相似三角形和三角函数

第1页（共15页）相似三角形和三角函数一．选择题（共20小题）1．如果2x=3y，那么下列各式中正确的是（）A．=B．=3C．=D．=2．如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（）A．B．C．D．3．如图，点D、E位于△ABC的两边上，下列条件能判定DE∥BC的是（）A．AD•DB=AE•ECB．AD•AE=BD•ECC．AD•CE=AE•BDD．AD•BC=AB•DE第3题第5题第8题第9题第10题4．“相似的图形”是（）A．形状相同的图形B．大小不相同的图形C．能够重合的图形D．大小相同的图形5．如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．6．已知=，那么的值为（）A．B．C．D．7．在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，，那么∠B的度数是（）A．40°B．60°C．80°D．100°8．如图，△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，BD=2AD，若DE=2，则BC=（）A．3B．4C．5D．69．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A．4B．4C．6D．410．如图，已知E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则E点对应点E′的坐标为（）A．（2，1）B．（，）C．（2，﹣1）D．（2，﹣）11．下列判断中，正确的是（）A．相似图形一定是位似图形B．位似图形一定是相似图形C．全等的图形一定是位似图形D．位似图形一定是全等图形12．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）第2页（共15页）第12题第13题A．（1，2）B．（1，1）C．（，）D．（2，1）13．已知，如图，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，点E的对应点的坐标（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，﹣1）或（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）14．cos30°的值为（）A．1B．C．D．15．2sin60°的值等于（）A．1B．C．D．16．已知tanA=1，则锐角A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°17．sin60°的值等于（）A．B．C．D．18．下列各数中是有理数的是（）A．B．4πC．sin45°D．19．坡度等于1：的斜坡的坡角等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°20．计算：cos245°+sin245°=（）A．B．1C．D．二．解答题（共10小题）21．如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD、OB．（1）求证：△AEC∽△DEB；（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O的半径．22．如图，AB是圆O的直径，CD⊥AB于D点，AD=4cm，DB=9cm，求CB的长．第3页（共15页）23．已知：如图，在△ABC中，D是AC上一点，E是AB上一点，且∠AED=∠C．（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若AB=6，AD=4，AC=5，求AE的长．24．已知：如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED=∠B．若AE=5，AB=9，CB=6．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求ED的长．25（1）﹣（﹣1）0+（）﹣2﹣4sin45°(2)26．（1）已知：sinα•cos60°=，求锐角α；27（1）（2）|2﹣tan60°|﹣（π﹣3.14）0+（）﹣2+．28(1)（2）第4页（共15页）2017年02月16日卜永官的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2017•徐汇区一模）如果2x=3y，那么下列各式中正确的是（）A．=B．=3C．=D．=【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．【解答】解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴∴选项D不正确．故选：B．2．（2017•宝山区一模）如果C是线段AB的黄金分割点C，并且AC＞CB，AB=1，那么AC的长度为（）第5页（共15页）A．B．C．D．【分析】根据黄金比值是计算即可．【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点C，AC＞CB，∴AC=AB=，故选：C．3．（2017•黄浦区一模）如图，点D、E位于△ABC的两边上，下列条件能判定DE∥BC的是（）A．AD•DB=AE•ECB．AD•AE=BD•ECC．AD•CE=AE•BDD．AD•BC=AB•DE【分析】根据选项选出能推出对应线段成比例的即可．【解答】解：∵AD•CE=AE•BD，∴，∴DE∥BC，故选C．4．（2017•普陀区一模）“相似的图形”是（）A．形状相同的图形B．大小不相同的图形C．能够重合的图形D．大小相同的图形【分析】根据相似形的定义直接进行判断即可．【解答】解：相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选A．5．（2016•兰州）如图，在△ABC中，DE∥BC，若=，则=（）A．B．C．D．第6页（共15页）【分析】直接利用平行线分线段成比例定理写出答案即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴==，故选C．6．（2016•崇明县一模）已知=，那么的值为（）A．B．C．D．【分析】根据=，可设a=2k，则b=3k，代入所求的式子即可求解．【解答】解：∵=，∴设a=2k，则b=3k，则原式==．故选B．7．（2017•杨浦区一模）在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，，那么∠B的度数是（）A．40°B．60°C．80°D．100°【分析】根据可以确定对应角，根据对应角相等的性质即可求得∠B的大小，即可解题．【解答】解：∵，∴∠B与∠D是对应角，故∠B=∠D=60°．故选B．8．（2017•莒县模拟）如图，△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，BD=2AD，若DE=2，则BC=（）A．3B．4C．5D．6第7页（共15页）【分析】先根据题意得出△ADE∽△ABC，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．【解答】解：∵BD=2AD，DE=2，∴=．∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=，解得BC=6．故选D．9．（2016•安徽）如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为（）A．4B．4C．6D．4【分析】根据AD是中线，得出CD=4，再根据AA证出△CBA∽△CAD，得出=，求出AC即可．【解答】解：∵BC=8，∴CD=4，在△CBA和△CAD中，∵∠B=∠DAC，∠C=∠C，∴△CBA∽△CAD，∴=，∴AC2=CD•BC=4×8=32，∴AC=4；故选B．10．（2016•高县一模）如图，已知E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，按比例尺2：1把△EFO缩小，则E点对应点E′的坐标为（）第8页（共15页）A．（2，1）B．（，）C．（2，﹣1）D．（2，﹣）【分析】以O为位似中心，按比例尺2：1，把△EFO缩小，结合图形得出，则点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以﹣，因而得到的点E′的坐标为（2，﹣1）．【解答】解：根据题意可知，点E的对应点E′的坐标是E（﹣4，2）的坐标同时乘以﹣，所以点E′的坐标为（2，﹣1）．故选：C．11．（2016•汉川市模拟）下列判断中，正确的是（）A．相似图形一定是位似图形B．位似图形一定是相似图形C．全等的图形一定是位似图形D．位似图形一定是全等图形【分析】根据位似图形是特殊的相似可以得到位似图形一定是相似图形．【解答】解：A、如果两个图形是位似图形，那么这两个图形必是相似图形，但是相似的两个图形不一定是位似图形，故此选项错误；B、利用位似的定义可知，位似图形一定是相似图形，故正确；C、全等的图形不一定是位似图形，故此选项错误；D、位似图形是特殊的相似图形，相似图形不一定全等，故此选项错误，故选B．12．（2015•宜宾）如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（）A．（1，2）B．（1，1）C．（，）D．（2，1）【分析】首先利用等腰直角三角形的性质得出A点坐标，再利用位似是特殊的相似，若两个图形△ABC和△A′B′C′以原点为位似中心，相似比是k，△ABC上一点的坐标是（x，y），则在△A′B′C′中，它的对应点的坐标是（kx，ky）或（﹣kx，ky），进而求出即可．【解答】解：∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），第9页（共15页）∴BO=1，则AO=AB=，∴A（，），∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，∴点C的坐标为：（1，1）．故选：B．13．（2015•青山区一模）已知，如图，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，点E的对应点的坐标（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（2，﹣1）或（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）或（2，﹣1）【分析】由E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，根据位似图形的性质，即可求得点E的对应点的坐标．【解答】解：∵E（﹣4，2），以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，∴点E的对应点的坐标为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．故选D．14．（2016•柳州自主招生）cos30°的值为（）A．1B．C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．【解答】解：cos30°=．故选D．15．（2016•天津一模）2sin60°的值等于（）A．1B．C．D．【分析】根据sin60°=解答即可．【解答】解：2sin60°=2×=．第10页（共15页）故选C．16．（2016•利辛县模拟）已知tanA=1，则锐角A的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．75°【分析】根据tan45°=1解答即可．【解答】解：∵tanA=1，A为锐角，tan45°=1，∴∠A=45°．故选B．17．（2016•抚顺县一模）sin60°的值等于（）A．B．C．D．【分析】根据特殊角的三角函数值直接解答即可．【解答】解：sin60°=．故选C．18．（2016•江西模拟）下列各数中是有理数的是（）A．B．4πC．sin45°D．【分析】要想解决此题，首先明确有理数的分类，其次牢记特殊角的三角函数值．【解答】解：A、==3，是无理数；B、4π是无理数；C、sin45°=是无理数；D、==2，是有理数；故选D．19．（2016•杨浦区一模）坡度等于1：的斜坡的坡角等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°【分析】根据坡度就是坡角的正切值即可求解．【解答】解：坡角α，则tanα=1：，则α=30°．第11页（共15页）故选A．20．（2015•玉林）计算：cos245°+sin245°=（）A．B．1C．D．【分析】首先根据cos45°=sin45°=，分别求出cos245°、sin245°的值是多少；然后把它们求和，求出cos245°+sin245°的值是多少即可．【解答】解：∵cos45°=sin45°=，∴cos245°+sin245°===1．故选：B．二．解答题（共10小题）21．（2016•湘潭）如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD、OB．（1）求证：△AEC∽△DEB；（2）若CD⊥AB，AB=8，DE=2，求⊙O的半径．【分析】（1）由同弧的圆周角相等即可得出∠ACE=∠DBE，结合∠AEC=∠DEB，即可证出△AEC∽△DEB；（2）设⊙O的半径为r，则CE=2r﹣2，根据垂径定理以及三角形相似的性质即可得出关于r的一元一次方程，解方程即可得出r值，此题得解．【解答