3、整式方程、分式方程、无理方程--小班教案

龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校1整式方程、分式方程、无理方程复习知识点一、整式方程1字母系数在关于x的方程20axbxc中，其中a、b、c是表示已知数的字母，我们把字母a,b,c叫做字母系数。而这个方程就是含有字母系数的方程。例1解关于x的方程：（1）ax=x+a;(2)210bx说明：（1）对于含字母系数的一元一次方程，在“系数化为1”这步之前一般应分情况讨论；对于含字母系数的一元二次方程，在“两边开平方”这步前一般也要分情况讨论（2）对于解含字母系数的一元整式方程，用含字母系数的式子去乘、除方程的两边时，这个式子的值不能为零。（3）在实数范围内对含字母系数的式子开平方时，由于负数没有平方根，因此，根号下面的式子不能小于零2一元整式方程如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式，那么这个方程叫做一元整式方程例2判断下列哪些方程是一元整式方程：211(1)21;(2)3;(3)212;(4)022xxxxxxyx说明：整式方程并不意味着方程中不能含有根号，分母等，关键是在于含有未知数的项是否都是整式3一元n次方程一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n（n是正整数），这个方程就叫做一元n次方程。一元高次方程：一元整式方程中含有未知数的项的最高次数是n，若次数n是大于2的正整数，这样的方程统称为一元高次方程。特点：整式方程;只含一个未知数;含未知数的项最高次数大于2次.例3关于x的方程232210axx是一元几次方程？4二项方程概念：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程.注：①nax=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0.②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.一般形式：),0,0(0是正整数nbabaxn龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校2（1）解的情况：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根，nabx；当n为偶数时，如果ab0，那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab0，那么方程没有实数根.（2）二项方程的基本方法是（开方）例4解方程：41(1)6404x说明：二项方程0(0,0)naxbab可变形为nbxa：当n为奇数时，方程有且只有一个实数根；当n为偶数时,如果ab0,那么方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；如果ab0,那么方程没有实数根。5双二次方程概念：只含有偶数次项的一元四次方程.注：当常数项不是0时，规定它的次数为0.一般形式：)0(024acbxax解题的一般步骤：换元——解一元二次方程——回代解双二次方程的常用方法：因式分解法与换元法（目的是降次，使它转化为一元一次方程或一元二次方程）例5解方程：42(1)612210xxx说明：解双二次方程的一般步骤：（1）换元；（2）解一元二次方程；（3）回代解双二次方程时注意理解“换元”的思想方法，体会“降次”的解题策略通过换元，把双二次方程转化为关于t的一元二次方程。求出t的值后，不要忘记回代，继续求出未知数x的值题型一、含字母系数的方程注意：含字母系数的一元一次和一元二次方程在解的过程中，由于字母的不确定性，在使用等式性质和根的判别式时，往往需要进行分情况进行讨论；如果字母能确定，则不需要讨论.基本题型：方程bax的解的情况：当0a时，方程有唯一的解，解为abx；当0,0ba时，方程有无数解，解为任意实数；当0,0ba时，方程没有实数解.例1、解下列关于x的方程：(1))x1(3x)1a3((2)222x31xb分析：对于字母系数的方程需要讨论字母系数的取值范围与方程的解的关系.龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校3题型二、解简单的高次方程：例2、解下列方程(1)32)x21(24(2)5x3x224(3)0xx5x323(4)018x6x6x223(5)(x2–x)2–8(x2–x)+12=0分析：高次的方程的基本解法：因式分解降次.（1）运用开平方的方法。（2）运用因式分解或者换元法（因为是双二次方程；（3）运用提取公因式和求根公式法。（4）运用分组分解（5）换元法题型三、因式分解法解双二次方程例1、（1）018924xx（2）036524xx（3）028324xx（4）014524xx；（5）013224xx；（6）32324xxx题型四、用换元法解下列高次方程:例1、（1）（x2-x）2-4（2x2-2x-3）=0（2）（x2-2x+3）2=4x2-8x+17知识点二、可化为一元二次方程的分式方程1分式方程如果方程中只含有分式和整式，且分母中含有未知数，那么这个方程叫做分式方程。例1判断下列方程中哪些是分式方程？222211(1)1;(2)5;(3)(1)0;(4)3223xxxxxxxxxxxx2解分式方程的一般步骤（1）在方程的两边同时乘以方程中各分式分母的最简分母，将分式方程化成整式方程；（2）求解整式方程；（3）验根：判断所求得的整式方程的根是不是分式方程的根（即代入最简公分母中看最简公分母的值是否为零）例1解方程：24211422xxxx例2解方程601745123542xxxxx龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校4例3解方程21421224xxxx说明：(1)去分母解分式方程的步骤：①把各分式的分母因式分解；②在方程两边同乘以各分式的最简公分母；③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；④解一元二次方程；⑤验根．(2)验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大．而分式方程可能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程的解．3分式方程的根与增根把求得的整式方程的根代入最简公分母中，判断它的值是否为零。使最简公分母的值不为零的根是原方程的根；使最简公分母的值为零的根是增根。例1、x=1是下列方程的增根吗？22142143(1);(2)2;(3)11111233xxxxxxxxxx例2、解方程21122442xxxx.例3、若解分式方程xxxxmxx1)1(112产生增根，则m的值是多少？说明：分式方程的曾根应该是分式方程去分母后的整式方程的根，但不是原分式方程的根。如果某个未知数的值不是分式方程去分母后的整式方程的根，那么该未知数的值也不是原分式方程的根，也不能算做原分式方程的增根。解分式方程时，常把原方程中的一个分式作为整式进行换元，换元时要注意分子、分母互换的两个分式可以用一个新元和它的倒数来表示。4换元法在解分式方程中的运用有些方程，若按常规方法去解，所得到的整式方程比较复杂，不易求解，这是我们可以采用换元法，把原方程化为一个整式方程或一个简单的分式方程。例1、（1）解方程：225242414015xxxxxx（2）解方程2223()4011xxxx例2、（1）解方程22228(2)3(1)1112xxxxxx．（2）解方程xxxx222322龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校55分式方程的应用例1、当a取何值时，方程)1)(2(21221xxaxxxxx的解为负数例2、某工厂计划生产480个零件，在实际生产中每小时多做了10个，结果不仅提前1小时完成任务，而且还比原计划多生产了10个零件.求原计划每小时做多少个零件？预计用多少时间？例3、甲、乙二人分别从相距27千米的A、B两地同时出发，相向而行，3小时相遇.相遇后两人各用原来速度继续前进，甲到达B地比乙到达A地早1小时21分.求两人的速度.拓展与提高例1、解方程：221332xxxx解方程：2227352735xxxxxx例2、当k为何值时，方程221224xxxkxxx有增根？例3、若关于x的方程1102xxk无实数解时，则k的值为（）解关于x的分式方程2122xkxx时产生增根，那么k=（）知识点三、无理方程一、无理方程、有理方程和代数方程方程中含有根式，且被开方数十含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程或根式方程。例1下列方程是无理方程的是（）A11xx；B22250xxC2112xxD2102xx说明：同时符合下面两个条件：（1）方程中出现根式；（2）根号内出现未知数，这样的方程才是无理方程。二、有理方程、代数方程整式方程和分式方程统称为有理方程。有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称为代数方程。龙文教育-----您值得信赖的专业化个性化辅导学校6三、求解无理方程求解无理方程的一般步骤：（1）利用两边平方的方法把无理方程转化为有理方程；（2）求解有理方程；（3）检验所得的有理方程的根是否为原无理方程的根；（4）写结论解无理方程的基本思路是把无理方程化为有理方程，通常采用“两边平方”的方法解。对有些特殊的无理方程，可以用“换元法”解。解无理方程一定要验根！1．只有一个含未知数根式的无理方程当方程中只有一个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使这个二次根式单独在一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。例1解下列方程：(1)632xx（2）xx323例2解方程71xx含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留含未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同时平方，得到一个整式方程；③解整式方程；④验根．2.有两个含未知数根式的无理方程当方程中有两个含未知数的二次根式时，可先把方程变形，使一个二次根式单独在一边，另外一个二次根式在方程的另一边；然后方程的两边同时平方，将这个方程化为有理方程。例1解下列方程：（1）01222xx（2）12xx例2解方程（1）3233xx（2）28252xx说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：①移项，使方程的左边只保留一个含未知数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明．3.适宜用换元法解的无理方程无理方程中出现两个含有未知数的根式相加，一般要进行两次平方才可把无理方程转化为有理方程，在每次平方前通常把一个根号单独放在等号一边。无理方程在验根时，一般要求把有理方程的解代入原方程中检验。例1解方程46342222xxxx例2解方程223152512xxxx