滤波器、Bessel滤波器等.典型模拟滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用.贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》各种理想滤波器的幅频特性贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》1.模拟低通的设计指标及逼近方法模拟低通的设计指标有：通带的最大衰减系数ap通带截止频率Wp阻带最小衰减系数as阻带截止频率Ws2222(0)(0)10lg;10lg()()aapsasapHjHjHjHjaaWW贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》若W=0处幅度已归一化到1，即|Ha(j0)|=1，则2210lg();10lg()papsasHjHjaaWWWc称为3dB截止频率，且1()220lg()3acacHjHjdBWW低通滤波器的幅度特性贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》一般滤波器的单位冲激响应为实数，所以：如果由技术指标ap、Wp、as、Ws求出|Ha(jW)|2，那么就能求所需要的Ha(s).对于各种典型滤波器，其幅度平方函数都有自己的表达式，可以直接引用.对于Ha(s)，要求必须稳定，所以极点必须落在s平面的左半面，相应的Ha(-s)的极点必须落在s平面的右半面.说明:贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》巴特沃斯低通的幅度平方函数：221()1()aNcHjWWW2.巴特沃斯低通的设计特点:当W＞Wc时，随着W加大，幅度迅速下降.幅度下降的速度与阶数N有关，N越大，幅度下降速度越快，过渡带越窄.贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》将幅度平方函数|Ha(jW)|2写成s的函数：21()()1()aaNcHsHssjW幅度平方函数有2N个极点，用sk表示：1121()222(1)()kjNNkccsjeWW式中k=0,1,2,…,(2N-1)贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》2N个极点均匀分布在半径为Wc的圆上，间隔是2/2N=/N.为了形成稳定的滤波器，2N个极点中只取s平面左半面的N个极点构成Ha(s).Ha(s)的表示式为：10()()NcaNkkHsssW贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》31543133221320;;;jccjcjccjcessesessesWWWWWW【例题】取左半平面的极点s0,s1,s2组成Ha(s)：32233()()()()cajjcccHssseseWWWW设N=3，极点有6个，它们分别为：贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》为使设计统一，将所有频率对3dB截止频率Wc归一化.归一化后的Ha(s)表示为：101()()aNkcckccsHsjssWWWWW式中:101()()aNkkHppp令lW/Wc为归一化频率；令p=jl为归一化复频率，这样归一化巴特沃斯的传输函数为：贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》式中pk为归一化极点，用下式表示：121()22,0,1,,1kjNkpekN根据技术指标→阶数N→N个极点→Ha(p)→去归一化得Ha(s).将极点代入归一化传递函数式，得到的Ha(p)的分母是p的N阶多项式.用下式表示：NNNappbpbbpH1110...1)(式中系数bk以及极点可以查表得到.只要确定阶数N，查表即可得到Ha(p).贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》/1021()10papNcWW将WWp代入幅度平方函数ap表达式中得到：将WWs代入幅度平方函数as表达式中得到：3.阶数N的确定/1021()10saNscWW/10/10101()101psapNasWW贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》令/10/10101/,101psaspspspaklWW则N由下式表示：lglgspspkNl110.10.122(101),(101)psaaNNcpcsWWWW关于3dB截止频率Wc，如果技术指标中没有给出，可按下面式子得到：用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数.贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》巴特沃斯低通滤波器的设计步骤：总结:由技术指标Wp,ap,Ws,as求出滤波器的阶数N.求归一化极点pk，得归一化传输函数Ha(p).将Ha(p)去归一化(将p=s/Wc代入Ha(p)得到实际滤波器的传输函数Ha(s).贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减ap=2dB，阻带截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减as=30dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器.【例题】贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》解：(1)确定阶数N0.10.11010.024210122.42lg0.02424.255lg2.4psaspassppkffNNl贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》(2)求出其极点3455012675534jjjjjpepepepepe求得归一化传输函数：401()()akkHppp121()22,0,1,,1kjNkpekN贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》由N=5，直接查表得到极点：5432432101()aHppbpbpbpbpb式中：-0.3090±j0.9511；-0.8090±j0.5878；-1.0000b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.2361说明:贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》(3)将Ha(p)去归一化，先求3dB截止频率WcskradNpcp/2755.52)110(211.0WWa将p=s/Wc代入Ha(p)中得到：55423324543210()cacccccHssbsbsbsbsbWWWWWW贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》切比雪夫滤波器有两种形式：切比雪夫I型和切比雪夫II型.切比雪夫I型振幅特性在通带内等波纹，在阻带内单调下降.切比雪夫II型振幅特性在通带内单调下降，在阻带内等波纹.在相同的阶数下，切比雪夫滤波器比巴特沃斯滤波器有较窄的过渡带.4.切比雪夫滤波器的设计贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》切比雪夫Ⅰ型与巴特沃斯低通的A2(W)曲线贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》切比雪夫Ⅰ型滤波器的幅度平方函数：22221()()1()aNpAHjCWWWW为小于1的正数，表示通带内幅度波动的程度，愈大，波动幅度也愈大.Wp称为通带截止频率.CN(x)称为N阶切比雪夫多项式：cos(arccos)1()()1NNxxCxchNArchxx贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》切比雪夫Ⅰ型滤波器幅频特性贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》切比雪夫多项式的过零点在|x|≤1的范围内.当|x|1时，|CN(x)|≤1，在|x|1范围内具有等波纹性.当|x|1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升.切比雪夫多项式的特性:下图表示了阶数N=0，4，5时切比雪夫多项式曲线.贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》N=0,4,5切比雪夫多项式曲线贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》幅度平方函数与三个参数即，Wp，N有关.与通带内允许的波动大小有关，定义允许的通带波纹d用下式表示：2max2min()10lg()AAdWW220.110lg(1)101dd22maxmin21()1,()1AAWW贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》已知通带波纹d可以求出参数.阶数N等于通带内最大值和最小值的总个数.阶数N不仅影响过渡带的宽度，而且影响通带内波动的蔬密程度.设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用Ws表示，在Ws处的A2(Ws)为：2221()1()ssNPACWWW贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》1/WWspssll令)(]1)(11[2ssArchAArchNll1)(11)]([)(2sssNAArchNchClll]}1)(11[1{2WWspsAArchNchl贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》)]([1)(11)(21)(222ccNpcccNcArchNchCCAllllWWW取正号计算得3dB截止频率Wc：)]1(1[ArchNchpcWW当Wp、、N确定后，可以求出滤波器的极点，并确定Ha(p)，p=s/Wp.贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》设Ha(s)的极点为sidijWi，可以证明：21sin()2,1,2,3,,21cos()2ipipichNiNichNdWWW式中：22222211()1iippArshNshshdWWW贵州大学计算机科学与信息学院《数字信号处理》上式是一个椭圆方程，长半轴为Wpch(在虚轴上)，短半轴为Wpsh(在实轴上).令bWp和aWp分别表示长半轴和短半轴，可推导出：111)(21);(2121111其中：NNNNba切比雪夫滤波器的极点就是一组分布在bWp为长半轴，aWp为短半轴的椭圆上的点.贵州大学计算机