4.1.2圆的一般方程

4.1.2圆的一般方程圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2指出下面圆的圆心和半径：(x-1)2+(y+2)2=2(x+2)2+(y-2)2=5(x+a)2+(y-2)2=a2(a≠0)特征：直接看出圆心与半径复习x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0把圆的标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2展开，得-22222202=-++-+rbabyaxyx由于a,b,r均为常数FrbaEbDa=-+=-=-222,2,2令结论：任何一个圆方程可以写成下面形式动动手1.是不是任何一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0方程表示的曲线是圆呢？思考2.下列方程表示什么图形？（1）x2+y2-2x+4y+1=0；（2）x2+y2-2x-4y+5=0；（3）x2+y2-2x+4y+6=0.配方可得：把方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(1)当D2+E2-4F0时,表示以（）为圆心，以()为半径的圆.2,2ED--FED42122-+22224()()224DEDEFxy+-+++=(2)当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解x=-D/2y=-E/2，表示一个点（）.2,2ED--动动脑(3)当D2+E2-4F＜0时,方程无实数解,所以不表示任何图形.所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F0）可表示圆的方程22224()()224DEDEFxy+-+++=圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0圆的一般方程与标准方程的关系：(D2+E2-4F0)（1）a=-D/2，b=-E/2，r=FED42122-+②没有xy这样的二次项（2）标准方程易于看出圆心与半径一般方程突出形式上的特点：①x2与y2系数相同并且不等于0；1.A＝C≠0圆的一般方程：与二元二次方程：Ax2+Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0的关系:x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2+E2-4F0)2.B=03.D2＋E2－4F＞0二元二次方程表示圆的一般方程圆的一般方程与二元二次方程的关系判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出圆心与半径(1)x2+y2-2x+4y-4=0(2)2x2+2y2-12x+4y=0(3)x2+2y2-6x+4y-1=0(4)x2+y2-12x+6y+50=0(5)x2+y2-3xy+5x+2y=0是圆心（1，-2）半径3是圆心（3，-1）半径10不是不是不是练习1.已知圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心坐标为(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于2.x2+y2-2ax-y+a=0是圆的方程的充要条件是3,6,4)(-A3,6,4)(-B3,6,4)(--C3,6,4)(--D21)(aA21)(aB21)(=aC21)(aDDD练习举例例1：求过三点O(0，0)，M1(1，1)，M2（4，2）的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标.例2.已知一曲线是与两定点O(0,0)、A(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此曲线的方程，并画出曲线.举例2222222(,)(0)(0)12(3)(0)23064(9)0xyxyxyxyx-+-=-+-++-=--解：设是所求曲线上的点，则由题意可得：两边平方化简得：该曲线为圆.yx.O..（-1，0）A(3,0)M(x,y)直译法举例例3.已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.3.圆x2+y2+8x-10y+F=0与x轴相切,则这个圆截y轴所得的弦长是4.点A(3,5)是圆x2+y2-4x-8y-80=0的一条弦的中点,则这条弦所在的直线方程是08=-+yx练习6)(A5)(B4)(C3)(DA3.已知：一个圆的直径的两端点是A(x1，y1)、B(x2，y2).证明：圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0AB•C•P解法一：求圆心、求半径解法二：直译法P点满足PA⊥PB即12211-=----xxyyxxyy【小结】求一个随着已知曲线(伴随曲线)上的动点(伴随点)而动的点(生成点)的轨迹(生成曲线)方程用的方法叫.4.已知点P是圆x2+y2=1上的一个动点，又A(3，0)，求(1)线段AP的中点M的轨迹方程；(2)分的比为的点Q的轨迹方程.AP2141)23(122=+-yx91)2(222=+-yx代点法课堂练习圆的方程（x-a)2+(y-b)2=r2x2+y2+Dx+Ey+F=0知D、E、F知a、b、rD2+E2－4F0配方展开知识结构1.本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为(用配方法求解)3.给出圆的一般方程,如何求圆心和半径?-+=++++0402222FEDFEyDxyx配方展开2.圆的一般方程与圆的标准方程的联系一般方程标准方程(圆心,半径)小结①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.4.要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.小结课本P123练习2，3P124习题A组1，6《练习册》P71—P73《活页二十四》作业